À l'issue de la réunion du jeudi 9 mars concernant les 3 UE du second semestre
du M1 de maths tournant autour de l'algèbre/arithmétique/topologie et logique,
nous sommes arrivés aux conclusions suivantes :

- Il faut rédiger les programmes de manière à laisser de la souplesse aux
enseignants qui vont s'occuper de ces UE, en mettant en avant quelques points
clés, en ne rentrant pas dans le détail, mais en donnant éventuellement
quelques exemples de développements possibles.

- Logique : "L'objectif est de proposer un cours préparant les étudiants au
parcours maths-info du M2 et à l'option D de l'agrégation. Les sujets traités
pourront tourner autour de l'algorithmique et de la programmation, des
automates et des langages, de la logique du premier ordre, des théories
axiomatiques, de la calculabilité avec la notion de fonction calculable, du
problème de la décidabilité et de la complétude.  On pourra ouvrir par exemple
vers les théorèmes d'incomplétude ou vers les bases de la théorie des modèles."

- Topologie et géométrie différentielle : "L'objectif est de donner aux
étudiants une solide intuition géométrique concernant l'usage du calcul
différentiel et de les initier au maniement des concepts topologiques, au
travers de l'études d'objets simples comme les courbes et les surfaces. On
montrera en particulier l'usage des théorèmes des fonctions implicites et
d'inversion locale.  On pourra ouvrir ensuite vers divers problèmes de
classification des objets introduits : en topologie par exemple avec la non
homéomorphie de la sphère et du tore et l'introduction du groupe fondamental,
en géométrie métrique avec l'étude locale des surfaces et les notions de
courbure, ou encore en géométrie locale avec l'étude de quelques lieux
singuliers de courbes et de surfaces."

- Arithmétique : "L'objectif est d'introduire un certain nombre de concepts et
de résultats de théorie des nombres indispensables au mathématicien ou à
l'enseignant des mathématiques : structure de l'anneau Z/nZ et de son groupe
des inversibles, fonctions arithmétiques élémentaires, loi de réciprocité
quadratique, propriétés élémentaires des nombres premiers, approximation des
nombres réels par les rationnels. On pourra ouvrir ensuite vers quelques sujets
plus spécifiques de théorie algébrique, analytique ou algorithmique des
nombres."

- Pour les UE dites "transverses et professionalisantes", il a été suggéré de
proposer une UE annuelle de "communication orale" qui demanderait aux étudiants
de présenter un exposé oral sous forme d'une projection type powerpoint, sur un
sujet portant exclusivement sur un point d'histoire ou d'épistémologie des
mathématiques.  Il s'agit, au delà de l'initiation à la présentation orale, de
sensibiliser les étudiants au fait que les notions et concepts ont une histoire
et que ce qui nous apparait évident aujourd'hui n'existait souvent pas il y a
quelques décennies, ce qui permet aux étudiants de mieux comprendre less
difficultés qu'ils ont pu rencontrer dans leur cursus et qu'ils rencontreront
quand ils seront enseignants (la notion d'espace en tant qu'objet mathématique
n'apparait pas avant la deuxième moitié du XIXe siècle, comme celle de
fonction, par exemple). Et cela offrirait une "respiration" dans leur cursus
très chargé.