Diagonalisation

Une matrice carrée A d'ordre n à coefficients dans un corps K est diagonalisable s'il existe une matrice P inversible, dite matrice de passage, et une matrice diagonale D telles que

$$A = P D P^{-1}.$$

Dans ce cas, les colonnes de P sont des vecteurs propres de A associées aux valeurs propres se trouvant sur la diagonale de D, càd

$$\forall \: i=1,\cdots,n, \:\: A P_{\cdot i} = D_{ii} P_{\cdot i}.$$

Si A est diagonalisable alors les vecteurs propres de A forment une base de $\mathbb{R}^n$, et réciproquement.

En matlab/octave, les valeurs propres d'une matrice carrée peuvent s'obtenir au moyen de la commande eig, dont voici une utilisation typique :

A=rand(5,5); A=(A+A')*0.5; %matrice symétrique aléatoire
[P,D]=eig(A)               %calcul des vep et vap de A
A*P(:,1)./P(:,1)           %une vérification