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% BLACKBOARD BOLD:

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\pagestyle{empty}

\begin{document}
UNIVERSIT\'E DE PROVENCE \hfill LICENCE DE MATH\'EMATIQUES - 2LMAT75

2002-2003
%\`{\"o}
\bigskip
\begin{center}
Alg\`ebre et G\'eom\'etrie - PARTIEL, 2 mai 2003
\end{center}
\vspace{5mm}

{\bf Ex. 1.} (Questions de cours)\\
\'Enoncer et d\'emontrer   les crit\`eres de diagonalisation vus en cours.\\
{\it Rappel: Il y en a 4+1, le dernier utilisant le polyn\^ome minimal.}
 %
 \\ \\
 {\bf Ex. 2.} ( Jordanisation)\\
 %
 Soit $E$ un espace vectoriel de dimension 15 sur un corps commutatif $K$ et $u\in{\rm End}(E)$ tel que ${\rm Spec}(u)=\{a,b\}$, $a\ne b$.
 
 On sait que
 %
 $$\dim[\ker(u-a {\rm id}_E)]=3\ ,\ \dim[\ker(u-a {\rm id}_E)^2]=6\   ,\  \dim[\ker(u-a {\rm id}_E)^3]=8
 $$
 %
 %
 $$\dim[\ker(u-b {\rm id}_E)]=4\ ,\ \dim[\ker(u-b {\rm id}_E)^2]=7\   .
 $$
 %
 Pr\'eciser:
 \begin{enumerate}
 \item Le polyn\^ome caract\'eristique  de $u$.
 \item Est-ce que $u$ est trigonalisable? Pourquoi?
 \item Les dimensions des espaces caract\'eristiques $N_a$, $N_b$ et des espaces propres $E_a$, $E_b$ de chaque valeur propre.
 \item Les multiplicit\'es alg\'ebriques et g\'eom\'etriques de chaque valeur propre.
 \item Le polyn\^ome minimal de $u$. 
 \item La forme canonique de Jordan de $u$.
 \item La matrice de la puissance $n$-i\`eme de $u$ dans une base dans laquelle $u$ prend sa forme canonique de Jordan.
 \item  La matrice de $\exp(u)$ dans   une base dans laquelle $u$ prend sa forme canonique de Jordan) (pour  cette question on suppose  $K=\R$). 
 
 \end{enumerate}
 
 
 
 
\end{document}

 




























