Jeu de Lucy & Lily avec β racine de X4-2X3+X2-2X + 1
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Principe du jeu
Il s'agit d'une promenade dans Q(β) où l'on se déplace
avec les transitions x -> β*x + ε où ε vaut -1, 0 ou 1.
Le but du jeu est de revenir en 0.
Ce que représentent les dessins
Le corps Q(β) a ici deux plongements complexes conjugués (qui correspondent au dessin dans le grand carré) et deux plongements réels (qui correspondent aux deux rectangles à coté du carré).
Dans le carré, le zéro est dessiné en noir, et les points accessibles sont dessinés en blanc.
Quelques remarques
Il y a parfois des coups interdits. Ceci est dû au fait que si la valeur dans le plongement réel qui est déssiné est trop grande en valeur absolue ( plus grande que 1/(β - 1) ), alors elle restera nécessairement trop grande et l'on ne pourrait donc de toutes façons plus revenir en zéro.
Le nombre β choisis ici est un nombre de Salem.
On peut démontrer (voir mon article) que si le nombre algébrique β n'avait pas de conjugué de module 1, alors les états à la fois accessibles et co-accessibles depuis zéro seraient en nombre fini. Ici, ils sont en nombre infini.
Le nom du jeu « Lucy & Lily » provient d'un jeu similaire dû à R. Schwartz