La somme des chiffres des nombres premiers est bien répartie.

Dans un article, écrit en français mais publié par les Annals of
Mathematics de l'université de Princeton, deux chercheurs de
l'Institut de Mathématiques de Luminy (Marseille) prouvent que la
somme des chiffres des nombres premiers est bien répartie. Ce résultat
démontre une conjecture énoncée en 1968 par le mathématicien russe
Alexandre Gelfond. Les nombres premiers fascinent les mathématiciens
depuis toujours et de nombreux problèmes les concernant sont encore
sans réponse. Après avoir écrit les nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11,
13, 17, ...  (dans la base décimale habituelle ou toute autre base) on
peut s'intéresser à la somme des chiffres qui les représentent (2, 3,
5, 7, 2, 4, 8, ...). Christian Mauduit et Joël Rivat montrent que
cette suite est, en général, « équirépartie dans les progressions
arithmétiques ». Cela implique par exemple qu'il y a autant de nombres
pairs que de nombres impairs dans cette suite. Plus généralement, le
reste des divisions de ces nombres par un entier k est également
réparti entre 0, 1,..., k-1. Pour démontrer cette affirmation, les
auteurs utilisent une combinaison novatrice de méthodes issues de
l'analyse combinatoire, de la théorie analytique des nombres et de
l'analyse harmonique. Selon leurs propres termes, leurs résultats
peuvent s'interpréter « comme une démonstration de l'indépendance
entre la propriété multiplicative - être un nombre premier - et une
propriété de nature automatique relative à la représentation des
nombres premiers en base q ». Outre leur intérêt purement abstrait,
ces résultats pourraient s'avérer utiles pour la construction de
suites de nombres pseudo aléatoires, dont la cryptographie a grand
besoin. Notons, que l'article, soumis en novembre 2005, puis revu et
corrigé en novembre 2007, n'est paru qu'en mai 2010. La recherche
fondamentale est une école de patience !