\documentclass{article}

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%% L'environnement exo

\newcommand{\priosymb}{\clubsuit}
\newcommand{\exoprio}{}

\newcounter{Exo}
\newenvironment{exo}[1][]{%
  \refstepcounter{Exo}
  \medskip\noindent%
  {\textbf{\textsc{Exercice~\arabic{Exo}}}}
  \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{(#1)} \exoprio
  \par\nobreak
}{%
  \par\setlength{\leftskip}{0pt}
}

% Exo prioritaire
\newenvironment{exop}[1][]{%
  \renewcommand{\exoprio}{$\priosymb$}
  \begin{exo}[#1]}
{%
  \end{exo}
}

\newcounter{Question}[Exo]
\newcommand{\question}{%
  \refstepcounter{Question}%
  \par\smallskip\setlength{\leftskip}{0pt}
  \nobreak\arabic{Question}.\kern1.5ex}

\newcounter{SubQuestion}[Question]
\renewcommand{\theSubQuestion}{(\alph{SubQuestion})}
\newcommand\sousquestion{%
  \refstepcounter{SubQuestion}%
  \par\setlength{\leftskip}{2em}
  \nobreak\hspace{-1em}\theSubQuestion\kern1.5ex}

%% Mise en page
\setcounter{secnumdepth}{1}
\parindent0pt

%% Le titre de la planche
\newcommand{\titreTD}{
  \thispagestyle{empty}
  \par
  Université d'Aix-Marseille \hfill \filiere\\
  {\semestre}\hfill{\annee}

  \bigskip
  \noindent
  \framebox[\textwidth]{
    \vbox{
      \begin{center}
        \textbf{\planche}\\
        {\titreplanche}
      \end{center}
    }
  }
}

% En-tête
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[C]{\small\slshape%
  \textsc{\ue~--~\planche}~--~{\titreplanche}}
\fancyhead[R]{}

\newcommand{\annee}{\oldstylenums{2019}-\oldstylenums{2020}}
\newcommand{\filiere}{Portail Descartes}
\newcommand{\semestre}{Semestre~1}
\newcommand{\ue}{Langage mathématique}
\newcommand{\planche}{Planche~1}
\newcommand{\titreplanche}{Langage et raisonnement mathématique}

%%
% Définitions locales à cette planche

\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\newcommand{\Vect}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\implique}{\Rightarrow}

\newcommand{\et}{\text{ et }}
\newcommand{\ou}{\text{ ou }}

\begin{document}

\titreTD

\section{Opérateurs logiques et quantificateurs}

\begin{exo}
Établir si les assertions suivantes sont vraies et, si elles ne le sont pas,
écrire leur négation. On précisera quels opérateurs logiques et
quantificateurs apparaissent dans chaque assertion.

\question Pour tout pays, il existe une ville qui est sa capitale.

\question Tout animal qui possède quatre pattes est un mammifère.

\question Tout animal possède quatre pattes ou est un mammifère.

\question Il existe un animal qui possède deux pattes et qui est un
mammifère.

\question Si je suis une fille alors je porte une jupe.

\question En France, toute personne qui conduit seule a au moins 18 ans.

\question En France, toute personne qui a au moins 18 ans conduit seule.
\end{exo}

\begin{exo}
Donner la négation des assertions ci-dessous.

\question  $x\geq 10$.

\question $1< x\leq 5$.

\question $\exists x\in \R,\,\forall y\in \R, \quad x+y > 0$.

\question $\forall x\in \R,\,\forall y\in \R, \quad x+y > 0$.

\question $\exists x\in \R,\, \forall y\in \R, \quad y^2 > x $.

\question $\forall x\in\R,\, \bigl(x>0 \implique (\exists
  y\in\R,\,0<y<x)\bigr)$.

\question $\forall x\in \R,\, \exists y\in\R, \bigl(\forall z\in\R, x < y \et
  y\geq z \et x\leq z < y^2\bigr)$.

\question $\forall x\in \R, \forall y\in\R, \forall z\in\R,\, \bigl((x < y \et
  y<z )  \implique x < y < z\bigr)$.

\question $\forall x\in \R, \forall y\in\R,\, \exists z\in\R^+, \bigl((x^2 \leq
  y^2 \et y < z) \ou x\leq y < \sqrt z\bigr)$.

\question $\forall x\in \R,\, \exists y\in\R, \forall z\in\R, \bigl(x < y \et
  y\geq z \et x\leq z < y^2\bigr)$.
\end{exo}

\begin{exo}
Écrire la contraposée et la réciproque des implications ci-dessous.

\question $\forall x\in\R,\, \bigl(x > 0 \implique (\exists y\in\R,\,0 < y <
x)\bigr)$.

\question $\forall x\in \R, \forall y\in\R, \forall z\in\R,\, \bigl((x < y
  \et y<z)  \implique x<y<z\bigr)$.

\question $\forall x\in \R, \forall y\in\R,\, (0\le x\le y\implique 0\le x^2\le
  y^2)$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $I$ un intervalle de $\R$ non vide et $f : I\to\R$ une fonction à
valeurs réelles définie sur $I$. Pour chacune des assertions suivantes,
exprimer sa négation puis trouver une fonction qui la vérifie et une autre qui
vérifie sa négation.

\question $\forall x\in I,\,f(x)\ne 0$.

\question $\forall y\in\R, \exists x\in I,\,f(x)=y$.

\question $\exists M\in\R, \forall x\in I,\,|f(x)|\leq M$.

\question $\forall x\in I, \forall y\in I,\,x\leq y \implique f(x)\leq f(y)$.

\question $\forall x\in I, \forall y\in I,\,f(x)=f(y) \implique x=y$.

\question $\forall x\in I,\,f(x)>0 \implique x\leq 0$.
\end{exo}

\begin{exo}
Exprimer les affirmations suivantes en symboles mathématiques.

\question Tout entier naturel est plus petit ou égal à son carré.

\question Si le produit de deux nombres réels est nul, alors un des deux
  facteurs est nul.
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Raisonnements logiques - Quantificateurs}
 
\begin{exo}
Déterminer si ces assertions sont vraies ou fausses.

\question $\exists x\in \R,\,\forall y\in \R,\, x+y > 0$.

\question $\forall x\in \R,\,\forall y\in \R,\, x+y > 0$.

\question $\exists x\in \R,\,\forall y\in \R,\, y^2 > x $.
\end{exo}

\begin{exo}

\question Démontrer l'implication $0\le x\le y\implique0\le x^2\le
  y^2$.

\question Écrire sa réciproque, puis la négation de sa réciproque.

\question Déterminer si la réciproque est vraie.
\end{exo}

\section{Récurrence - Absurde - Contraposée}

\begin{exo}
Montrer par récurrence les affirmations suivantes

\question $0+1+2+\ldots+n\,=\,\frac{n(n+1)}{2}$ pour tout $n\in\mathbb N$.

\question  $1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$.

\question Si $a\not=1$, alors: $ 1+a+a^2+\dots+a^n=\displaystyle
  \frac{1-a^{n+1}}{1-a}$, pour tout $n\in\mathbb{N}$.
\end{exo}

\begin{exo}
Démontrer par récurrence l'inégalité $2^n\ge n^2$, pour tout entier $n$
supérieur ou égal  à un entier $n_0$ que l'on déterminera. A-t-on $2^n\ge n^2$
pour tout $n\in\mathbb N$?
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $a$ et $b$ deux entiers. On dit que \textit{$a$ divise $b$} s'il
existe un entier $k$ tel que $b=ak$.

\question Ecrire la négation de $a$ divise $b$.

\question Montrer les affirmations suivantes, avec $a,b$ et $c$ des entiers.
\sousquestion $a$ divise $a$.
\sousquestion Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $c$ alors $a$ divise $c$.
\sousquestion Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $a$ alors $a=b$ ou $a=-b$.
\sousquestion $a$ divise $0$.

% \question Soient $a,b,c$ trois entiers tels que $a$ divise $c$ et $b$ ne
% divise pas $c$.  Montrer par contraposée que $a+b$ ne divise pas $c$.  il y a
% un probleme ici: 5 divise 35, 2 ne le divise pas mais 7=5+2 le divise!

\question Soient $a,b,c$ trois entiers tels que $a$ divise $b$. Si $a$ ne
divise pas $c$, montrer par contraposée que $a$ ne divise pas $b+c$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $a\in\R$. Montrer que

\question $(\forall \varepsilon > 0,\,|a| <\varepsilon)\implique a = 0$.

\question $(\forall \varepsilon > 0,\,|a| \leq 8\varepsilon)\implique a = 0$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $a$ un réel. Montrer par contraposée, que si $\forall \varepsilon>0$
$a\leq \varepsilon$, alors $a\leq 0$.
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer par l'absurde l'affirmation suivante~: «~$\sqrt{2}$ n'est pas un
nombre rationnel~».
\emph{Indication~: écrire $\sqrt{2}$ sous forme d'une fraction irréductible
  $\displaystyle{\frac{p}{q}}$ et discuter la parité de $p$ et $q$.
}

Démontrer de même que $\sqrt{3}\not\in\Q$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $(u_n)$ la suite réelle définie par: $u_0 = 2$, $u_1 = 3$ et
$$
\forall n\in\N,\,u_{n+2} =3u_{n+1}-2u_n\,.
$$
Montrer que
$$
\forall n\in\N,\,u_n = 2^n + 1\,.$$
\end{exo}

\section{Introduction aux parties de $\mathbb{R}$}

\begin{exo}
Décrire (et mettre évidence sur un axe) les parties de $\R$ définies par les
conditions suivantes:

\question $(x> 0 \et x<1) \ou x=0$.

\question  $x>3 \et x<5 \et x\ne 4$.

\question $(x\leq 0\et x>1) \ou x=4$.

\question $(x \geq  0) \implique (x \geq  2)$.
\end{exo}

\begin{exo}
Trouver tous les nombres réels qui vérifient les assertions suivantes.

\question $\vert 2x+1\vert < \vert x+1\vert$.

\question $\vert 2x-3\vert \geq 1$.

\question $\vert 2x+1\vert < \vert x+1\vert \et \vert 2x-3\vert \geq 1$.

\question $\vert 2x+1\vert < \vert x+1\vert \ou \vert 2x-3\vert \geq 1$.

\question $\vert 2x-1\vert \geq \vert x-1\vert$.

\question $\vert 2x-1\vert < 1$.

\question $\vert 2x-1\vert \geq \vert x-1\vert \et \vert 2x-1\vert < 1$.

\question $\vert 2x-1\vert \geq \vert x-1\vert \ou \vert 2x-1\vert < 1$.
\end{exo}

\begin{exo}
Définir en termes d'intervalles les ensembles suivants.

\question $A=\{x\in \R : |x+1|\le |x^2-3|\}$.

\question $B=\{x\in \R : |x^2-x-3|>x+1\}$.

\question $C=\{x\in \R : |3x-|2x+1||<2\}$.
\end{exo}

\section{Exercices complémentaires}

\begin{exo}
Définir en termes d'intervalles les ensembles suivants.

\question $A=\{x\in \R : |x-1|\le |x+3|\}$.

\question $B=\{x\in \R : |x^2-2x-3|>2x+1\}$.

\question $C=\{x\in \R : |x-|x+1||<2\}$.

\question $D=\{x\in \R : 2|x+1|\le |x-8|\}$.

\question $E=\{x\in \R : 2|x+1|> |x-3|\}$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $I$ un intervalle de $\R$ et $f : I\to \R$ une fonction définie sur
$I$ à valeurs réelles. Exprimer à l'aide de quantificateurs les assertions
suivantes~:

\question La fonction $f$ s'annule.

\question La fonction $f$ est la fonction nulle.

\question La fonction $f$ n'est pas une fonction constante.

\question La fonction $f$ ne prend jamais deux fois la même  valeur.

\question La fonction $f$ présente un minimum.

\question La fonction $f$ ne peut s'annuler qu'une seule fois.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $I$ un intervalle de $\R$ et $f : I\to  \R$ une fonction définie sur
$I$ à valeurs réelles. Exprimer verbalement la signification des assertions
suivantes~:

\question $\exists C\in\R,\,\forall x\in I,\,f(x)=C$.

\question $\forall x\in I,\,(f(x)=0\implique x=0)$	.

\question $\forall x\in I,\,\forall y\in I,\,\big(x\leq y \implique f(x)\leq
  f(y)\big)$.

\question $\forall x\in I,\,\forall y\in I,\,\big(x <  y \implique f(x) >
  f(y)\big)$.
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer par l'absurde que $\sqrt6\not\in \Q$.
\end{exo}

\begin{exo}
Utiliser le fait que la somme et le produit de deux nombres rationnels est
encore un nombre rationnel et l'exercice précédent pour démontrer que

\question $\forall q\in \Q,\,q+\sqrt{2}\not\in\Q$.

\question $\sqrt{2}+\sqrt{3}\not\in\Q$.
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que
$$
\forall n\in \N\setminus\{0,1\},\,1 +
\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{n^2}>\frac{3n}{2n+1}
$$
\end{exo}

\begin{exo}
On considère les assertions suivantes:

$X : \forall x\in\R,\,x>0 \implique (\exists y\in\R,\,0<y<x$).

$Z : \forall x\in \R, \forall y\in\R, \forall z\in\R,\,(x < y
\et y<z)  \implique x<y<z$.

\question Écrire leur négation.

\question Préciser si elles sont vraies ou fausses, puis les démontrer.
\end{exo}

\begin{exo}
On considère les assertions suivantes:

$(A)~: \forall x\in \R, \forall y\in \R, \big(x<y\implique
\exists\varepsilon>0, x+\varepsilon<y\big)$.

$(B)~: \forall x\in \R, \forall y\in \R, \big([(0\leq x\leq 2\pi) \et (0\leq
y\leq x)] \implique [e^{\cos(x)}=e^{\cos(y)}\implique x=y]\big)$.

$(C)~:\,\forall x\in\R,\, x>0 \implique (\exists y\in\R,\,0<y<x).$

\question Écrire leur négation et leur contraposée.

\question Préciser si elles sont vraies ou fausses, puis les démontrer.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $I$ un intervalle de $\R$ et $f : I\to \R$ une fonction définie sur
$I$ à valeurs réelles. Exprimer à l'aide de quantificateurs les assertions
suivantes.

\question La fonction $f$ prend des valeurs arbitrairement grandes.

\question La fonction $f$ ne prend jamais deux fois la même  valeur.
\end{exo}

\begin{exo}
On considère l'assertion suivante.

$(A)~: \forall x\in \R, \forall y\in \R, \big(x<y\implique
\exists\varepsilon>0, x+\varepsilon<y\big)$.

\question Écrire sa négation et sa contraposée.

\question Préciser si elle est vraie ou fausse, puis le démontrer.
\end{exo}

\begin{exo}
On considère l'assertion suivante.

$Y~:\,\forall x\in\R, [\exists y\in\R, y^2<x$ ou $xy\leq 0]$.

\question Écrire sa négation.

\question Préciser si elle est vraie ou fausse, puis la démontrer.
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer par récurrence:  $2+4+\dots+(2n)=n^2+n$, pour tout $n\in\N^*$.
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer par récurrence :  $2n<n^2$, pour tout $n\in\N$ à partir d'un
entier $n_0$ que l'on donnera.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $p$, $n\in\N$ tels que $p\leq n$. Rappelons que le coefficient binomial
$\binom np$ est défini par
$$
\binom{n}{p} := \frac{n!}{p!(n-p)!}.
$$
Ce nombre a une interprétation importante: c'est le nombre des sous-ensembles à
$p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments. Démontrer, éventuellement par
récurrence

\question (La formule de Pascal)~:
$$
\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}=\binom{n+1}{p+1}.
$$

\question (La formule itérée de Pascal)~:
$$\sum_{k=p}^{n} \binom{k}{p}= \binom{n+1}{p+1}.
$$
où $n\ge p$. En déduire une formule explicite pour la somme $\sum_{k=1}^n k^p$
pour $p\in\{1,2,3\}$.

\question (La formule du binôme de Newton): Soient $x$, $y\in\R$. Alors
$$
\forall n\in\N,\,(x+y)^n= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k}.
$$
En déduire les identités: $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=2^n$, $\sum_{k=0}^n
(-1)^k\binom{n}{k}=0$.

\question (La formule du binôme de Van der Monde): Soient $m$, $n$, $p\in\N$
tels que $p\leq m+n$. Alors
$$
\binom{m+n}{p}=\sum_{k=0}^p\binom{m}{k}\binom{n}{p-k}.
$$
\emph{Indication~: Utiliser l'identité $(1+x)^m(1+x)^n=(1+x)^{m+n}$ et la
  formule du binôme de Newton.}
\end{exo}
\end{document}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: