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\def\Bbb{\fam\msbfam\twelmsb}
\def\End{\rm End}
\def\nr{\parallel}
\def\ra{\rightarrow}




% BLACKBOARD BOLD:

\def\A{{\Bbb A}}
\def\B{{\Bbb B}}
\def\C{{\Bbb C}}
\def\D{{\Bbb D}}
\def\E{{\Bbb E}}
\def\F{{\Bbb F}}
\def\G{{\Bbb G}}
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\def\Z{{\Bbb Z}}




\pagestyle{empty}

\begin{document}
UNIVERSIT\'E DE PROVENCE \hfill LICENCE DE MATH\'EMATIQUES - 2LMAT75

2002-2003

\bigskip
\begin{center}
Alg\`ebre et G\'eom\'etrie - TD n$^0$ 2
\end{center}

{\bf Ex. 1.} (puissance d'une matrice, l'exponentielle sur l'espace des matrices)  

a)  Soient $g\in\End(E)$ un endomorphisme diagonalisable, $\lambda_i$ 
$(1\leq i\leq k)$ ses valeurs propres et $m_i:=m_a(\lambda_i)$. Soit
$(f_1,\dots,f_n)$ une base de $E$ dans laquelle la matrice de $g$ est 
%
$$ D^{m_1,\dots m_k}_{\lambda_1,\dots,\lambda_k}=\left(
\begin{array}{ccccc}
\lambda_1 I_{m_1}&0&0&\dots&0\\
0&\lambda_2 I_{m_2}&0&\dots&0\\
0&0&\lambda_3 I_{m_3}&\dots&0\\
.&.&.&\dots&.\\
0&0&0&\dots&\lambda_k I_{m_k}
\end{array}
\right) 
$$
Calculer la matrice de $g^n$ dans une base $(e_1,\dots,e_n)$ en utilisant
la matrice de passage $P\in M_n(K)$ d\'efinie par
%
$$(f_1,\dots, f_n)=(e_1,\dots,e_n) P\ .
$$
%
Application: D\'eterminer les puissances n-i\`emes des matrices
%
$$A=\left(
\begin{array}{rrrr}
7&4&0&0\\
-12&-7&0&0\\
20&11&-6&-12\\
-12&-6&6&11
\end{array}\right)\ ,\  B=\left(\begin{array}{rrr}3&-1&1\cr 2&0&1\cr
1&-1&2\end{array}\right)\ ,\  C=\left(\begin{array}{ccc}1&\log_a b& \log_a c\cr
\log_b a&1&\log_b c\cr\log_c a&\log_c b&1\end{array}\right)\ ,
%
$$
%
o\`u $a$, $b$, $c$ sont trois nombres r\'eels strictement positifs et diff\'erents
de 1 $(n\in\N)$.\vspace{1mm}\\ 
%
%
b) La matrice
%
$$ \left. J^r_\lambda:=\left(
\begin{array}{rrrrrrr}
\lambda&1&0&0&\dots&0&0\\
0&\lambda&1&0&\dots&0&0\\
0&0&\lambda&1&\dots&0&0\\
0&0&0&\lambda&\dots&0&0\\
.&.&.&.&\dots&.&.\\ 
0&0&1&0&\dots&\lambda&1\\
0&0&1&0&\dots&0&\lambda
\end{array}
\right)\ \ \ \right\}\    r
$$
%
s'appelle {\it bloc de Jordan} de valeur propre $\lambda$ et de taille
$r$.
\\
 Calculer les puissances n-i\`emes  de $J^r_\lambda$  $(n\in\N)$.\vspace{1mm}\\
% 
c) (l'exponentielle sur l'espace des matrices)
\begin{enumerate}
\item Soit $Y\in M_n(\C)$ . D\'emontrer que la s\'erie $\sum_{n\geq 0}
\frac{Y^n}{n!}$ est convergente (avec la convention $Y^0=I_n$).
\\
{\it Indication:} Utiliser la norme 
%
$$\nr\cdot\nr:M_n(\C)\ra\R_+\ ,\ \nr
Y\nr:=\sup\{\nr Y(v)\nr|\ v\in\C^r,\ \nr v\nr=1\}$$
%
sur l'espace des matrices complexes carr\'ees et le fait que cette norme est
sous-multiplicative.
%
\item On pose $\exp(Y):=\sum_{n\geq 0}^\infty \frac{Y^n}{n!}$.
Calculer $\exp(D^{m_1,\dots m_k}_{\lambda_1,\dots,\lambda_k})$ et
$\exp(J^r_\lambda)$.\\
{\it Indication:} Observer que $\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)=\exp(B)\exp(A)$ si
$AB=BA$, \'ecrire $J^r_\lambda=J^r_0+\lambda I_r$ et enfin utiliser le fait que $J^r_0$ est
une matrice nilpotente. 
\end{enumerate}
 




  \bigskip

 
{\bf Ex. 2.}  (syst\`emes diff\'erentiels lin\'eaires ordinaires)
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que l'application $\exp:M_n(\C)\ra M_n(\C)$ est diff\'erentiable
et citer le th\'eor\`eme concernant les s\'eries de fonctions utilis\'e. D\'emontrer
que, pour toute matrice $A\in M_n(\C)$, la d\'eriv\'ee de l'application
$\R\ni t\mapsto
\exp(t A)$ est
%
$$\frac{d}{dt}\exp(tA)=A\exp(tA)=\exp(tA) A\ .
$$
 
%
\item Soit $A\in M_n(\R)$ et soit $\dot x\   (:= \frac{dx}{dt}) = Ax$ le syst\`eme diff\'erentiel
lineaire associ\'e \`a $A$. D\'emontrer que, pour tout $x_0\in\R^n$, l'application
$\varphi_{x_0}:\R\ra\R^n$, $t\mapsto \exp(tA)x_0$ est l'unique solution maximale du
syst\`eme qui v\'erifie la condition initiale $\varphi_{x_0}(0)=x_0$.
%
\item R\'esoudre explicitement le syst\`eme de la question 2  dans les cas $A=
D^{m_1,\dots m_k}_{\lambda_1,\dots,\lambda_k}$ et  $A=J^r_\lambda$. G\'en\'eraliser
les r\'esultats obtenus \`a une matrice $A$ semblable \`a l'une de ces
deux matrices.
\end{enumerate}
 \bigskip

{\bf Ex. 3.} (sous-espaces d'un espace vectoriel complexifi\'e) 

Soit $E$ un espace vectoriel r\'eel de dimension $n$ et soit $E^\C=\{x+iy|\ x,y\in
E\}$ son complexifi\'e. Soit $\bar{\ }:E^\C\ra E^\C$ l'isomorphisme
$\R$-lin\'eaire d\'efinie par $x+iy\mapsto x-iy$, et $F\subset E^\C$ un sous-espace
{\it complexe} de
$E^\C$. 
%
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que les conditions suivantes sont \'equivalentes:
%
\begin{enumerate}
\item $F\cap E=\{0\}$.
%
\item $F\cap \bar F=\{0\}$ (c. \`a d. $F$ et $\bar F$ sont en somme directe).
%
\item L'application $\varphi:F\ra   (F+\bar F)\cap E$ donn\'ee par
$\varphi(x)=x+\bar x$ est bijective (donc est un isomorphisme $\R$-lin\'eaire).
\end{enumerate}
%
\item Soit $(f_1,\dots f_k)$ une base de $F$ sur $\C$, et soient $u_i:=f_i+\bar f_i$ et
$v_i:=i(f_i-\bar f_i)$. D\'emontrer que $(u_1,\dots,u_k,v_1,\dots,v_k)$ 
est une base du sous-espace r\'eel $(F+\bar F)\cap E\subset E$.
\end{enumerate}

%
 \bigskip
{\bf Ex. 4.} (valeurs propres complexes d'un endomorphisme r\'eel)

Soit $E$ un espace vectoriel r\'eel de dimension $n$ et $f\in\End(E)$. Soit
$\lambda\in\C\setminus\R$ une valeur propre complexe de $f$ et soient
$E^\C_\lambda$ et $E^\C_{\bar\lambda}$ les sous-espaces propres associ\'es \`a
$\lambda$ et $\bar\lambda$ respectivement. D\'emontrer que
%
\begin{enumerate}
%
\item  $E^\C_\lambda\cap E^\C_{\bar\lambda}=\{0\}$, $\dim_\R[(E^\C_\lambda\cap
E^\C_{\bar\lambda})\cap E)]=2 m_g(\lambda)$
%
\item Le sous-espace $E_{\lambda,\bar\lambda}:=(E^\C_\lambda\cap
E^\C_{\bar\lambda})\cap E)\subset E$ est $f$-invariant.
%
\item En utilisant l'exercice pr\'ec\'edent, d\'emontrer que
le sous-espace $E_{\lambda,\bar\lambda}$ admet une base
$(u_1,\dots,u_k,v_1,\dots,v_k)$ telle que
%
$$f(u_i)=Re(\lambda) u_i+ Im(\lambda) v_i\ ,\ f(v_i)=-Im(\lambda) u_i+ Re(\lambda)
v_i
$$
\item Calculer $\det(f|_{E_{\lambda,\bar\lambda}})$.
\end{enumerate}

{\bf Ex. 5.} Soit $K_d[X]$ l'espace vectoriel des polyn\^omes \`a coefficients
dans $K$ de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $d$. Soit $\delta:K_d[X]\ra
K_d[X]$ l'endomorphisme donn\'e par la d\'erivation formelle $P(X)\mapsto P'(X)$.
Montrer que $\delta$ est nilpotent, calculer son indice de nilpotence,  
$P_\delta(X)$ et $m_\delta(X)$; enfin, trouver une base dans laquelle la matrice de $\delta$ est sous forme de Jordan.

{\it Indication:} On consid\'erera d'abord le cas o\`u car(K) = 0.
  

%


\end{document}

























