Konstantin Bogdanov
I2M, Aix-Marseille Université
http://www.theses.fr/s246225
Date(s) : 15/12/2020 iCal
15 h 00 min - 17 h 00 min
SOUTENANCE DE THESE
Titre: Théorie de Thurston de dimension infinie et dynamique transcendante avec orbites singulières qui s’échappent.
Directeur de thèse: Dierk Schleicher
Résumé:
Le sujet de cette thèse est de distinguer et classifier une famille de fonctions entières transcendantes par la dynamique de leurs singularités. Cette classification suit la direction donnée par le célèbre théorème de Thurston de caractérisation des fonctions rationnelles, mais dans le cadre des fonctions transcendantes, ce qui nécessite de travailler avec la théorie de Teichmüller de dimension infinie plutôt que finie comme dans le théorème de Thurston.
Les familles de fonctions que nous étudions sont des compositions de fonctions exponentielles et de polynômes, et nous mettons l’accent sur le cas où toutes les singularités s’échappent (vite) à l’infini. C’est en analogie avec la famille des polynômes quadratiques où l’ensemble de polynômes dont les singularités tendent vers l’infini forme le complémen-taire du célèbre ensemble de Mandelbrot. Même pour les polynômes, la situation devient beaucoup plus difficile lorsque il y a plus d’une singularité, car chacune d’elles introduit un degré de liberté supplémentaire. Dans le cas des fonctions transcendantes, la description des singularités individuelles qui s’échappent (en termes de la vitesse d’évasion et de la combinatoire) introduit des défis supplémentaires qui ont été seulement récemment compris, et la classification de ces fonctions n’est seulement connu que pour la famille exponentielle.
La construction d’une fonction entière avec la vitesse d’évasion et la combinatoire des singularités prescrites se ramène à l’étude des itérées d’une fonction (analogue à l’application de tirée en arrière de Thurston) qui opère sur un espace de Teichmüller de dimension infinie (plus précisément, l’espace de Teichmüller du complémentaire des orbites singulières). Un point fixe de cette fonction correspond à la fonction entière avec la dynamique recherchée. La principale différence avec la preuve du théorème classique de Thurston de caractérisation de fonctions rationnelles provient de la dimension infinie de l’espace de Teichmüller sous-jacent (en plus du fait que les fonctions sont transcendantes). En effet, la composante essentielle dans la preuve du théorème classique est que l’application de tirée en arrière de Thurston est strictement contractante sur l’espace de Teichmüller, propriété qui découle d’un théorème standard de la théorie de Teichmüller. Cependant, dans notre situation, ce n’est pas un résultat que nous pouvons tenir pour acquis, et cela est même faux en général. Une autre difficulté importante vient du fait que l’information homotopique d’un point de l’espace de Teichmüller est évaluée relativement à une infinité de points (orbites singulières), et on veut en obtenir une description algébrique manipulable. Ces problèmes et d’autres nécessitent des techniques tout à fait différentes du théorème de Thurston.
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Title: Infinite-dimensional Thurston theory and transcendental dynamics with escaping singular orbits.
PhD adviser: Dierk Schleicher
Abstract:
The topic of this thesis is to distinguish and classify a family of transcendental entire functions in terms of the dynamics of their singular values. This classification follows the lead of Thurston’s famous characterization theorem of rational maps, but in the context of transcendental mappings, and works with infinite rather than finite dimensional Teichmüller theory.
The families of maps that we investigate are compositions of exponential and polynomial functions, and we focus on the case where all singular values converge (fast) to infinity: this is in analogy to quadratic polynomials where the set of functions with singular values converging to infinity forms the complement of the celebrated Mandelbrot set. Even for polynomials, the situation becomes far more challenging when there is more than one singular value, as each singular value introduces another degree of freedom. In the transcendental case, the description of individual escaping singular values (in terms of speed of escape and combinatorics) introduces additional challenges that have been understood only recently, and a classification of such maps is known so far only for the family of exponential maps.
The construction of an entire transcendental function with prescribed speed of escape and combinatorics of singular values involves consideration of iterates of a map (in analogy to Thurston’s sigma-mapping) that acts on an infinite-dimensional Teichmüller space (more precisely, Teichmüller space modeled on the complement of singular orbits). A fixed point of this map corresponds to an entire function with the required dynamics. The key difference of this setting from the one in the proof of Thurston’s classical characterization of rational maps is the infinite-dimensionality of the underlying Teichmüller space (in addition to the fact that our maps are transcendental). For instance, an essential ingredient in the proof of the classical theorem is that the sigma-mapping acting on Teichmüller space is strictly contracting, and it follows from a standard theorem of Teichmüller theory. However, in our setting it is not a result that can be taken for granted, and possibly not true in general. Another key difficulty is that the homotopy information of a point in the Teichmüller space is measured relative to infinitely many points (singular orbits), and one needs to obtain a tame algebraic description of it. These and further issues require quite different techniques than in the theorem by Thurston.
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