Topologie géométrique et quantique en dimension 3

Descriptif

Cette école est organisée dans le cadre des sessions de la SMF « Etats de la Recherche ». Son but est de présenter les avancées nombreuses, et parfois spectaculaires, de ces dernières années en topologie de dimension 3, et de les rendre accessibles aux doctorants et aux chercheurs de cette discipline et des disciplines voisines. Ce sera aussi l'occasion de faire le point sur les conjectures phare et les nouvelles perspectives ouvertes dans le domaine. Les interactions nombreuses des développements actuels de la topologie de dimension 3 avec la théorie géométrique des groupes, la topologie symplectique, l'arithmétique et la physique théorique y seront présentées, et notre session devrait ainsi initier de nouvelles collaborations.

État de l'art

L'étude des variétés de dimension 3, et en particulier des variétés hyperboliques, a progressé de façon spectaculaire ces dernières années. Il y a eu des avancées considérables dans deux directions différentes : la compréhension de leur structure topologique et géométrique et la détermination d'invariants puissants qui devraient permettre de distinguer deux variétés non homéomorphes. Les résultats récents les plus frappants sur la structure topologique et géométrique des 3-variétés sont dus à Perelman (preuve de la conjecture de Poincaré et de la conjecture de géométrisation de Thurston) et à Agol, Wise, Kahn-Markovic, Bergeron, Haglund, etc (preuve de la conjecture de Thurston sur la fibration virtuelle). Ils sont basés sur des techniques d'analyse d'un côté (flot de Ricci) et de théorie géométrique des groupes de l'autre (structures cubiques CAT(0)). Des interactions avec la topologie symplectique, l'arithmétique et la physique théorique se sont concrétisées par l'apparition de nombreux invariants pour les variétés de dimension 3 (Casson) et 4 (Donaldson) et pour les nœuds (homologies de Khovanov et d'Heegaard-Floer) qui sont un moyen de distinguer les 3-variétés. Des travaux de Kronheimer et Mrowka qui datent de 2010 montrent par exemple que l'homologie de Khovanov detecte le nœud trivial. C'est aussi le cas pour l'homologie d'Heegaard-Floer. Comme Manolescu, Ozsvath, Sarkar, Szabo et D. Thurston ont montré en 2006 qu'on pouvait définir cette homologie combinatoirement, elle est devenue le premier invariant combinatoire à détecter le noeud trivial.

Public visé

Les jeunes chercheurs, doctorants, post-doctorants en topologie de basse dimension et les chercheurs des disciplines voisines prioritairement, mais aussi les chercheurs confirmés en topologie de basse dimension.

Inscriptions

La rencontre est complète et les inscriptions sont closes.