On importe les bibliotheques dont on va se servir
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
On commence par tracer un signal $x$ de $N=1024$ points qui est la discrétisation de la parabole $t\mapsto (t-\frac{1}{2})^2$ sur l'intervalle $[0,1]$
N=1024
t=np.arange(0,1,1/N)
x=(t-0.5)**2
On trace le signal.
plt.figure()
plt.plot(t,x)
plt.show()
On calcule la transformee de Fourier discrète du signal
xchap=np.fft.fft(x)
On regarde le resultat. La transformee est complexe ! Il faut donc visualiser le module ou la partie réelle des coefficients.
plt.figure()
plt.plot(np.abs(xchap))
plt.show()
On centre les fréquences en $0$.
plt.figure()
plt.plot(np.arange(-N//2,N//2),np.fft.fftshift(np.abs(xchap)))
plt.show()
On zoome sur les coefficients autour de $0$
n0=30
plt.figure()
Xchap=np.fft.fftshift(np.abs(xchap))
plt.plot(np.arange(-n0,n0),Xchap[N//2-n0:N//2+n0],'rs')
plt.vlines(np.arange(-n0,n0),[0],Xchap[N//2-n0:N//2+n0])
plt.title('2*'+str(n0)+' premiers coefficients de Fourier')
plt.show()
On fixe maintenant $M$ tel que $0\leq M\leq N/2-1$ et on définit la réponse impulsionnelle d'un filtre notée $h^M$ tel que
- $\widehat{h^M}_\overline{k}=0$ si $|k|\geq M$
- $\widehat{h^M}_{\overline{k}}=1$ si $|k|\leq M$
Appliquer ce filtre sur un signal $x$ revient à ne garder que les $M$ premiers coefficients $\langle x,e^n\rangle$, $n=-M,..,M$ et à mettre à zéro les autres. On calcule donc $$x^M=K_{h^M}(x)=\frac{1}{N}\sum\limits_{n=-M}^M \langle x,e^n\rangle e^n=\frac{1}{N}\sum\limits_{n=-M}^M \hat{x}_n e^n$$
Commençons à voir ce qui se passe pour $M=5$.
M=5
xMchap=np.zeros(xchap.size)
xMchap[0:M]=xchap[0:M].copy()
xMchap[N-M:N]=xchap[N-M:N].copy()
xM=np.fft.ifft(xMchap)
xM=xM.real
plt.figure(5)
plt.plot(xM)
plt.title('approximation xM pour M=' +str(M))
plt.show()
n0=30
plt.figure(6)
XMchap=np.fft.fftshift(np.abs(xMchap))
plt.plot(np.arange(-n0,n0),XMchap[N//2-n0:N//2+n0],'rs')
plt.vlines(np.arange(-n0,n0),[0],XMchap[N//2-n0:N//2+n0])
plt.title('2*'+str(n0)+' premiers coefficients de Fourier de xM')
plt.show()
On calcule $x^M$ pour $M$ de plus en plus grand. Qu'observe-t-on ?
M=50
xMchap=np.zeros(xchap.size)
xMchap[0:M]=xchap[0:M].copy()
xMchap[N-M:N]=xchap[N-M:N].copy()
xM=np.fft.ifft(xMchap)
xM=xM.real
plt.figure(7)
plt.plot(xM)
plt.title('approximation xM pour M=' +str(M))
plt.show()
Il se pourrait qu'on a presque convergé. Vérifions en traçant $|x^M[n]-x[n]|$
plt.figure()
plt.plot(np.abs(xM-x))
plt.show()
Hum.. Ce n'est pas si petit.. Continuons
M=100
xMchap=np.zeros(xchap.size)
xMchap[0:M]=xchap[0:M].copy()
xMchap[N-M:N]=xchap[N-M:N].copy()
xM=np.fft.ifft(xMchap)
xM=xM.real
plt.figure(8)
plt.plot(xM)
plt.title('approximation xM pour M=' +str(M))
plt.show()
plt.figure()
plt.plot(np.abs(xM-x))
plt.show()
Calculons $\|x^M-x\|_2$
np.linalg.norm(xM-x,ord=2)