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% BLACKBOARD BOLD:

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\pagestyle{empty}

\begin{document}
UNIVERSIT\'E DE PROVENCE \hfill LICENCE DE MATH\'EMATIQUES - 2LMAT75

2002-2003

\bigskip
\begin{center}
Alg\`ebre et G\'eom\'etrie - TD n$^0$ 1
\end{center}





\bigskip
{\bf Ex. 1.}  Soit $K$ un corps commutatif.
\begin{enumerate}
\item  Reprendre la d\'efinition connue de la fonction
%
$$\det:M_n(K)\rightarrow K\ .
$$
%
Montrer que, via l'identification naturelle $M_n(K)=[K^n]^n$ (laquelle?),
   $\det$ est une forme
$n$-lin\'eaire altern\'ee.
\item Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie. En utilisant
la correspondance connue entre endomorphismes et matrices carr\'ees,
introduire une fonction $\det$ sur ${\rm End}(E)$ et v\'erifier que
cette fonction est bien d\'efinie.
\item Donner les d\'efinitions de
\begin{enumerate}
\item valeur propre, vecteur propre d'un endomorphisme (d'une matrice),
espace propre associ\'e
\`a une valeur propre, multiplicit\'e alg\'ebrique, multiplicit\'e
g\'eom\'etrique.
\item polyn\^ome caract\'eristique d'une matrice et d'un endomorphisme.
%

\end{enumerate}
\item Pr\'eciser le coefficient de $X^{n-1}$ et le terme de
degr\'e 0 du polyn\^ome caract\'eristique $P_A(X)$ d'une matrice $A\in
M_n(K)$.
\end{enumerate}
  \bigskip

{\bf Ex. 2.} D\'eterminer les valeurs propres et les vecteurs
propres des matrices suivantes:
%
$$A=\left(
\begin{array}{rrrr}
7&4&0&0\\
-12&-7&0&0\\
20&11&-6&-12\\
-12&-6&6&11
\end{array}\right)\ ,\  B=\left(\begin{array}{rrr}3&-1&1\cr 2&0&1\cr
1&-1&2\end{array}\right)\ ,\
%
$$
$$C=\left(
\begin{array}{rrr}3&2&-2\cr-1&0&1\cr1&1&0 \end{array}\right),\
D=\left(\begin{array}{rrr}13&-5&-2\cr -2&7&-8\cr-5&4&7\end{array}\right).
$$
Dans chaque cas  pr\'eciser si la matrice et diagonalisable ou
trigonalisable sur $\R$ et donner, le cas \'ech\'eant, explicitement une
matrice semblable diagonale (respectivement triangulaire).
 \bigskip

{\bf Ex. 3.} Soit $A\in M_n(\R)$ et $\lambda$ une valeur propre
{\it complexe} de $A$. Montrer que $\bar\lambda$ est aussi une valeur
propre de $A$ et que, si l'on d\'esigne par $E_\lambda\subset\C^n$
l'espace   propre de $A$ consider\'ee comme matrice complexe, alors on a
$E_{\bar\lambda}=\bar E_\lambda$.

Application: diagonaliser sur $\C$ la matrice
%
$$\left(\begin{array}{rrr}-1&1&0\cr 0&-1&1\cr 1&0&-1\end{array}\right)\ .
$$
%

{\bf Ex. 4.} Exprimer la rotation   $R_\theta$ d'angle $\theta$
dans le plan sous la forme
%
$$R_\theta\left(\left(\matrix{x\cr
y}\right)\right)=A_\theta\left(\matrix{x\cr y}\right)\ ,\ A_\theta\in
M_2(\R) \ .
$$
%
Diagonaliser sur $\C$ la matrice $A_\theta$.

M\^eme question   pour la rotation $R_\theta^d$
d'angle
$\theta$ autour d'une droite vectorielle
%
$$d=\left\langle\left(\matrix{a\cr b\cr
c}\right)\right\rangle\subset\R^3\ .$$
\bigskip

\noindent {\bf Ex. 5.} Calculer le polyn\^ome minimal des matrices
suivantes et pr\'eciser si elles sont diagonalisables ou non:
\begin{enumerate}
\item les 4 matrices de l'exercice 2;
%
\item la matrice $\left(\begin{array}{rrr}1&a&1\\0&1&b\\0&0&c
\end{array}\right)$ ($a,\ b,\ c \in\R$) (discuter selon les valeurs de
$a$,
$b$ et $c$).
\end{enumerate}
%
{\bf Ex. 6.}  Soit
%
$$A=\left(\begin{array}{rrrr}
5&1&1&-1\\
1&5&1&-1\\
1&1&5&-1\\
-1&-1&-1&5
\end{array}
\right).
$$
%
Montrer que $A$ est diagonalisable et inversible. En d\'eduire le
polyn\^ome minimal $m_A(X)$ et, en utilisant celui-ci, d\'eterminer
$A^{-1}$.
\\ \\
{\bf Ex. 7.} Classifier, \`a similitude pr\`es, toutes les matrices
nilpotentes d'ordre 5. Dans chaque cas, pr\'eciser le polyn\^ome minimal.
%
\\ \\
%
{\bf Ex. 8.}  En discutant selon les valeurs de $\alpha\in\R$,
d\'eterminer les sous-espaces ca\-rac\-t\'e\-ris\-tiques et donner une
forme r\'eduite de Jordan (en pr\'ecisant une matrice de passage) de la
matrice
%
$$A=\left(\begin{array}{rrrr}
1&\alpha&0&0\\
0&1&0&0\\
1&2&3&1\\
-2&-(4+\alpha)&-4&-1

\end{array}\right)
$$
%
\\ \\
%
{\bf Ex. 9.} Soit $A\in M_6(\C)$ telle que
%
$$P_A(X)=(X-1)^4(X-2)^2\ ,\ m_A(X)=(X-1)^2(X-2)\ .
$$
%
Que peut-on dire des dimensions des espaces propres? Quelles sont les
formes de Jordan possibles?






\end{document}























