Un schéma à maille décalées convergent pour les équations de Navier-Stokes incompressibles à masse volumique variable

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Date(s) - 08/07/2014
10 h 00 min - 11 h 00 min

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Le travail présenté ici s’inscrit dans une démarche de développement de schémas pour le calcul d’écoulements à tout nombre de Mach qui a débuté il y a maintenant quelques années. Les schémas étudiés sont basés sur une technique de discrétisation spatiale à mailles décalées : schéma MAC pour les maillages structurés et schéma avec, à chaque face, des degrés de liberté pour toutes les composantes de vitesse pour les maillages quelconques. Un ingrédient essentiel de ces algorithmes est un opérateur de convection original, qui a pour propriété de permettre l’obtention d’une équation de bilan d’énergie cinétique discrète. Des variantes implicites ou explicites ont été mises au point. Sur le plan théorique, nous avons démontré à ce jour des propriétés de stabilité et de consistance en 1D. Nos efforts portent aujourd’hui, entre autres, sur l’extension de ces résultats théoriques aux problèmes multidimensionnels. À ce titre, nous étudions ici un schéma implicite pour le modèle simplifié des équations de Navier-Stokes incompressibles à masse volumique variable , fondé sur l’opérateur de convection précité ainsi que sur une discrétisation par éléments finis de type Rannacher-Turek pour la diffusion.

Nous démontrons que le schéma préserve les propriétés de stabilité du problème continu (estimation

$\mathrm{L}^\infty$ pour la masse volumique et estimations $\mathrm{L}^\infty(\mathrm{L}^2)$ et $\mathrm{L}^2(\mathrm{H}^1)$

pour la vitesse), ce qui par un argument de degré topologique entraîne l’existence du schéma. Puis, grâce à des techniques de compacité et en passant à la limite dans le schéma, nous démontrons que toute suite de solutions discrètes (obtenue par une suite de discrétisations dont les pas d’espace et de temps tendent vers zéro) converge, à l’extraction d’une sous-suite près, vers une solution faible du problème continu.

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Olivier CHABROL
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