\documentclass[12pt,francais]{article}
\usepackage{babel}
\usepackage{amsfonts}

\textwidth 165mm
\textheight 250 mm
\oddsidemargin 0mm
\topmargin -10mm
\parindent 0cm
 
\def\End{{\rm End}}
\def\tr{{\rm tr}}
\def\ra{\rightarrow}




% BLACKBOARD BOLD:

\def\A{{\mathbb A}}
\def\B{{\mathbb B}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\D{{\mathbb D}}
\def\E{{\mathbb E}}
\def\F{{\mathbb F}}
\def\G{{\mathbb G}}
\def\H{{\mathbb H}}
\def\I{{\mathbb I}}
\def\J{{\mathbb J}}
\def\K{{\mathbb K}}
\def\L{{\mathbb L}}
\def\M{{\mathbb M}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\O{{\mathbb O}}
\def\P{{\mathbb P}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\S{{\mathbb S}}
\def\Z{{\mathbb Z}}




\pagestyle{empty}


\begin{document}
UNIVERSIT\'E DE PROVENCE \hfill LICENCE DE MATH\'EMATIQUES - 2LMAT75

2002-2003
%
\vspace{9mm}
\begin{center}
Alg\`ebre et G\'eom\'etrie - EXAMEN du 4 juin 2003
\end{center}
%
\vspace{8mm}
%
%
{\bf Ex. 1.} (Questions de cours)
%
\begin{enumerate}
\item Introduire les notions d'espace hermitien,
d'endomorphisme normal, d'endomorphisme hermitien (auto-adjoint) et
d'endomorphisme \mbox{unitaire} dans un espace hermitien.
\item \'Enoncer et d\'emontrer le th\'eor\`eme concernant la
diagonalisabilit\'e d'un endomorphisme normal.
\item \'Enoncer le th\'eor\`eme concernant la forme canonique d'un
endomorphisme orthogonal dans un espace euclidien.  Justifier 
 le fait  
 que
$SO(n)$, consid\'er\'e comme sous-espace topologique de $M_n(\R)$, est connexe.
%
\end{enumerate}
 %
\vspace{3mm}
 %
 %
 %
 {\bf Ex. 2.} \\
a) Donner la liste compl\`ete, \`a similitude pr\`es, des formes canoniques de Jordan des
endomorphismes nilpotents $u$ de $\R^6$. En utilisant une base par rapport \`a  laquelle la matrice de  $u$
a pareille forme, d\'eterminer  dans chaque cas 
\begin{enumerate}
\item le rang, l'indice de nilpotence, le polyn\^ome caract\'eristique, le
spectre et les vecteurs propres  de $u$ ;
  
\item le polyn\^ome minimal et  les espaces caract\'eristiques de $u$;
  
\item l'exponentielle de $u$.
 
\end{enumerate}
%
b)  Soit $A$ une matrice nilpotente $\in M_6(\R)$ d'indice de nilpotence maximal, mise sous forme normale de Jordan (celle-ci \'etant donc unique a similitude pr\`es). R\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle 
$$x'(t)=A\ x(t)\ ,$$ 
en fonction de la condition initiale $x(0) = x_0\in\R^6$.
%
\\ 
\\
 {\bf Ex. 3.} \\
Soient $(E,h)$ un espace hermitien et $u\in\End(E)$ un endomorphisme
antihermitien, c'est  \`a dire  un endomorphisme de la forme $iv$, o\`u
$v$ est un endomorphisme hermitien (auto-adjoint) de $E$. Montrer que
$\exp(u)\in U(E)$.
 \\ 
 \\
 %
 {\bf Ex. 4.} \\
Soient
%
$(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien et $u\in
\End(E)$. On d\'esigne par $\|\cdot\|$ et $d$ la norme et la distance associ\'ees 
au produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$.

a) D\'emontrer que les propri\'et\'es suivantes sont
\'equivalentes:
 \begin{enumerate}
 %
\item  $u^*u={\rm id}_E$.
\item  $uu^*={\rm id}_E$.
\item La matrice de $u$ dans une base orthonormale est orthogonale.
\item $\langle u(x),  u(y)\rangle=\langle x,y\rangle$ pour tous $x$,
$y\in E$.
\item $\|  u(x)\|=\| x\|$ pour tout $x\in E$.
%
\item $d(u(x),u(y))=d(x,y)$ pour tous $x, y\in E$.
%
 \end{enumerate}
%
b) D\'emontrer que l'ensemble $O(E)\subset\End(E)$ des endomorphismes qui
v\'erifient ces propri\'et\'es est un groupe pour la
composition.\\ 
c) D\'emontrer que $O(n)\subset M_n(R)$ est compact pour la
topologie induite.
\\ \\
%
 {\bf Ex. 5.}  Soit $\H:=\{q=a+bi+cj+dk|\ a,\ b,\ c,\ d\in\R\}$
l'alg\`ebre r\'eelle non commutative des {\em quaternions}, o\`u $i$, $j$, $k$ sont des
symboles formels. \mbox{L'addition} dans $\H$ est induite par l'identification
naturelle
$\H\simeq\R^4$, \mbox{tandis} que la \mbox{multiplication} est d\'efinie par les
conditions:
\\
a)  $1$ est l'\'el\'ement neutre pour la multiplication.\\
b) $(p,q)\mapsto p q$ est $\R$-bilin\'eaire.\\
c) $i^2=j^2=k^2=-1$, $ij=-ji=k$, $jk=-kj=i$, $ki=-ik=j$.
%observer la cyclicit� blabla

Pour un quaternion $q=a+bi+cj+dk$, on pose
$$\bar q:=a-bi-cj-dk\ ( {\rm le}\  \hbox{\it conjugu\'e\ quaternionien de }q)  \ {\rm et}\  |q|:=\|q\|:=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}\ .$$
On d\'esigne  par $\S^3$ l'ensemble des quaternions de norme 1 (c'est une {\em sph\`ere} de dimension 3). 
\vspace{2mm}\\
I. Montrer que: 
\begin{enumerate}
\item $xq=qx$ pour tous $x\in\R$, $q\in\H$. 
\item $q\bar q= |q|^2$.
\item $\overline{qp}=\bar p\ \bar q$ pour tous $p,\ q\in\H$.
\item $| p q|=| p|\  | q|$ pour tous $p,\ q\in\H$. ({\it Indication: utiliser 2, 3 et 1.})
 \item $\H$ est en fait un {\em corps}.\\
{\it Indication:  s'inspirer de l'exemple analogue  du corps des complexes, d\'efini au d\'epart comme $\R$-alg\`ebre engendr\'ee par le symbole formel $i$ v\'erifiant la relation $i^2=-1$}.

On notera que l'on peut identifier $\C$ \`a un sous-corps de $\H$.
\end{enumerate}

II. Montrer que $\S^3$ est un sous-groupe du groupe multiplicatif $\H^{*}$.
\vspace{2mm}\\
III. Pour tout
$q\in
\H$ on d\'efinit l'endomorphisme $g(q)\in\End_\R(\H)$ par la condition
%
$$g(q)(x):=q x\ .$$
%
 (la {\em multiplication \`a gauche} par $q$).
\begin{enumerate}
\item Donner la matrice de $g(q)$ en fonction des composantes de  $q=a+bi+cj+dk$.
%
\item D\'emontrer que $g(q)\in SO(4)\  (:= SO(\R^4) = SO(\H))$ pour tout  quaternion $q \in \S^3$.
%
\item D\'emontrer que $g|_{\S^3}:\S^3\rightarrow SO(4)$ est un morphisme de
groupes.
\item Est-ce que $g|_{\S^3}:\S^3\rightarrow SO(4)$ est injectif?
%
\item Est-ce que $g|_{\S^3}:\S^3\rightarrow SO(4)$ est surjectif?

\end{enumerate}




\end{document}

 


































