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% BLACKBOARD BOLD:

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\pagestyle{empty}


\begin{document}
UNIVERSIT\'E DE PROVENCE \hfill LICENCE DE MATH\'EMATIQUES - 2LMAT75

2002-2003
%
\vspace{9mm}
\begin{center}
Alg\`ebre et G\'eom\'etrie - EXAMEN du 16 septembre 2003
\end{center}

%
\vspace{8mm}
%
%
{\bf Ex. 1.} (Questions de cours)
%
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer qu'un endomorphisme $f$ d'un espace vectoriel de
dimension finie $V$ sur un corps commutatif $K$ est diagonalisable si est
seulement si son polyn\^ome minimal est scind\'e sur $K$ et n'a que des
racines simples. 
\item 
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que $A\in O(2)$ si et seulement si il existe
$\alpha\in[0,2\pi)$ tel que 
%
$$A=\left(
\begin{array}{cc}
\cos \alpha &-\sin \alpha\\
\sin \alpha & \cos\alpha
\end{array}
\right)\ 
{\rm ou} \ A=\left(
\begin{array}{cc}
\cos \alpha &\sin \alpha\\
\sin \alpha & -\cos\alpha
\end{array}
\right)
$$

\item Dans chaque cas, d\'eterminer ${\rm  Spec}_\R(A)$, ${\rm  Spec}_\C(A)$
et pr\'eciser si $A$ est diagonalisable sur $\R$.
\item D\'emontrer que $O(2)$ est un sous-espace compact de $M_2(\R)$.
\item D\'emontrer que $SO(2)$ est isomorphe au groupe multiplicatif 
%
$$S^1:=\{z\in\C|\  |z|=1\}\subset\C^*$$
%
%.
%%  
\end{enumerate}

 
\end{enumerate}


 
 %
 {\bf Ex. 2.} \\
Consid\'erons la matrice
%
$$A=\left(
\begin{array}{rcrr}
1 &\alpha&0&0\\
0&1&0&0\\
1&2&3&1\\
-2&-(4+\alpha)&-4&-1
\end{array}
\right)\ \hbox{o\`u}\ \alpha\in\R\ .
$$
En discutant selon les valeurs de $\alpha$, d\'eterminer
\begin{enumerate}
\item le polyn\^ome caract\'eristique de $A$, 
\item les valeurs
propres de $A$, 
\item leur multiplicit\'es  alg\'ebriques,
\item leur multiplicit\'es  g\'eom\'etriques,  
\item les espaces propres de $A$,
\item le polyn\^ome minimal de $A$,
\item une forme r\'eduite de Jordan $J$ de $A$ 
\item ainsi qu'une base de $\R^4$ dans laquelle  la matrice de l'endomorphisme d\'efini par $A$ est $J$. 
\end{enumerate}
 
 
 {\bf Ex. 3.} \\
Soit $(E,h)$ un espace hermitien. D\'esignons par ${\rm Herm}(E)$ l'espace
vectoriel des endomorphismes hermitiens (auto-adjoints) de $E$ et par
${\rm Herm}_+(E)\subset {\rm Herm}(E)$ le sous-ensemble des endomorphismes
hermitiens   \`a valeurs propres strictement positives.
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que l'application $\exp:{\rm Herm}(E)\ra {\rm Herm}_+(E)$
est bijective.
\item D\'emontrer que $\exp(i{\rm Herm}(E))\subset U(E)$, o\`u $U(E)$ d\'esigne le groupe des automorphismes unitaires de l'espace hermitien  $E$.

 

\item Est-ce que l'application $\exp:i{\rm Herm}(E)\ra U(E)$ est 
surjective?
\item Est-ce que l'application $\exp:i{\rm Herm}(E)\ra U(E)$ est injective?\\ \\
{\it Indication:}  Utiliser les th\'eor\`emes de diagonalisation.
\end{enumerate}
  
 


\end{document}

 



































