Pseudo-inverse

La pseudo-inverse de Moore-Penrose d'une matrice A de taille nxp est une matrice B de taille pxn vérifiant les propriétés suivantes :

1. ABA=A,
2. BAB=B,
3. AB et BA sont des matrices hermitiennes.

Soit r le rang de A (r devant être au plus égal à n et p).

• Dans le cas où r=n=m (matrice carrée inversible), la pseudo inverse de A est égale à son inverse.
• Si rang(r)=p<n, alors la pseudo-inverse vaut
  
  $$A^{-} = (A^\ast A)^{-1} A^{\ast}.$$
  
  

• Si rang(r)=n<p, alors la pseudo-inverse vaut
  
  $$A^{-} = A^\ast (A A^\ast)^{-1}.$$
  
  

D'un point de vue algorithmique, la pseudo-inverse d'une matrice A s'obtient généralement à partir d'une décomposition en valeurs singulières de A

$$A = U S V^\ast$$

en posant

$$A^{-} = V R U^\ast,$$

où R est définie à partir de S en inversant ses valeurs non nulles et en la transposant.

Le calcul de la pseudo-inverse en matlab ou octave peut se calculer au moyen de la fonction pinv, qui repose sur une décomposition en valeurs singulières.