Variétés abéliennes maximales et cyclicité

Les variétés abéliennes définies sur les corps finis et leurs groupes de points rationnels sont d’un grand intérêt. Un outil puissant pour étudier les classes d’isogénie des variétés abéliennes provient de l’élégante théorie d’Honda-Tate via les polynômes de Weil. Ces derniers contiennent beaucoup d’information arithmétique et géométrique sur les variétés abéliennes, par exemple leurs nombres de points rationnels. La structure de groupe des variétés abéliennes n’est pas invariante par isogénie, cependant, nous pouvons définir la cyclicité pour les classes d’isogénie et la caractériser via les polynômes de Weil.

Dans cet exposé, nous allons étudier les variétés abéliennes définies sur des corps finis avec groupes de points rationnels de grand cardinalité, et leur cyclicité. Notre approche sera liée à la théorie des entiers algébriques totalement positifs de trace minimale. Soit M^0_g(q) la classe d’isogénie des variétés abéliennes de dimension g définies sur le corps fini F_q et Weil-maximale (c-à-d avec plus grand nombre de points rationnels) parmi celles dont l’algèbre des endomorphismes est un corps commutatif. Nous montrerons l’existence d’un polynôme h_g(t, X) tel que pour toute puissance paire q d’un premier, h_g(t, \sqrt{q}) est le polynôme de Weil de M^0_g(q). Comme corollaire de ce résultat, nous allons déduire que M^0_g(q) est ordinaire et cyclique en dehors des nombres premiers divisant un entier N_g qui ne dépend que de g. Si le temps le permet, nous allons donner explicitement h_3 (t, \sqrt{q}) et montrer que la classe d’isogénie maximale et simple des variétés abéliennes de dimension 3 est toujours cyclique et ordinaire.

Preprint : https://arxiv.org/abs/2101.12664