Vers un théorème de Freiman pour les corps de fonctions

Alain Couvreur
LIX, École polytechnique, Palaiseau
http://www.lix.polytechnique.fr/Labo/Alain.Couvreur/

Date(s) : 21/05/2019   iCal
11 h 00 min - 12 h 00 min

Un célèbre théorème de théorie additive des nombres dû à Freiman et parfois appelé “theorème 3k-3” peut s’énoncer comme suit :
“Soit A une partie finie de Rd et A+A l’ensemble des sommes de deux éléments de A. Si Card(A+A) < 3|A| – 3, alors A est contenu dans une progression arithmétique.”
En particulier, l’espace affine engendré par A est de dimension 1.

Dans cet exposé on s’intéressera à un analogue multiplicatif de ce résultat: étant donné un espace de dimension finie S dans un corps de fonctions F, on étudiera les cas où la dimension de l’espace S2 engendré par les produits de deux éléments de S est “petite”. On énoncera ce que pourrait être un analogue du théorème de Freiman dans ce contexte et le prouvera dans un cas particulier. On produira ensuite la classification complète des espaces dont le carré est de dimension minimale, à savoir les espaces vérifiant dim S2 = 2 dim S – 1 et dim S2 = 2 dim S.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Christine Bachoc et Gilles Zémor.

Towards a Freiman theorem for fields of functions.

A famous theorem of additive number theory due to Freiman and sometimes called “theorem 3k-3” can be stated as follows: “Let A be a finite subset of Rd and A+A the set of sums of two elements of A. If Card (A+A)<3 |A| -3, then A is contained in an arithmetic progression.” In particular, the affine space generated by A is of dimension 1. In this talk we will be interested in a multiplicative analog of this result: given a finite dimensional space S in a field of functions F, we will study the cases where the dimension of the space S2 generated by the products of two elements of S is “small”. We will state what could be an analogue of Freiman’s theorem in this context and prove it in a particular case. We will then produce the complete classification of spaces whose square is of minimum dimension, namely the spaces satisfying dim S2=2 dim S – 1 and dim S2=2 dim S.

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