\documentclass{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath, amsthm,amssymb,xcolor} \usepackage{mathrsfs} \usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{ifthen} %% L'environnement exo \newcommand{\priosymb}{\clubsuit} \newcommand{\exoprio}{} \newcounter{Exo} \newenvironment{exo}[1][]{% \refstepcounter{Exo} \medskip\goodbreak\noindent% {\textbf{\textsc{Exercice~\arabic{Exo}}}} \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{(#1)} \exoprio \nobreak\par }{% \par\setlength{\leftskip}{0pt} } % Exo prioritaire \newenvironment{exop}[1][]{% \renewcommand{\exoprio}{$\priosymb$} \begin{exo}[#1]} {% \end{exo} } \newcounter{Question}[Exo] \newcommand{\question}{% \refstepcounter{Question}% \par\smallskip\setlength{\leftskip}{0pt} \nobreak\arabic{Question}.\kern1.5ex} \newcounter{SubQuestion}[Question] \newcommand\sousquestion{% \refstepcounter{SubQuestion}% \par\setlength{\leftskip}{2em} \nobreak\hspace{-1em}(\alph{SubQuestion})\kern1.5ex} %% Mise en page \setcounter{secnumdepth}{1} \parindent0pt %% Le titre de la planche \newcommand{\titreTD}{ \thispagestyle{empty} \par Université d'Aix-Marseille \hfill \filiere\\ {\semestre}\hfill{\annee} \bigskip \noindent \framebox[\textwidth]{ \vbox{ \begin{center} \textbf{\planche}\\ {\titreplanche} \end{center} } } } % En-tête \pagestyle{fancy} \fancyhead[L]{} \fancyhead[C]{\small\slshape% \textsc{\ue~--~\planche}~--~{\titreplanche}} \fancyhead[R]{} \newcommand{\annee}{\oldstylenums{2019}-\oldstylenums{2020}} \newcommand{\filiere}{Portail Descartes} \newcommand{\semestre}{Semestre~1} \newcommand{\ue}{Langage mathématique} \newcommand{\planche}{Planche~5} \newcommand{\titreplanche}{Relations d'équivalence} %% % Définitions locales à cette planche \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\et}{\text{ et }} \newcommand{\ou}{\text{ ou }} \newcommand{\si}{\text{si }} \newcommand{\non}{\text{non}} \newcommand{\ssi}{\text{ ssi }} \newcommand{\alors}{\text{ alors }} \newcommand{\Rel}[1][R]{\mathrel{\mathscr{#1}}} \newcommand{\Parties}{\mathscr{P}} \renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}} \begin{document} \titreTD Soit $E$ un ensemble; une relation $\sim$ sur $E$ est dite \emph{relation d'équivalence} si elle est: \begin{description} \item[réflexive:] $\forall x\in E,\,x\sim x$ \item [symétrique:] $\forall x\in E,\forall y\in E,\,\si x\sim y \alors y\sim x$ \item[transitive:] $\forall x\in E,\forall y\in E,\forall z\in E,\,\si x\sim y \et y\sim z \alors x\sim z$. \end{description} \section{Exemples simples de relations d'équivalence} Précisez si les relations suivantes sont des relations d'équivalence. Si les relations ne le sont pas, précisez laquelle (ou lesquelles) des trois propriétés de définition n'est pas remplie. \begin{exo}[Relations sur $E=\R$ ] \label{sim} \question $x\sim y\ssi |x-y|<1$. \label{ques} \question \label{smi} $x\sim y\ssi x-y\in \Q$. \question \label{ism} $x\sim y\ssi x+y\in\Q$. \end{exo} \begin{exo}[Relations sur $E=\Z$.]\label{uau} \question $x\sim y\ssi \frac{x-y}2\in\Z\ou\frac{x-y}3\in\Z$.\label{pop} \question $x\sim y\ssi x+y=2$.\label{pip} \question $x\sim y\ssi \exists p\in\Z,\exists q\in\Z\,\,x^p=y^q$.\label{kio} \end{exo} \begin{exo}[Relations sur l'ensemble $E$ des droites du plan ]\label{droit} \question $d_1\sim\, d_2\ssi d_1\,||\,d_2$.\label{sqs} \question $d_1\sim\, d_2\ssi d_1\,\perp\, d_2$.\label{trt} \end{exo} \begin{exo}[Relations sur l'ensemble $E$ des applications $f:\R\to\R$]% \label{func} \question $f\sim g\ssi $ l'ensemble $E_{f,g}:=\{x\in\R:\,f(x)\neq g(x)\}$ est fini.\label{byu} \question $f\sim g\ssi $ l'ensemble $E_{f,g}$ est vide ou a un seul élément.\label{byu1} \end{exo} \section{Construction de relations d'équivalence à partir des applications ou d'autres relations} Il est parfois possible de construire une relation d'équivalence utile à partir d'une application ou à partir d'une autre relation (d'équivalence ou non). Les exercices de cette section proposent plusieurs situations de ce type. \begin{exo}\label{cap} Soit $E$ et $F$ deux ensembles, et $f:E\to F$ une application. On définit le relation $\sim_f$ sur $E$ comme suit : $$x\sim_f y \ssi f(x)=f(y).$$ Prouvez que $\sim$ est une relation d'équivalence. \end{exo} \begin{exo}\label{com} Soit $E=\{a,\,b,\,c,\,d\}$ et la relation $\sim$ sur $E$ dont l'ensemble suivant donne la liste de tous les couples $(x,y)$ tels que $x\sim y$: $$G_\sim = \{(a,a),\,(a,b),\,(a,c),\,(b,b),\,(b,a),\, (c,c),\,(c,a),\,(c,b),\,(d,d)\}.$$ \question Laquelle (ou lesquelles) des trois propriétés définissant une relation d'équivalence n'est pas respectée par $\sim$?\label{unu} \question Rajouter à l'ensemble $G_\sim$ un couple $(x,y)\in E\times E$ de sorte que la nouvelle relation ainsi formée soit une relation d'équivalence.\label{nu} \end{exo} \begin{exo}\label{homo} Soit $E$ un ensemble, et $\sim_1$, $\sim_2$, deux relations d'équivalence sur $E$. On définit la réunion des relations $\sim_1$ et $\sim_2$ comme étant la relation $\Rel[U]$ sur $E$: $$x\,\Rel[U] y \ssi (x \sim_1 y \ou x\sim_2 y),$$ et l'intersection des relations $\sim_1$ et $\sim_2$ comme la relation $\Rel[S]$ sur $E$: $$x\Rel[S] y \ssi (x \sim_1 y \et x\sim_2 y).$$ \question Est-ce que $\Rel[U]$ est une relation d'équivalence? \label{hom} \question Même question pour $\Rel[S]$.\label{hm} \end{exo} \section{Classe d'équivalence d'un élément} Soit $E$ un ensemble et $\sim$ une relation d'équivalence sur $E$. Pour tout élément $x\in E$, le sous-ensemble $$[x] = \{y\in E:\, x \sim y\}$$ de $E$ s'appelle la \emph{classe d'équivalence} de $x$ dans $E$. On a les propriétés: \begin{itemize} \item $\forall x\in E, x\in [x],$ \item $\forall x\in E,\forall y\in E,\, x\sim y \ssi [x]=[y],$ \item $\forall x\in E,\forall y\in E,\, \non(x \sim y) \ssi [x] \cap [y] = \emptyset.$ \end{itemize} \medskip Les exercices suivants (\ref{bu2}-\ref{bely}) sont des cas particuliers de la construction d'une relation d'équivalence décrite à l'exercice~\ref{cap}. \begin{exo}\label{bu2} Soit la relation $\sim$ sur $\R^2$ définie par: $$(x,y)\sim (x',y')\ssi x=x'.$$ \question Trouvez une application $f:\R^2\to\R$ telle que la relation $\sim$ soit de la forme $\sim_f$.\label{bya} \question Déterminer $\left[(x_0,y_0)\right]$, la classe d'équivalence d'un élément $(x_0,\,y_0)$ de $\R^2$.\label{bya1} \end{exo} \begin{exo}\label{buu} Soit la relation $\sim$ sur $\C$ (l'ensemble des nombres complexes) définie par: $$z\sim z'\ssi |z|=|z'|.$$ \question Trouvez une application $f:\C\to\R$ telle que la relation $\sim$ soit de la forme $\sim_f$.\label{bhy} \question Déterminer $\left[z_0\right]$, la classe d'équivalence d'un élément $z_0$ de $\C$.\label{fty} \end{exo} \begin{exo}\label{bo} Soit la relation $\sim$ sur $\R$ définie par : $$x\sim y \ssi x^2-y^2=x-y.$$ \question Trouvez une application $f:\R\to\R$ telle que la relation $\sim$ soit de la forme $\sim_f$.\label{isy} \question Déterminer $[1]$, la classe d'équivalence du nombre réel $1$.\label{ccc} \question Trouvez tous les $a\in\R$ dont la classe d'équivalence $[a]$ est un ensemble qui ne contient qu'un seul élément.\label{qsq} \end{exo} \begin{exo}\label{bu1} Soit la relation $\sim$ sur $\R$ définie par: $$x\sim y\ssi x e^y=y e^x.$$ \question Trouvez une application $f:\R\to\R$ telle que la relation $\sim$ soit de la forme $\sim_f$.\label{rcr} \question Déterminer $\left[1\right]$, la classe d'équivalence de $1$, et $[-1]$, la classe d'équivalence de $-1$.\label{gre} \question Trouvez tous les $x\in\R$ dont la classe d'équivalence est un ensemble qui ne contient qu'un seul élément.\label{got} \end{exo} \begin{exo}\label{bely} Soit $E$ l'ensemble des applications $f:\R\to\R$, et la relation $\sim$ sur $E$ définie par: $$f\sim g\ssi \exists a,b>0,\, a f(x)\leq g(x)\leq b f(x)\,\, \forall x\in\R.$$ \question Prouvez que $\sim$ est une relation d'équivalence.\label{lab} \question Trouver toutes les constantes $s$ telles que $s+\arctan\in [1]$, la classe d'équivalence de l'application\label{bit} $$1:\R\to\R\qquad 1(x)=1\quad\forall x\in\R.$$ \end{exo} \section{Ensemble quotient et application induite} Soit $E$ un ensemble et $\sim$ une relation d'équivalence sur $E$. L'ensemble $$E/{\sim}=\{[x]:\,x\in E\}$$ s'appelle l'\emph{ensemble quotient} de $E$ par $\sim$. Soit $F$ un ensemble. Une application $f:E\to F$ est dite \emph{compatible} avec $\sim$ si $$\forall x\in E, \forall y\in E\;\;\;\,x\sim y\Rightarrow f(x)=f(y).$$ Si $f:E\to F$ est compatible avec $\sim$, on définit $\bar{f}$, l'\emph{application induite} par $f$ sur $E/{\sim}$ comme étant l'application: $$\bar f:E/{\sim}\to F,\;\quad \bar f([x]) = f(x),\,\forall x\in E.$$ \begin{exo}\label{rbu} Soit $f:E\to F$ une application, et $\sim_f$ la relation d'équivalence définie à l'exercice~\ref{cap}. \question\label{nicy} L'application $f$ est compatible avec $\sim_f$. \question\label{nice} Le quotient de $f$ par $\sim_f$ met l'ensemble $E/{\sim}_f$ en bijection avec $\Im(f)=\{f(x):\;x\in E\}$. \end{exo} \begin{exo}\label{cucu} Soit la relation d'équivalence $\sim$ sur $\R$ définie par: $$x\sim y\ssi \sin(x)=\sin(y).$$ \question Prouvez que l'ensemble quotient $\R/{\sim}$ est en bijection avec l'ensemble $[-1,\,1]$.\label{coco} \question Parmi les applications suivantes, laquelle (ou lesquelles) est (ou sont) compatibles avec $\sim$: $$\cos:\R\to\R,\quad\sin^2:\R\to\R,\quad\exp:\R\to\R\;?$$ \label{coca} \end{exo} \begin{exo}\label{y1y} Soit la relation d'équivalence $\sim$ sur $\R$ définie par: $$x\sim y\ssi x-y\in\Z.$$ \question\label{zéz} Prouvez que l'ensemble quotient $\R/{\sim}$ est en bijection avec l'ensemble $\mathbb{U}$ de tous les nombres complexes de module $1$. \question\label{z&z} Est-ce que l'application $f:\R\to\R$, $f(x)=\sin(x)$ est compatible avec $\sim$~? Et l'application $g:\R\to\R$, $g(x)=\sin(2\pi x)$? \end{exo} \begin{exo}\label{lm} Soit $E$ l'ensemble des droites du plan. On définit la relation d'équivalence $\sim$ sur $E$ par: $$d_1\sim d_2\ssi d_1 \| \,d_2.$$ \question\label{tyrg} Prouvez que l'ensemble quotient $E/{\sim}$ est en bijection avec l'ensemble des droites passant par l'origine. \question\label{tyy} Prouvez aussi que l'ensemble $E/{\sim}$ est en bijection avec l'ensemble $\R\cup\{\infty\}$. \end{exo} \section{Partition d'un ensemble} Soit $E$ un ensemble non-vide. Une partition de $E$ est un sous-ensemble $P$ de $\Parties(E)$, avec les propriétés suivantes: \begin{enumerate}\renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}% \item $\emptyset\notin P$ \item $\forall A,B\in P,\, A=B \ou A\cap B=\emptyset$ \item $\bigcup_{A\in P}\,A=E.$ \end{enumerate} En d'autres mots, une partition de $E$ est un ensemble de sous-ensembles de $E$ de telle sorte qu'aucun de ces sous-ensembles ne soit vide, qu'ils soient deux à deux disjointes, et que leur réunion soit égale à $E$. La propriété suivante fait le lien entre partitions d'un ensemble et relations d'équivalence. \begin{exo}\label{duop} Soit $P$ une partition de $E$. Alors la relation $x\sim y$ ssi $(\exists A\in P,\;\;x,y\in A)$ est une relation d'équivalence, dont $P$ est l'ensemble quotient. \end{exo} \begin{exo}\label{rrsim} Soit $E=\{1,2,3\}$. Combien de partitions de $E$ existe-t-il? \end{exo} \begin{exo}\label{rsim} Soit $a,b,c$ trois nombre réels. À quelles conditions sur $a,b,c$, les trois ensembles $]-\infty,b]$, $]0,a[$ et $[c,+\infty[$ forment ils une partition de $\R$?. \end{exo} \begin{exo}\label{rsimm} Soit $E$ un ensemble non-vide. Peut-on trouver $A,B\subset E$ tels que $A$, $A\cap B$ et $B$ soit une partition de $E$? \end{exo} \section{Un cas particulier: $\Z/n\Z$} Dans les exercices qui suivent, $n$ est un nombre naturel plus grand ou égal à 2, fixé une fois pour toutes. \begin{exo}\label{bah} Soit la relation $\sim$ sur $\Z$ définie comme : $$x\sim y\,\ssi \frac{x-y}n\in\Z.$$ \question\label{wua} Prouvez que $x\sim y$ si et seulement si $x$ et $y$ ont le même reste à la division euclidienne par $n$ (on dit aussi que $x$ et $y$ sont égaux modulo $n$). \question\label{wau} Démontrez que $\sim$ est une relation d'équivalence, et que l'addition et la multiplication sur $\Z$ sont compatibles avec $\sim$. \end{exo} \begin{exo}\label{ploi} Notons $\Z/n\Z$ l'ensemble quotient de $\Z$ par $\sim$. Combien d'éléments possède l'ensemble $\Z/n\Z$? \end{exo} \begin{exo}\label{onsa} Dans cet exercice (et dans cet exercice seulement) on pose $n=12$. \question\label{ons1} Donner la liste de tous les couples $(\lambda,\eta)\in \{0,\,1,\,2,\,3,\,\dots,\,11\}^2$ tels que $$[\lambda]\times[\eta]=[0].$$ \question\label{ons2} Résoudre l'équation $$[x]^2- [5]\times[x]+ [6]=[0]$$ dans $x\in\{0,\,1,\,2,\,3,\,\dots,\,11\}$. \end{exo} \section{Exercices complémentaires} \begin{exo}[Relations sur l'ensemble $E=\Parties(S)$ des parties d'un ensemble non-vide $S$]\label{part} \question On fixe $K\subset S$, $K\neq\emptyset$. $A\sim B\ssi A\cap K=B\cap K$.\label{red} \question $A\sim B\ssi \exists K\subset S,K\neq\emptyset\,\,A\cap K=B\cap K$.\label{tyr} \end{exo} \begin{exo}\label{drt} Soit $E$, $F$ et $G$ trois ensembles, $\sim$ une relation d'équivalence sur $E$, $f:F\to E$ une application de $F$ dans $E$, et $g:E\to G$ une application de $E$ dans $G$. On définit la relation $\Rel[S]$ de $F$ dans $F$: $$x\Rel[S] y \ssi f(x) \sim f(y),$$ et la relation $\Rel[U]$ de $G$ dans $G$ : $$x\Rel[U] y \ssi (\exists u, v\in E\;\;\,u\sim v,\,\,\, x=g(u),\,\, y=g(v)).$$ \question Est-ce que $\Rel[S]$ est une relation d'équivalence?\label{rey} \question Même question pour $\Rel[U]$.\label{rey1} \end{exo} \begin{exo}\label{bu} Soit la relation $\sim$ sur $\R$ définie par: $$x\sim y\ssi \sin^2(x)+\cos^2(y)=1.$$ \question Trouvez une application $f:\R\to\R$ telle que la relation $\sim$ soit de la forme $\sim_f$.\label{sol} \question Déterminer $[0]$, la classe d'équivalence du nombre réel $0$. \label{sol1} \end{exo} \begin{exo}\label{mos} Soit $E=\Parties(\R)$, l'ensemble des parties de $\R$. On définit une relation $\sim$ sur $\Parties(\R)$ par: $$A\sim B\ssi A\cup [0,\,1]=B\cup [0,\,1].$$ \question Trouvez une application $f:E\to E$ telle que la relation $\sim$ soit de la forme $\sim_f$.\label{solll} \question Déterminer $\left[\{0\}\right]$, la classe d'équivalence de l'élément $\{0\}$ de $\Parties(\R)$.\label{hry} \end{exo} \begin{exo}\label{mal} Soit les relations d'équivalence des exercices \ref{bu2}-\ref{bely}. \question Déterminer un ensemble qui peut être identifié avec le quotient de la relation.\label{usel} \end{exo} \bigskip Les deux exercices suivants donnent les constructions de $\Z$ à partir de $\N$ (exercice (\ref{baba})) et de $\Q$ à partir de $\Z$ (exercice (\ref{babu})). \begin{exo}\label{baba} Soit $E=\N\times \N$, on définit sur $E$ deux opérations~: une addition $$(a,\,b)\oplus(c,\,d) = (a+c,\,b+d)\quad\forall (a,\,b),\,(c,\,d)\in E,$$ et une multiplication $$(a,\,b)\otimes(c,\,d) = \left(ac+bd,\,ad+bc\right)\quad\forall (a,\,b),\,(c,\,d)\in E.$$ On considère la relation $\sim$ de $E$ dans $E$ par: $$(a,\,b)\sim (c,\,d)\ssi a+d = b+c.$$ \question\label{simo} Prouvez que $\sim$ est une relation d'équivalence, et que l'ensemble quotient $E/{\sim}$ est en bijection avec l'ensemble $\Z$ des nombres entiers. \question\label{simi} Prouvez que les opérations $\oplus$ et $\otimes$ sont compatibles avec $\sim$, et que leur quotients sont les opérations d'addition et multiplication (classiques) sur $\Z$. \end{exo} \begin{exo}\label{babu} Soit $E=\Z\times \Z^*$, on définit sur $E$ deux opérations: une addition $$(a,\,b)\oplus(c,\,d)=(ad+bc,\,bd)\quad\forall (a,\,b),\,(c,\,d)\in E,$$ et une multiplication $$(a,\,b)\otimes(c,\,d)=(ac,\,bd)\quad\forall (a,\,b),\,(c,\,d)\in E.$$ On considère la relation d'équivalence $\sim$ de $E$ dans $E$ par : $$(a,\,b)\sim (c,\,d)\ssi ad - bc = 0.$$ \question\label{simu}Prouvez que la relation $\sim$ est une relation d'équivalence, et que l'ensemble quotient $E/{\sim}$ est en bijection avec l'ensemble $\Q$ des nombres rationnels. \question\label{simou} Prouvez que les opérations $\oplus$ et $\otimes$ sont compatibles avec $\sim$, et que leurs quotients sont les opérations d'addition et de multiplication (classiques) sur $\Q$. \end{exo} \begin{exo}\label{en} Soit $n$ un nombre naturel. \question\label{cqqa} Combien de solutions $x\in\{0,\,1,\,2,\,3,\,\dots,\,n-1\}$ a l'équation $$[2]\times[x]=[0]\,\,?$$ \question\label{vvv} Même question pour l'équation $$[2]\times[x]=[1].$$ (les réponses dépendent de la parité de $n$). \end{exo} \begin{exo}\label{eze} (Théorème de Bézout). Soit l'équation $$[a]\times[x]=[1],$$ avec $a\in\{0,\,1,\,2,\,3,\,\dots,\,n-1\}$. Prouvez que cette équation admet une solution $x\in\{0,\,1,\,2,\,3,\,\dots,\,n-1\}$ si et seulement si $a$ et $n$ sont premiers entre eux. \end{exo} \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End: