Monoïde

Un monoïde est un ensemble $X$ muni d’une opération binaire $\cdot$ associative, qui admet un élément neutre $e$ (nécessairement unique, par associativité).

C’est donc presque un groupe, mais sans inverse, et c’est beaucoup plus permissif, et moins structuré.

Le monoïde $(X,\cdot)$ est dit commutatif si $\cdot$ l’est. (Un groupe abélien, c’est un groupe qui est commutatif en tant que monoïde.)

Des exemples:

• n’importe quel groupe;
• $\mathbf N$ ou $\mathbf Z$ ou $\mathbf R$, avec comme opération $+$, ou $\times$, ou $\mathrm{max}$;
• $\mathbf N$ avec $\vee$ (PPCM) ou $\wedge$ (PGCD);
• les booléens munis de la conjonction $\wedge$ ou de la disjonction $\vee$;
• l’ensemble $X^*=\bigcup_{n} X^n$ des mots (suites finies) sur un ensemble $X$ fixé, avec comme opération la concaténation (c’est le monoïde libre);
• l’ensemble des matrices carrées, réelles ou complexes (ou à coefficients dans un semi-anneau), de dimension fixée, muni du produit de matrices;
• l’ensemble des fonctions $X\to X$, muni de la composition;
• …