Je propose ici une notation innovante qui, j’estime, permettra même aux débutants de réussir en licence.
Je commence avec l’exemple des équations quadratiques. La pédagogie classique fait les élèves mémoriser que la solution de l’équation quadratique \[ ax^2 + bx + c = 0 \] à coefficients réels est \[ \left\{\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right\} \] lorsque \(b^2 - 4ac\geqslant 0\), et \[ \left\{\dfrac{-b\pm i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}\right\} \] sinon.
Quels que soient \(a,b,c\) réels, posons : \[ S(a,b,c) = \begin{cases} \left\{\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right\} &\text{si $b^2\geqslant 4ac$}\\[12pt] \left\{\dfrac{-b\pm i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}\right\} &\text{si $b^2\leqslant 4ac$} \end{cases} \]
L’avantage de l’introduction de cette notation dans le programme de licence paraît évident : au lieu de mémoriser l’expression « \(\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) » pour le cas où \(b^2\geqslant 4ac\), et séparément mémoriser la méthode pour le cas \(b^2 < 4ac\), les élèves n’auront qu’à mémoriser l’expression « \(S(a,b,c)\) ».
On peut aller plus loin et apprendre aux élèves qu’une équation peut être traitée formellement, comme un objet mathématique. Pour ceux qui connaissaient déjà les polynômes, ou, à défaut, ont suivi le cours du Langage mathématique, le concept ne doit pas être totalement étranger. On pourra alors redéfinir le symbole \(S\) pour que l’ensemble des solutions de l’équation quadratique \[ ax^2 + bx + c = 0 \] s’écrive comme \[ S(ax^2 + bx + c = 0). \]
Cette technique n’est pas limitée aux équations quadratiques, ni aux équations polynomiales. On pourrait introduire une gamme des symboles pour des différents types d’équations, mais, comme le contexte d’habitude permet d’éviter toute confusion, on va réutiliser « \(S\) » pour davantage de simplicité.
Quand les élèves rencontrent les équations différentielles pour la première fois, une méthode classique est de les faire mémoriser que la solution générale de l’équation \[ y' = ay \] s’écrit comme \[ y = Ce^{at}. \] Un défaut de cette méthode est ce que les élèves restent démunis face à toutes autres équations, telles que \[ ay = y' \] ou \[ ay' = y. \] Mais si on les forme plutôt en bon usage du symbole \(S\), ils doivent au moins pouvoir comprendre que la solution de \(y' = ay\), est \(S(y' = ay)\), celle de \(ay = y'\) est \(S(ay = y')\), et celle de \(ay' = y\) est \(S(ay' = y)\).
Il paraît indéniable que l’approche proposée protège les élèves contre le risque d’erreur inhérent à la manipulation des équations.
Une dernière simplification pourrait être de ne pas écrire l’équation entre les parenthèses lorsque le contexte permet de deviner aisément de quelle équation il s’agit. Ainsi, pour résoudre l’équation \[ x^2 = 0 \] (par exemple), les élèves n’auront qu’à écrire « \(S\) ».
Il me semble qu’une telle innovation réduirait la quantité de travail exigé des élèves dans un cour de la mathématique, et qu’elle simplifierait les tâches d’enseignement et de correction des copies. Les efforts conservés ainsi pourront être dépensés ailleurs.