\documentclass{article}

\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath, amsthm,amssymb}
\usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{ifthen}

%% L'environnement exo

\newcommand{\priosymb}{\clubsuit}
\newcommand{\exoprio}{}

\newcounter{Exo}
\newenvironment{exo}[1][]{%
  \refstepcounter{Exo}
  \medskip\noindent%
  {\textbf{\textsc{Exercice~\arabic{Exo}}}}
  \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{(#1)} \exoprio
  \par\nobreak
}{%
  \par\setlength{\leftskip}{0pt}
}

% Exo prioritaire
\newenvironment{exop}[1][]{%
  \renewcommand{\exoprio}{$\priosymb$}
  \begin{exo}[#1]}
{%
  \end{exo}
}

\newcounter{Question}[Exo]
\newcommand{\question}{%
  \refstepcounter{Question}%
  \par\smallskip\setlength{\leftskip}{0pt}
  \nobreak\arabic{Question}.\kern1.5ex}

\newcounter{SubQuestion}[Question]
\newcommand\sousquestion{%
  \refstepcounter{SubQuestion}%
  \par\setlength{\leftskip}{2em}
  \nobreak\hspace{-1em}(\alph{SubQuestion})\kern1.5ex}

%% Mise en page
\setcounter{secnumdepth}{1}
\parindent0pt

%% Le titre de la planche
\newcommand{\titreTD}{
  \thispagestyle{empty}
  \par
  Université d'Aix-Marseille \hfill \filiere\\
  {\semestre}\hfill{\annee}

  \bigskip
  \noindent
  \framebox[\textwidth]{
    \vbox{
      \begin{center}
        \textbf{\planche}\\
        {\titreplanche}
      \end{center}
    }
  }
}

% En-tête
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[C]{\small\slshape%
  \textsc{\ue~--~\planche}~--~{\titreplanche}}
\fancyhead[R]{}

\newcommand{\annee}{\oldstylenums{2019}-\oldstylenums{2020}}
\newcommand{\filiere}{Portail Descartes}
\newcommand{\semestre}{Semestre~1}
\newcommand{\ue}{Langage mathématique}
\newcommand{\planche}{Planche~3}
\newcommand{\titreplanche}{Fonctions, applications}

%%
% Définitions locales à cette planche

%---- Ensemble : entiers, reels, complexes... ----

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\usepackage{mathrsfs}
\newcommand{\Rel}{\mathrel{\mathscr{R}}}
\newcommand{\diffsym}{\mathop{\Delta}}
\newcommand{\Parties}{\mathscr{P}}
\newcommand{\implique}{\Rightarrow}

%---- Modifications de symboles -----
\renewcommand {\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand {\le}{\leqslant}
\renewcommand {\ge}{\geqslant}
\renewcommand {\leq}{\leqslant}
\renewcommand {\geq}{\geqslant}
\renewcommand {\Im}{\mathrm{Im}}

\newcommand{\dps}{\displaystyle}

\begin{document}

\titreTD

%%%%%
\section{Domaines et compositions}
%%%%
\begin{exo}
On donne $E=\{a,b,c,d\}$ et $F=\{1,2,3,4\}$. Déterminer $f(\{a,b,c\})$ et
$f^{-1}(\{1,3\})$ pour les applications $f : E\to F$ suivantes :
\question $f(a)=1, \ f(b)=3, \ f(c)=4, \ f(d)=2$;

\question $f(a)=f(b)=2, \ f(c)=f(d)=3$;

\question $f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=2$.
\end{exo}

\begin{exo}
On donne $E=\{a,b,c,d\}$ et $F=\{1,2,3,4\}$. Soient $f$ et $g$ les fonctions
(au sens de «~relation fonctionnelle~») de
$E$ dans $F$ et de $F$ dans $E$ respectivement définies de la manière suivante~:
$f(b)=3, \ f(c)=4, \ f(d)=2$ et $g(1)=a,\ g(2)=b, \ g(3)=c$.

Déterminer $f\circ g$ et $g\circ f$.
\end{exo}

\begin{exo}
Considérons les fonctions $f$ et $g$ données par les formules
$f(x)=\dps\frac{1+x}{1-x}$ et $g(x)=\dps\frac{1}{x}$ pour $x$ réel.

\question Déterminer les plus grands sous-ensemble (au sens de l'inclusion) de
$\R$ sur lesquels les fonctions suivantes sont définies: $f$, $g$, $f\circ g$,
$g\circ f$, $f\circ f$ et $g\circ g$.

\question Calculer  $f\circ g$, $g\circ f$, $f\circ f$ et $g\circ g$. Conclure.
\end{exo}

%%%%%
\section{Image directe, image réciproque}
%%%%%

\begin{exo}
On donne les fonctions réelles $f$ et $g$ en spécifiant $f(x)=\sin(\pi x)$ et
$g(x)=\sqrt{1-x^2}$.

\question Déterminer les domaines de définition de $f$, $g$, $f\circ g$ et
$g\circ f$.

\question Déterminer l'ensemble image (c'est-à-dire l'image de leur domaine de
définition) de $f$, $g$, $f\circ g$ et $g\circ f$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f : E\to F$ une application, et soient $A$ et $B$ deux parties de
$E$.
\question Démontrer que $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$.
\question Démontrer que $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$ et trouver un
exemple qui montre que l'inclusion peut être propre.

% \question Démontrer que $f(A\cap B) = f(A)\cap f(B)$ si $f$ est injective.

% \question Démontrer que si $f(A\cap B) = f(A)\cap f(B)$ pour toutes parties
% $A, B \subset E$, alors $f$ est injective.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f : E\to F$ une application, et soient $C$ et $D$ deux parties de $F$.

\question Démontrer que $f^{-1}(C\cup D)=f^{-1}(C )\cup f^{-1}(D)$.

\question Démontrer que $f^{-1}(C\cap D)=f^{-1}(C )\cap f^{-1}(D)$.
\end{exo}

%%%%%
\section{Injectivité, surjectivité et bijectivité}
%%%%

\begin{exo}
Soient $f : E\rightarrow F$ et $g: F\rightarrow G$ deux applications. Montrer
les implications suivantes:

\question $f$ et $g$ injectives $\Rightarrow$ $g\circ f$ est injective.

\question $f$ et $g$ surjectives $\Rightarrow$ $g\circ f$ est surjective.

\question $g\circ f$ surjective $\Rightarrow$ $g$ est surjective.
Trouver un exemple où $f$ n'est pas surjective.

\question  $g\circ f$ injective $\Rightarrow$ $f$ est injective.
Trouver un exemple où $g$ n'est pas injective.
\end{exo}

\begin{exo}
On considère l'application $f:\R\to\R$ définie par $f(x)=x^2$.

\question Déterminer: (i) $f([-1,1])$,  (ii) $\Im(f)$, (iii) $f^{-1}([0,1])$,
(iv) $f^{-1}(]-\infty,0])$.

\question L'application $f$ est-elle injective, surjective, bijective?
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $A$ un ensemble non vide et $B$ l'ensemble des applications
$f:A\to\{0,1\}$. On définit une application $g:B\to\Parties(A)$ de la façon
suivante: $g(f) = f^{-1}(\{1\})$.

\question Montrer que $g$ est une bijection.

\question Que peut-on dire si $A=\emptyset$?
\end{exo}

%%%%%
\section{Réciproque}
%%%%
%%%%

\begin{exo}
Soit $f : E \to E$ une bijection, et $f^{-1}$ sa réciproque. Justifier que
$f\circ f$ est bijective et que $(f\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ f^{-1}$.
\end{exo}

\begin{exo}
On considère l'application $f:{[-1,+\infty[}\to {[0,+\infty[}$ définie par
$f(x)=(x+1)^2$. Montrer que $f$ est bijective et déterminer l'expression de sa
réciproque.
\end{exo}

\begin{exo}
On considère l'application $g:\R\setminus \{1\}
\to\R\setminus\{1\}$ définie par $\displaystyle g(x)={x+1\over
  x-1}$. Montrer que $g$ est bijective et déterminer l'expression de sa
réciproque.
\end{exo}

\begin{exo}
On considère l'application $h:\R\to\R$ définie par $h(x)=x^2+2x$.

\question Est-elle injective, surjective, bijective?

\question Déterminer deux
intervalles $I$ et $J$ tels que l'application $\tilde{h}:I\to J$, définie par
$\tilde{h}(x)=x^2+2x$ soit bijective. Déterminer l'expression de sa
réciproque.
\end{exo}

\section{Exercices complémentaires}

\begin{exo}
Choisir et représenter graphiquement une fonction $f:\R\to\R$ qui
vérifie~:
\question $\exists x \in \R$~: $f(x)=1$.
\question $\forall x \in \R$~: $f(x)=1$.
\question $\forall x,y \in \R$~: $x<y$ $\Rightarrow$ $f(x)<f(y)$.
\question $\exists x \in \R$~: $f(x)<x$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f:\R\to\R$ une fonction réelle. Exprimer formellement (en langage
mathématique) chacune des affirmations suivantes sur $f$ et sa négation. Dans
chaque cas trouver un exemple de fonction qui vérifie l'affirmation et un
exemple de fonction qui vérifie sa négation.
\question La fonction $f$ est majorée.
\question La fonction $f$ est bornée.
\question La fonction $f$ ne s'annule jamais.
\question La fonction $f$ est croissante.
\question La fonction $f$ est décroissante et positive
\question La fonction $f$ est périodique.
\question Les valeurs de la fonction $f$ sont $\le 1$.
\question Il existe $x\in\R_+$ tel que $f(x)\le0$.
\question Il existe $x\in\R$ tel que quel que soit $y\in\R$, si
$x<y$ alors $f(x)>f(y)$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f : E\to F$ une application, et soient $A$ et $B$ deux parties de
$E$.
\question Démontrer que $f(A\cap B) = f(A)\cap f(B)$ si $f$ est injective.

\question Démontrer que si $f(A\cap B) = f(A)\cap f(B)$ pour toutes parties
$A, B \subset E$, alors $f$ est injective.
\end{exo}

\begin{exo}
L'application suivante est-elle injective, surjective, bijective?
\begin{displaymath}
  \begin{array}{lcrcl}
    f &:& \R^2   &\rightarrow& \R^2\\
      & &  (x,y) &\mapsto&     (x + y, x-y)
  \end{array}
\end{displaymath}
\end{exo}

\begin{exo}\label{Cantor}\renewcommand{\C}{\mathcal{C}}
Soit $f: A \to \Parties(A)$ une application d'un ensemble $A$ vers son ensemble
des parties $\Parties(A)$. On définit {\em l'ensemble de Cantor  associé à $f$},
noté $\C_f$, par:
$$\C_f := \{ a \in A \mid a \notin f(a) \}$$

\question Montrer que pour tout $a \in A$ on a l'inégalité
$f(a) \neq \C_f$.

\question En déduire qu'il n'existe aucun ensemble $A$ qui admet une
application surjective $f: A \twoheadrightarrow \Parties(A)$.

\question Montrer le même énoncé pour $A$ fini en utilisant les faits
connus (voir l'exercice 10, question 3, de la planche TD2) regardant la
cardinalité de $A$ et $\Parties(A)$.

\question Discuter une possible définition de $\text{card}(A)$ pour les
ensembles infinis $A$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f : E \to E$ une application et soient $A \subset E$ et $B \subset F$
des sous-ensembles.

\question Montrer que $A \mapsto f(A)$ définit une application $\Parties f :
\Parties(E) \to \Parties(F)$.

\question Montrer que $B \mapsto f^{-1}(A)$ définit une application $\Parties
f^{-1}: \Parties(F) \to \Parties(E)$.

\question Donner une preuve ou trouver un contre-exemple pour $\Parties f
\circ \Parties f^{-1} = id_{\Parties(F)}$.

\question Donner une preuve ou trouver un contre-exemple pour $\Parties f^{-1}
\circ \Parties f = id_{\Parties(E)}$.
\end{exo}

\begin{exo}
On considère les fonctions réelles $f_n$ (où $n = 1, \ldots,
5$) suivantes~:

$$
f_1(x) =
\begin{cases}
1/x, & x\in\R^* \\
0,   & x=0
\end{cases}
\qquad\qquad
f_2(x) =
\begin{cases}
x,      & x<0 \\
\sin x, & 0\le x\le 2\pi \\
0,      & x>2\pi
\end{cases}
$$

$$
f_3(x) =
\begin{cases}
x^3,   & x<0 \\
x,     & 0\le x< 1 \\
\ln x, & x\ge e
\end{cases}
\qquad\qquad
f_4(x) =
\begin{cases}
(x-1)/(x^2+1), & x<0 \\
x^2+1,         & x\ge 0
\end{cases}$$

\begin{center}
$f_5(x) = |x-2k|$
où $k\in\Z$ est l'unique valeur telle que $x \in {]2k-1;2k+1]}$.
\end{center}

Pour chacune de ces fonctions:

\question donner l'ensemble de définition et spécifier s'il s'agit d'une
application~;

\question dessiner le graphe~;

\question établir si la fonction est (a) injective, (b) surjective, (c)
bijective~; si elle est bijective, donner l'application réciproque~; si elle est
injective donner la fonction réciproque dont on spécifiera l'ensemble de
définition;

\question déterminer $f^{-1}(\{0\})$, $f^{-1}([0,1])$ et
$f^{-1}(\R^*_-)$~;

\question dire si, sur son ensemble de définition, la fonction est~: majorée,
minorée, bornée, monotone (en spécifiant quel type), périodique.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f$ une application de $E$ dans $F$ avec $A\subset E$ et $B\subset F$.
Donner les définitions de $f(A)$, $f^{-1}(B)$, $f(f^{-1}(B))$ et
$f^{-1}(f(A)))$
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f$ une application de $E$ dans $F$ avec $A\subset E$ et $B\subset F$.

\question Montrer que $f(f^{-1}(B))\subset B$.

\question Donner $f^{-1}(B)$ quand $f=\sin$, et $B={]-1/2;1/2[}$ ($E=F=\R$).
\end{exo}


\begin{exo}
Soit $f$ une application de $E$ dans $F$ avec $X\subset E$ et $Y\subset F$.

\question Montrer que $X\subset f^{-1}(f(X))$.

\question Donner $f(f^{-1}(Y))$ quand $f=\tan$, et $Y={]0;1[}$ ($E={]-\pi/2;
\pi/2[}$ et $F=\R$).
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $f : E\rightarrow F$ et $g: F\rightarrow G$ deux applications.

\question Donner la définition d'une application injective.

\question Montrer que $g\circ f$ $\implique$ $f$ est injective.

Donner un exemple où $g\circ f$ est injective mais pas $g$.
\end{exo}


\begin{exo}
Soient $f : E\rightarrow F$ et $g: F\rightarrow G$ deux applications.

\question Donner la définition d'une application surjective.

\question Montrer que $g\circ f$ surjective $\implique$ $g$ est surjective.

Donner un exemple où $g\circ f$ est surjective mais pas $f$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $f : E\rightarrow F$ et $g: F\rightarrow G$ deux applications.

\question Donner la définition d'une application bijective.

\question Montrer que$f$ et $g$ bijectives $\implique$ $g\circ f$ est bijective.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f:\R\rightarrow \R$ définie par $f(x)=\ln(x^2+1)$.

\question Montrer que $f$ est ni injective, ni surjective.

\question Donner les plus grands sous-ensembles $E$ et $F$ de $\R$ tels que la
fonction $g~: E\rightarrow F$ définie par $g(x)=\ln(x^2+1)$ soit
bijective. Justifier soigneusement et donner sa fonction inverse (réciproque).
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f:\R\rightarrow \R$ définie par $f(x)=e^{x^2+1}$.

\question Montrer que $f$ est ni injective, ni surjective.

\question Donner les plus grands sous-ensembles $E$ et $F$ de $\R$ tels que la
fonction $g:E\rightarrow F$ définie par $g(x)=e^{x^2+1}$ soit
bijective. Justifier soigneusement et donner sa fonction inverse (réciproque).
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f~: \R\rightarrow \R$ définie par
$f(x)\displaystyle=\sqrt{\frac{1+x^2}{1-x^2}}$.

\question Montrer que $f$ est ni injective, ni surjective.

\question Donner les plus grands sous-ensembles $E$ et $F$ de $\R$ tels que la
fonction $g~: E\rightarrow F$ définie par
$g(x)\displaystyle=\sqrt{\frac{1+x^2}{1-x^2}}$ soit bijective. Justifier
soigneusement et donner sa fonction inverse (réciproque).
\end{exo}






\end{document}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
