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% BLACKBOARD BOLD:

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\pagestyle{empty}

\begin{document}
UNIVERSIT\'E DE PROVENCE \hfill LICENCE DE MATH\'EMATIQUES - 2LMAT75

2002-2003

\bigskip
\begin{center}
Alg\`ebre et G\'eom\'etrie - TD n$^0$ 3
\end{center}
\vspace{5mm}

{\bf Ex. 1.} (Cauchy-Schwarz) Soit $(E,h)$ un espace hermitien. D\'emontrer que
%
$$|\langle x,y\rangle_h|\leq \| x \|_h \| y\|_h\ \forall\ x,y\in E
{\rm .}$$
 
 
 {\bf Ex. 2.} (orthogonal, biorthogonal) Soit $h$ une forme sesquilin�aire hermitienne (resp. bilin�aire sym�trique) sur l'espace complexe (resp. r\'eel) de dimension finie $E$, et soit $N(h)$ le noyau de $h$.  D\'emontrer que pour tout sous-espace $F\subset E$ on a
 %
 \begin{enumerate}
 %
 \item $\dim(E)-\dim(F^{\bot_h})=\dim(F)-\dim(F\cap N(h))$.
 %
 \item $(F^{\bot_h})^{\bot_h}=F+N(h)$
 \end{enumerate} 
%
%
 {\bf Ex. 3.} (le produit scalaire $L^2$).  D\'emontrer que la formule
 %
 $$\langle f,g\rangle:=\int_a^b \overline {f(t)} g(t)  dt
 $$
 %
 d\'efinit un produit scalaire hermitien sur l'espace ${\cal C}([a,b],\C)$ des fonctions continues \`a valeurs complexes sur l'intervalle $[a,b]$. Est-ce que l'espace prehilbertien $({\cal C}([a,b],\C),\langle\cdot,\cdot\rangle_{L^2})$ est un espace hilbertien? Justifier votre r\' eponse.
\\
%%% Connaissent-ils les espaces de Hilbert ???
{\bf Ex. 4.} (classification des espaces euclidiens et hermitiens)

Soient
$(E, f)$ et
$(E',f')$ deux espaces euclidiens (resp. hermitiens) de m\^eme
dimension.  D\'emontrer qu'il existe un  isomorphisme   $u:E\ra
E'$ tel que 
%
$$\langle u(x), u(y)\rangle_{f'}= \langle   x ,  y \rangle_{f}\ \forall
x,\ y\in E{\rm .}$$
 %
{\bf Ex. 5.}  Soit $(E,h)$ un espace hermitien. D\'emontrer que $f:={\rm
Re}(h)$ est un produit scalaire sur $E$, tandis  
 que $\omega:={\rm Im}(h)$
est une forme    antisym\'etrique 
non-d\'eg\'en\'er\'ee sur
$E$.
 \vspace{2mm}\\
%
 {\bf Ex. 6.} 
 \begin{enumerate}
 %
 \item Soit $K$ un corps commutatif quelconque.  D\'emontrer que l'application 
 % mettre sur la m�me ligne
 $M_n(K)\times M_n(K)\ra K$ donn\'ee par $(A,B)\mapsto\tr(AB)$ est une forme bilin\'eaire sym\'etrique non-d\'eg\'en\'er\'ee.  Montrer que, sur $\mathfrak{sl}(2,K)$, la forme quadratique associ\'ee \`a la forme $(A,B)\ra\tr(AB)$ est donn\'ee par $A\mapsto -2\det(A)$.
 %
\item D\'emontrer que l'application  $(A,B)\mapsto\tr(^t\bar A\ B)$ est un produit scalaire 
%hermitien 
sur $M_n(\C)$. En d\'eduire que $(A,B)\mapsto\tr(^tA\   B)$ d\'efinit un produit scalaire 
%euclidien 
sur $M_n(\R)$.
 \end{enumerate}
%

{\bf Ex. 7.} (groupes classiques compacts)  
%
D\'emontrer que les groupes
$O(n)$,
$SO(n)$,
$U(n)$ et
$SU(n)$, consid\'er\'es comme sous-espaces topologiques    de l'espace euclidien $M_n(\R)$ 
(resp. $M_n(\C)$), 
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sont compacts.
Les groupes $GL(n,\R)$, $GL(n,\C)$, $SL(n,\R)$ et $SL(n,\C)$ 
sont-ils compacts?  
\\  


{\bf Ex. 8.} (alg\`ebres de Lie des groupes $SO(n)$, $U(n)$ et $SU(n)$).
%

D\'esignons par
%
$$\mathfrak{so}(n) :=\{ a\in M_n(\mathbb R)|\ ^t a=-a\} $$
%
$$ ({\rm resp.}\   \mathfrak{u}(n):=\{ a\in M_n(\mathbb C)|\ ^t
\bar a=-a\}, \ {\rm resp.}\  \mathfrak{su}(n):=\{a\in \mathfrak{u}(n)|\ {\rm \tr}(a)=0\})$$ 
 
%
le sous-espace  des matrices
antisym\'etriques 
(resp. antihermitiennes, resp. antihermitiennes 
% Grifone
\`a trace nulle).
\begin{enumerate}
\item   Soit
$\gamma:\ ]-\varepsilon,\varepsilon[\ra M_n(\mathbb R)$ (resp.
$\gamma:\ ]-\varepsilon,\varepsilon[\ra M_n(\mathbb C)$) un chemin diff\'erentiable
tel que 
%
\begin{enumerate}
\item $\gamma(0)=I_n$ 
%
\item ${\rm im}(\gamma)\subset SO(n)$ (resp.
${\rm im}(\gamma)\subset U(n)$, resp. ${\rm im}(\gamma)\subset SU(n)$). 
\end{enumerate}

D\'emontrer que
$\dot\gamma(0)\in \mathfrak{so}(n)$  (resp. $\dot\gamma(0)\in \mathfrak{u}(n)$,
$\dot\gamma(0)\in \mathfrak{su}(n)$).
%
\item D\'emontrer que pour tout $a\in \mathfrak{so}(n)$ (resp. $a\in \mathfrak{u}(n)$, resp.
 $a\in \mathfrak{su}(n)$) le chemin diff\'erentiable $t\mapsto \exp(ta)$ satisfait  aux propri\'et\'es (a) et (b).
  %
    %%
\item En d\'eduire que 
$$\matrix{\mathfrak{so}(n)=\{\dot\gamma(0)|\
\gamma:\  ]-\varepsilon,\varepsilon[\stackrel{{\cal
  C}^1}{\longrightarrow} M_n(\mathbb R),\ \gamma(0)=I_n,\ {\rm im}(\gamma)\subset SO(n)\},\cr
\mathfrak{u}(n)  =\{\dot\gamma(0)|\
\gamma: \ ]-\varepsilon,\varepsilon[\stackrel{{\cal
C}^1}{\longrightarrow} M_n(\mathbb C),\  \gamma(0)=I_n,\ {\rm im}(\gamma)\subset U(n)\}\cr 
{\rm et\ } \mathfrak{su}(n)=\{\dot\gamma(0)|\
\gamma: \  ]-\varepsilon,\varepsilon[\stackrel{{\cal
C}^1}{\longrightarrow} M_n(\mathbb C), \ \gamma(0)=I_n,\ {\rm im}(\gamma)\subset SU(n)\}{\rm .}}
$$
%
Quelle est l'interpretation g\'eom\'etrique des ces \'egalit\'es?
%
 \item  Une $K$-{\it alg\`ebre de Lie}  est un $K$-espace vectoriel $\mathfrak{g}$  muni d'une application bilin�aire antisym\'etrique $[\cdot,\cdot]:\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\ra K$    qui satisfait  \`a l'{\it identit\'e de Jacobi} 
 %
 $$[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0{\rm .}$$
 %
Montrer que, pour toute $K$-alg\`ebre associative $A$, le   {\it crochet de Lie}  $(a,b)\mapsto [a,b]:=ab-ba$ d\'efinit une structure de $K$-alg\`ebre  de Lie  sur $A$.  En particulier, pour $M_n(K)$, celle-ci est d\'esign\'ee par $\mathfrak{gl}(n,K)$. Montrer   
%En particulier, on obtient une structure de $K$-alg\`ebre  de Lie sur $M_n(K)$,  d\'esign\'ee par $\mathfrak{gl}(n,K)$. 

  
  %
  \begin{enumerate}
  \item que $\mathfrak{sl}(n,K):=\{a\in \mathfrak{gl}(n,K)|\ \tr(a)=0\}$ est une  sous-alg\`ebre de Lie de $\mathfrak{gl}(n,K)$, c. \`a d. que $\mathfrak{sl}(n,K)$ est stable  pour le  crochet de Lie et
    %
 \item que $\mathfrak{so}(n)$, $\mathfrak{u}(n)$ et $\mathfrak{su}(n)$ sont des sous-alg\`ebres de Lie  {\it r\'eelles} de $\mathfrak{gl}(n,\R)$ (resp. $\mathfrak{gl}(n,\C)$).   %
 \end{enumerate}
   %
   \item  Montrer que l'image de $\mathfrak{so}(n)$ (resp. $\mathfrak{u}(n)$ et $\mathfrak{su}(n)$) par  l'
  % application
  %
  % 
exponentielle co\"{i}ncide avec $SO(n)$ (resp. $U(n)$, resp. $SU(n)$).
\end{enumerate}  
\medskip
     %
      {\bf Ex. 8.}  
  \begin{enumerate}
  \item Soit $a\in M_n(\C)$. D\'emontrer que $\det(\exp(a))=e^{\tr(a)}$.\\
  {\sl Indication: V\'erifier d'abord cette identit\'e pour les matrices diagonalisables et remarquer que l'ensemble des endomorphismes diagonalisable est dense dans $M_n(\C)$.}
  \item  En utilisant  la m\^eme m\'ethode que dans l'exercice 7.3, montrer que 
  % l'indication me semble toutefois superflue
  $$ \mathfrak{sl}(n,\R)=\{\dot\gamma(0)|\ \gamma:\  ]-\varepsilon,\varepsilon[\stackrel{{\cal
  C}^1}{\longrightarrow} M_n(\mathbb R),\ \gamma(0)=I_n,\ {\rm im}(\gamma)\subset SL(n,\R)\}$$
  %
   $$ \mathfrak{sl}(n,\C)=\{\dot\gamma(0)|\ \gamma:\  ]-\varepsilon,\varepsilon[\stackrel{{\cal
  C}^1}{\longrightarrow} M_n(\mathbb \C),\ \gamma(0)=I_n,\ {\rm im}(\gamma)\subset SL(n,\C)\}$$
  %
  \end{enumerate}
  
  

 %

\end{document}

 


























