\documentclass{article}
\usepackage{fullpage}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\newtheorem{de}{Définition}[subsection] \newtheorem{theo}{Théorème}[section] \newtheorem{prop}[theo]{Proposition}
\newcommand{\ordmult}{\mathop{.}}
\newcommand{\expo}[2]{#1^{#2}}
\author{
Laurent Regnier\\
Institut de Mathématiques de Marseille\\
Université d'Aix-Marseille
\and
Roland Reinger\\
Institut d'Épistémologie appliquée
}
\title{Suites de Goodstein et hydre de Lerne\\
\small TER de maîtrise}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
Dans ce rapport on va montrer qu'aussi surprenant que cela puisse paraître,
toute suite de Goodstein est ultimement stationnaire et qu'Hercule finit par
vaincre l'hydre.
\end{abstract}
\tableofcontents
\section{Introduction}
On va parler de suites de Goodstein et d'hydre de Lerne. En particulier on
exposera l'intéressant théorème~\ref{theo-ordinaux} qui contient l'équation~\ref{eq-zero}. Mais à dire vrai c'est surtout un
prétexte pour donner quelques exemples d'utilisation de \LaTeX. Par exemple
comment fait on pour créer un nouveau paragraphe~?
C'est très simple, on saute une ligne. Cela termine le paragraphe courant et
en commence un nouveau. En \LaTeX{} un blanc est égal à plusieurs blancs~;
les blancs en début de ligne sont totalement ignorés, de même que les blancs
suivant un nom de macro\footnote{C'est pour cette raison que dans le source \LaTeX{} de ce
fichier les utilisations de la macro \texttt{$\backslash$LaTeX},
ainsi que d'autres macros sans arguments sont (presque) toujours
suivies d'un groupe vide \texttt{\{\}}.}~;
un saut de ligne est équivalent à un blanc à la règle ci-dessus près~: deux (ou
plus) sauts de lignes consécutifs ouvrent un nouveau paragraphe.
Enfin tous les caractères suivant un \% et sur la même ligne,
\emph{y compris le caractère de fin de ligne} s ont ignorés.
\subsection{Caractères accentués}
Une question intéressante~: comment taper des caractères accentués si on n'a
pas un clavier français~? On peut configurer un clavier américain pour obtenir
les caractères accentués mais ça n'est pas toujours simple.
Une autre solution en \LaTeX{} est d'obtenir les accents au moyen de
commandes~: la commande \verb|\'| produit un accent aigu sur la lettre qui
suit, si on tape par exemple \verb|\'elite|, on obtient <<~\'elite~>>. De même
les commandes \verb|\`| et \verb|\^| produisent respectivement un accent grave
et un accent circonflexe (comme dans p\^eche et m\`eche) ; pour obtenir un c
cédille on tape \verb|\c{c}| (fa\c{c}on). Remarquons que ces commandes
fonctionnent quelque soit la lettre que l'on accentue, par exemple on peut
facilement faire \`A ou \~n, voire \'P (P accent aigu) ou \c{O} (O cédille).
Jeu~: deviner quelle commande produit le tréma.
\section{Définitions}
\subsection{Ensemble bien ordonné}
\begin{de}
Un ensemble $X$ muni d'une relation d'ordre $<$ est \emph{bien ordonné} si~:
\begin{itemize}
\item la relation $<$ est totale~;
\item toute partie non vide de $X$ a un plus petit élément.
\end{itemize}
\end{de}
\subsection{Ordinaux}
\begin{de}\label{def-ordinaux} Un \emph{ordinal} est un ensemble bien ordonné par la relation $\in$.
\end{de}
\subsection{Arithmétique ordinale}
\begin{theo}\label{theo-ordinaux}
Les opérations ordinales vérifient les propriétés suivantes~:
\begin{eqnarray}
\alpha + 0 &=& \alpha\label{eq-zero}\\
(\alpha + \beta)\ordmult\gamma &=& \alpha\ordmult\gamma +
\beta\ordmult\gamma\\
\alpha^{\beta + 1} &=& \alpha^\beta\ordmult\alpha
\end{eqnarray}
\end{theo}
\subsection{Exemple de suite de Goostein}
\begin{displaymath}
\begin{array}{|c|c|c|} \hline j & G_i & i\\ \hline
\multicolumn{3}{c}{\strut}\\ \hline
2 & 100 & 2\\
\hline
3 & 100 & 3\\
\hline
\end{array}
\qquad \begin{array}{|c|c|c|}
\hline
j & G_i & i\\
\hline
\multicolumn{3}{c}{\strut}\\
\hline
2 & 100 & 2\\
\hline
3 & 100 & 3\\
\hline
\end{array}
\end{displaymath}
\section{Quelques théorèmes qui n'ont rien à voir}
\begin{theo}
La formule d'Euler~:
\begin{equation}
\expo e{2i\pi}=1 \end{equation}
\end{theo}
\begin{prop}
La somme des $n$ premiers entiers est~:
\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^ni = \frac{n(n+1)}2
\end{displaymath}
\end{prop}
Cette propriété est fausse dans le cas des ordinaux (voir
définition~\ref{def-ordinaux}, page~\pageref{def-ordinaux}).
\begin{theo}[Nombre d'or]
Le développement en fraction continue du nombre d'or est~:
\begin{equation*} \varphi = \cfrac 1{1+\cfrac 1{1 + \cfrac 1{1 + \dotsb}}}
\end{equation*}
\end{theo}
\begin{theo}\label{theo-log2}
La fonction $\log_2$ définie par
\begin{displaymath}
\log_2 x = \frac{\log x}{\log 2}
\end{displaymath}
est l'inverse (à droite) de la fonction «~2 puissance~»~:
\begin{displaymath}
2^x = e^{x\log 2}
\end{displaymath}
\end{theo}
En effet on a le calcul suivant~:
\begin{eqnarray*}
2^{\log_2 x} &=& e^{\log(2)\frac{\log x}{\log 2}}\\
&=& e^{\log x}\\
&=& x
\end{eqnarray*}
Et voici un dernier petit calcul pour la route, afin de montrer l'usage de
l'environnement \texttt{align}. Ce calcul démontre que dans un anneau commutatif, $0$ (l'élément neutre de
l'addition) est absorbant pour la multiplication~:
\begin{align*}
0x &= 0x + 0 && \text{car $0$ est élément neutre de $+$}\\
&= 0x + (0x + (-0x)) && \text{car $-0x$ est l'opposé de $0x$ pour $+$}\\
&= (0x + 0x) + (-0x) && \text{par associativité de $+$}\\
&= (0 + 0)x + (-0x) && \text{par distributivité}\\
&= 0x + (-0x) && \text{car $0$ est neutre, donc $0+0=0$}\\
&= 0 && \text{car $-0x$ est l'opposé de $0x$}
\end{align*}
\end{document}
C'est fini ! Tout ce qui vient après \end{document} est ignoré par LaTeX