Valeurs des fonctions zêtas et séries de Dirichlet à plusieurs variables aux n-uplets d’entiers négatifs

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Date(s) - 26/03/2019
11 h 00 min - 12 h 00 min

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Soient γ=( γ1,.., γn) et b=(b1,..,bn) ϵ Cn vérifiant ℛe (γj )>0 et ℛe (bj )> – ℛe (γ1) pour tout j.
Les fonctions zêtas multiples d’Euler-Zagier généralisées sont définies formellement par

ζn(s; γ; b) =∑m1≥ 1, m2,.. ,mn ≥0j=1n1 m1+…+ γj mj +bj)-sj} (s=(s1,..,sn) ϵ Cn).

La série ζn(s; γ; b) possède un prolongement méromorphe à tout tout Cn. De plus, il est connu que pour n≥2, la quasi-totalité des n-tuples d’entiers négatifs sont dans le lieu singulier et sont des points d’indétermination.
Il est aussi connu que pour tout k=(k1,..,kn) ϵ Nn et θ=(θ1,.., θn) ϵ Cn vérifiant θj+..+θn ≠ 0 pour tout j,
la limite ζnθ (- k; γ; b) := lim_{t->0} ζn(-k+t θ; γ; b) existe.

Dans la première partie de cet exposé, je donnerai des formules explicites pour ζnθ (- k; γ; b) en termes de k, γ, b, θ et des nombres de Bernoulli classiques. Il en découle en particulier que si γ, b et θ sont à coordonnées dans le corps des rationnels Q, alors les valeurs ζnθ (- k; γ; b) le sont aussi.
Dans la deuxième partie de cet exposé, je présenterai des résultats récents sur l’analogue de ce problème dans le cas des séries de Dirichlet multiples avec des dénominateurs non linéaires. Le point intéressant ici est que contrairement au cas linéaire, même si tous les paramètres définissant la série de Dirichlet multiple sont rationnels, les valeurs (après régularisation si nécessaire) aux n-tuples d’entiers négatifs ne sont pas forcément dans le corps des rationnels et peuvent même être transcendants !
(l’exposé est basé sur des travaux en commun avec Kohji Matsumoto).

http://dossier.univ-st-etienne.fr/esdr9935/public/Page%20Web%20de%20D.Essouabri.htm


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