Il s'agit d'un projet recherche sur les mathématiques fondamentales qui a obtenu un financement de l'ANR pour la période 2012-2016. Il mélange la géométrie au sens large, la topologie de basse dimension, la théorie des groupes, les systèmes dynamiques et l'analyse géométrique.

Ces dernières années, la démonstration de la conjecture de géométrisation de Thurston, ainsi que des conjectures "virtuelles" a considérablement amélioré notre compréhension des 3-variétés. Ces deux dernières affirment qu'une 3-variété hyperbolique admet un revêtement fini qui contient une surface essentielle ou, mieux, qui est muni d'une fibration en surfaces au-dessus du cercle. Leurs démonstrations reposent sur un mélange de géométrie des groupes et de topologie de basse dimension. Elles s'appuient sur une étude approfondie des sous-groupes des groupes fondamentaux des 3-variétés hyperboliques.

Cependant, une question majeure concernant la structure des 3-variétés hyperboliques et de leurs groupes fondamentaux reste à résoudre: la conjecture de Cannon qui propose une caractérisation dynamique de son groupe fondamental. Elle peut être abordée en recherchant des scindements en briques élémentaires.

Dans un contexte plus algébrique, la conjecture de Gromov porte aussi sur l'étude des sous-groupes des groupes hyperboliques et affirme qu'un groupe hyperbolique non élémentaire et qui n'est pas un produit libre contient un sous-groupe de surface.

Motivé par ces questions qui montrent l'importance de comprendre la structure des sous-groupes de certains groupes, l'objet de ce projet est de développer les techniques pour détecter des sous-groupes particuliers (de surface, quasiconvexes) dans les groupes qui apparaissent en géométrie (groupes (relativement) hyperboliques, CAT(0), et de convergence), et d'étudier leurs propriétés ou d'établir des conditions qui assureraient certaines propriétés. Notons que, comprendre les sous-groupes, c'est aussi comprendre les scindements du groupe.

Les outils principaux que nous souhaitons exploiter pour ces problèmes sont les suivants:
1. Les cubulations. Elles ont été utilisées par Agol, Wise et al. et elles fournissent les ingrédients principaux dans la preuve des conjectures de fibration virtuelle et Haken virtuelle.
2. La cohomologie Lp. Elle a été exploitée par Bourdon pour exhiber des scindements de groupes hyperboliques.
3. La dynamique de l'action induite sur le bord. Observons que son rôle est primordial pour la caractérisation dynamique des groupes kleinéens.
 
Nous espérons ainsi comprendre si des propriétés connues pour les 3-variétés hyperboliques sont vraies dans un cadre plus général (groupes (relativement) hyperboliques et CAT(0)).

Un point fort du projet est de réunir des mathématiciens travaillant sur des sujets différents mais sur des questions liées, c.à.d, sur la géométrie et la combinatoire des groupes, la topologie de basse dimension, la géométrie hyperbolique, la dynamique conforme, etc. Un des aspects du projet sera d'encourager les chercheurs à partager leurs compétences et d'acquérir de nouveaux savoirs.

Ce projet sera structuré par des ateliers semestriels qui auront le triple rôle suivant: fixer les prérequis nécessaires, présenter les questions principales et les progrès obtenus, et mettre en place de futures collaborations.

L'ANR financera une bourse post-doctorale de 12 mois déstinée à  un(e) mathématicien(ne) travaillant dans les domains du projet. Consulter l'appel d'offre.