Semi-anneau

Un semi-anneau est un ensemble $X$ muni de deux opération binaires $+$ et $×$, telles que $(X,+)$ soit un monoïde commutatif, $(X,×)$ soit un monoïde, et $×$ soit distributive sur $+$ (et l’unique élément neutre $0$ de $+$ est absorbant pour $×$). Il est dit commutatif si $×$ l’est.

C’est donc presque un anneau, mais avec un monoïde commutatif plutôt qu’un groupe abélien comme structure additive. Et c’est beaucoup plus permissif, et moins structuré.

Des exemples:

• n’importe quel anneau;
• $\mathbf N$ ou $\mathbf Z$ ou $\mathbf R$, avec les opérations $+$ et $×$ habituelles;
• $\mathbf N$ avec $\vee$ (PPCM) comme somme et $\wedge$ (PGCD) comme produit (ou vice versa!);
• $\mathbf R\cup\{-\infty\}$ avec $\mathrm{min}$ comme somme et $+$ comme produit (c’est le semi-anneau tropical par excellence);
• les matrices carrées de dimension fixée, réelles ou complexes (ou à coefficients dans un semi-anneau fixé), avec la somme et le produit usuels;
• l’ensemble des endomorphismes d’un monoïde commutatif $(X,+)$ (c’est-à-dire les fonctions $f:X\to X$ telles que $f(x+y)=f(x)+f(y)$) muni de la somme définie ponctuellement ($(f+g)(x)=f(x)+g(x)$) et avec la composition comme produit;
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