Luis Fernando Lopez Rios
I2M, Aix-Marseille Université
Date(s) : 10/01/2014 iCal
0 h 00 min
Soutenance de thèse
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Le travail présenté est dédié à des problèmes d’EDP non linéaires. L’idée principale est de construire des solutions régulières á certaines EDPs elliptiques et hypo-elliptiques et étudier leur propriétés qualitatives. Dans une première partie, on considère un problème sur-critique du type $$-Delta u = lambda e^u$$ avec $lambda > 0$ posé dans un domaine extérieur avec conditions de Dirichlet homogènes. Une réduction en dimension finie permet de prouver l’existence d’un nombre infini de solutions régulières quand $lambda$ est assez petit. Dans une deuxième partie, on étudie la concentration de solutions d’un problème non local $$(-Delta)^s u = u^{p pm epsilon}, u>0, epsilon > 0$$ dans un domaine borné, régulier sous conditions de Dirichlet homogènes. Ici, on prend $0 < s < 1$ et $p:=(N+2s)/(N-2s)$, l’exposant de Sobolev critique. Une réduction en dimension finie dans des espaces fonctionnels bien choisis est utilisée. La partie principale de la fonction réduite est donnée en termes des fonctions de Green et Robin sur le domaine. On prouve que l’existence de solutions dépend des points critiques de la fonction susmentionnée augmentée d’une condition de non-dégénérescence. Enfin, on considère un problème non local dans le groupe de Heisenberg $H$. On s’intéresse à des propriétés de rigidité des solutions stables de $(-Delta_H)^s v = f(v)$ sur $H$, $s in (0,1)$. Une inégalité de type Poincaré connectée à un problème dégénéré dans $R^4_+$ est prouvée. Au travers d’une procédure d’extension, cette inégalité est utilisée pour donner un critère sous lequel les lignes de niveaux de la solution de l’EDP sont des surfaces minimales dans $H$.
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{{Mots clés :}} problèmes supercritique, Lyapunov-Schmidt réduction, solutions régulières, opérateurs hypo-elliptiques, transitions de phase non locales, équations aux dérivées partielles, opérateurs elliptiques, équations différentielles non linéaires.
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*Membres du jury :
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Le président du jury était Jean-Michel Roquejoffre.
Le jury était composé de Alexander Quaas, Patricio A. Felmer, François Hamel.
Les rapporteurs étaient Giuseppe Mingione, Boyan Sirakov.
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[http://www.researchgate.net/profile/Luis_Lopez_Rios]
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Lien : theses.fr
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