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% BLACKBOARD BOLD:

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\pagestyle{empty}

\begin{document}
UNIVERSIT\'E DE PROVENCE \hfill LICENCE DE MATH\'EMATIQUES - 2LMAT75

2002-2003

\bigskip
\begin{center}
Alg\`ebre et G\'eom\'etrie - TD n$^0$ 4
\end{center}
\vspace{5mm}

  {\bf Ex. 1.} (diagonalisation simultan\'ee)  

Soit $(E,f)$ un espace
euclidien et $g:E\times E\ra \mathbb R$ une forme bilin\'eaire d\'efinie
positive. D\'emontrer que $E$ admet une base qui est \`a
la fois $f$-orthonormale et $g$-orthogonale.
Donner l'\'equivalent de ce th\'eor\`eme pour un espace hermitien.
\vspace{2mm}\\
 %
{\bf Ex. 2.} (diagonalisation simultan\'ee)  \\
Soit $E$ un espace
vectoriel de dimension finie sur
$K$.
%
\begin{enumerate}
\item  Soit
$u\in \End(E)$ un endomorphisme diagonalisable. D\'emontrer qu'un
sous-espace \hbox{$F\subset E$}  est  \hbox{$u$-invariant }
%
(c'est \`a dire v\'erifie $u(F)\subset F$) si et
seulement si
$F$ est de la forme
%
$$F=\bigoplus\limits_{\lambda\in {\rm Spec}(u)} F_\lambda\ ,\ 
F_\lambda\subset E_\lambda\ .
$$
%
\item Soient $u$ et $v\in \End(E)$ deux endomorphismes diagonalisables qui commutent. 
Montrer que $u$ et $v$ sont {\sl simultan\'ement}
diagonalisables, c. \`a d. qu'il existe une base de $E$ dans laquelle
les matrices de  $u$ et $v$ sont toutes   
deux diagonales.
\end{enumerate}


 
      %
  {\bf Ex. 3.}    (isomorphismes exceptionnels)
%
\begin{enumerate}
\item 1$^{\hbox{\small er}}$  isomorphisme exceptionnel:
Soit  $F:\C=M_1(\C)\ra M_2(\C)$ l'application d\' efinie par
%
$$F(a + bi) =\left(\matrix{a & -b\cr b  & a}\right){\rm .}$$
Montrer que $F$
\begin{enumerate}
\item est un monomorphisme de $\R$-alg\`ebres ;
\item induit un isomorphisme de $\R$-alg\`ebres de Lie ($F_{|\mathfrak{u}(1)} := $) $\varphi :\mathfrak{u}(1)\ra \mathfrak{so}(2)$ ;
\item induit un isomorphisme de groupes ($F_{|U(1)} :=$) $f:U(1)\ra SO(2)$;


%
\hspace*{-10mm} enfin, que l'on a:     
\item   $\exp \circ \  \varphi = f  \circ \exp_{|\mathfrak{u(1)}}$.
\end{enumerate}
%
\item  2$^{\hbox{\small \`eme}}$  isomorphisme exceptionnel:
%
Soit $E := \{ai+bj+ck|\ a,\ b,\ c\in\R\}\subset\H$ le $\R$-sous-espace vectoriel des quaternions purs, 
$\S^3 :=\{q\in\H|\ \| q\|=1\}$ 
 l'ensemble des quaternions de norme 1 (c'est une {\it sph\`ere} de dimension 3) et enfin $H:\H\ra M_2(\C)$ l'application donn\'ee par 
 %
$$H(w+zi)=\left(\matrix{w & -z\cr \bar z  & \bar w}\right){\rm .}$$ 
%
Montrer que $H$
\begin{enumerate}
\item est un monomorphisme de $\R$-alg\`ebres ;
\item  induit un isomorphisme de $\R$-alg\`ebres de Lie ($H_{|E} =: $) $\chi:E\ra
\mathfrak{su}(2)$, o\`u l'on consid\`ere $E$ comme sous-alg\`ebre de Lie de
l'alg\`ebre de Lie associ\'ee \`a l'alg\`ebre  associative  $\H$ (voir TD 3) ;

\item induit un isomorphisme de groupes ($H_{|\S^3}=:$) $h:\S^3\ra \ {SU(2)} $ ;

%
\hspace*{-10mm} enfin, que l'on a:    
\item  $\exp \circ \   {\chi}= h  \circ \exp_{|\mathfrak{su(2)}}$; 
 \item  $\chi$ est une isom\'etrie $(E,\|\cdot\|)\ra (\mathfrak{su}(2), {\sqrt{\rm det}})$. 
 \end{enumerate} 
 %
(On observera que, sur $su(2)$, on a   $\det (a)= \frac{1}{2} \tr(^t\bar a a)$, 
donc que $a\mapsto \sqrt{\rm det(a)}$ est une norme.) 
\item (caract\'erisations de $U(2)$ et de $SU(2)$)

Montrer que 
%
$$U(2)=\left\{ \left. \left(\begin{array}{lr}
\cos \theta\  {\rm e}^{i \alpha}  &  -\sin \theta\ {\rm e}^{i \beta}\\
%
\sin \theta\ {\rm e}^{ i \gamma}&  \cos \theta\ {\rm e}^{ i \delta}
\end{array}
\right)\right|\ \alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta\in\R,\
\alpha + \delta = \gamma + \beta\right\}
$$
$$
SU(2)=\left\{\left.\left(\begin{array}{lr}
\cos \theta\ {\rm e}^{i \alpha}  &  -\sin \theta\ {\rm e}^{i \beta}\\
\sin \theta\ {\rm e}^{ i \gamma}&  \cos \theta\ {\rm e}^{ i \delta}
\end{array}\right)\ \right|\ \alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta\in\R,\ \alpha + \delta = \gamma + \beta=0\right\}
{\rm .}$$
 
\item Pour tout "quaternion" $q\in   SU(2)$, d\'emontrer que l'application ${\rm
 ad}_q:\mathfrak{su}(2)\ra \mathfrak{su}(2)$ donn\'ee par ${\rm ad}_q(a)=qaq^{-1}$ 
appartient \`a $SO(\mathfrak{su}(2), {\sqrt{\rm det}})
%
\simeq SO(3)$.

En d\'eduire que  l'application
${\rm ad} : q \mapsto {\rm ad}_q$
% 
 induit un isomorphisme
$$\iota: {\mathbb S^3}/\{\pm 1\}\simeq { SU(2)}/\{\pm I_2\}\ra SO(3){\rm .}$$ 
%
\end{enumerate}
%
%
 %
{\bf Ex. 4.}  Soit $a$ un endomorphisme normal de l'espace hermitien
$(E,h)$ et soit $n\in \mathbb N$. Quel est le nombre de solutions normales qu'admet l'\'equation 
$u^n=a $?\\
{\sl  Indication: Utiliser l'exercice 2, 2.}
\vspace{2mm}\\
%
{\bf Ex. 5.} En utilisant le th\'eor\`eme de Gramm-Schmidt, d\'emontrer
que
%
\begin{enumerate}
\item toute matrice $A\in GL(n,\mathbb R)$ se d\'ecompose d'une fa\c con
unique comme
$A=UT$, o\`u
$U\in  O(n)$ et $T$ est une matrice triangulaire sup\'erieure dont les
\'el\'ements diagonaux sont strictement positifs;
%
\item toute matrice $A\in GL(n,\mathbb C)$ se d\'ecompose d'une fa\c con
unique comme
$A=UT$, o\`u
$U\in  U(n)$ et $T$ est une matrice triangulaire sup\'erieure (complexe) 
dont les
\'el\'ements diagonaux sont (r\'eels et) strictement positifs.
 \end{enumerate}
%
  %
%
{\bf Ex. 6.}  Soit $(E,h)$ un espace hermitien et $n\in\mathbb N$.  
%
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour
tout endomorphisme hermitien $a$ \`a valeurs propres {\it positives} il existe un  
unique endomorphisme hermitien  $b$
\`a valeurs propres {\it positives} tel que $b^n=a$.
%
\item D\'emontrer que tout automorphisme $a\in GL(E)$ se d\'ecompose
comme $a=bu$, o\`u $b$ est un endomorphisme hermitien \`a valeurs propres
strictement positives et $u\in U(E)$.
%
\item Donner l'\'equivalent de ce r\'esultat pour un espace euclidien.
\end{enumerate}



{\bf Ex. 7.}  (actions canoniques) Soit $\alpha:SO(n)\times\R^n\ra\R^n$ l'action naturelle de $SO(n)$ sur $\R^n$.  
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x\in \R^n$ d\'ecrire
l'orbite et le stabilisateur de $x$ par rapport \`a l'action $\alpha$.
\item Cette action est-elle (a) transitive,  (b) libre,  (c) effective? 
%
\end{enumerate}
M\^emes questions pour les actions naturelles de $SU(n)$ et de $U(n)$ sur $\C^n$.  Observer que l'action de $SU(2)$ sur $\C^2\setminus\{0\}$ est libre et faire le lien avec l'Ex. 3, 2.
\\

{\bf Ex. 8.}  Soit $\alpha:\R^*_+\times\R^2\ra\R^2$ (resp. $\beta:\R^*_+\times\R^2\ra\R^2$)  l'action du groupe multiplicatif $(\R^*_+,\cdot)$ sur $\R^2$ donn\'ee par $\alpha(t,(x,y)):=(tx,ty)$ (resp. $\beta(t,(x,y)):=(tx,t^{-1}y)$).
%
\begin{enumerate} 
\item  Dans chaque cas, d\'ecrire l'orbite et le stabilisateur d'un  point $(x,y)\in \R^2$.

%Pour tout point $(x,y)\in \R^2$ d\'ecrire son orbite et son  stabilisateur   par rapport aux deux actions.
%
\item Montrer que, dans le cas de l'action $\alpha$, le quotient $( {\R^2\setminus\{0\}})/{\R^*_+}$ est hom\'eomorphe  au cercle $\S^1$, tandis que, pour l'action $\beta$, le quotient $({\R^2\setminus\{0\}})/{\R^*_+}$ est un espace non-Hausdorff.
\end{enumerate}
 






\end{document}














