Analyse 2


MA301, licence de mathématiques 2e année

Année 2008-2009




Présentation

Cet enseignement se compose de 24 heures de cours et de 36 heures de TD.
  1. Intégrales généralisées
    Objectif: Donner une première approche des intégrales généralisées, en vue de l'étude des séries. On se contentera de l'approche de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment vue en Terminale.
    Contenu: Définition d'une intégrale généralisée (pour des fonctions continues par morceaux) convergente ou divergente. Propriétés élémentaires. Intégrales absolument convergentes. Cas des fonctions positives, critères de comparaison. Fonctions de références. Exemples d'intégrales semi-convergentes. Utilisation de l'intégration par parties pour les étudier. Ces points seront abordés en TD. Changement de variables dans les intégrales impropres.

  2. Séries numériques
    Objectif: Développer les principales méthodes d'étude des séries numériques réelles ou complexes.
    Contenu: Définitions générales. Séries absolument convergentes. Séries à termes positifs, critères de comparaison, séries de références (géométriques, Riemann), critères de Cauchy et de d'Alembert. Utilisation des développements limités pour l'étude de séries. Séries alternées. Produit de séries absolument convergentes. Comparaison entre la convergence des intégrales impropres et des séries. Méthodes de calcul approché de la somme d'une série (en TD).

  3. Suites et séries de fonctions
    Objectif: Donner une première approche de la convergence simple et uniforme d'une suite et d'une série de fonction
    Contenu: Définition de la convergence simple et de la convergence uniforme d'une suite de fonctions réelles ou complexes. Continuité, continuité uniforme, dérivabilité de la limite d'une suite de fonctions. Théorème de Dini pour des suites de fonctions croissantes sur un intervalle (en TD). Séries de fonctions, convergence simple, convergence uniforme. On s'attachera surtout au cas de la convergence normale. Continuité et dérivabilité de la somme d'une série de fonctions. Interversion des séries et intégrales (notamment, cas où Σ fn converge simplement vers f et la somme des intégrales de |fn| est finie).


Bibliographie :

Organisation



Calendrier et documents



Semaine du Cours TD
Saint-JérômeAix Montperrin
8 septembre Rappels sur les suites numériques.
Séries numériques:
  • définition, sommes partielles, restes, convergence et somme
  • séries arithmétiques et géométriques
  • critère de Cauchy
  • convergence absolue
Rappels sur les suites numériques, propriété de la borne supérieure et suites de Cauchy. Pas de TD
15 septembre Pas de cours Pas de TD
22 septembre
  • exemples de séries à termes positifs
  • sommation des équivalents
  • règles de Cauchy et de D'Alembert
Suites numériques: Suites équivalentes
Séries numériques:
  • définition, sommes partielles, restes, convergence et somme
  • séries arithmétiques et géométriques
  • critère de Cauchy
  • convergence absolue
  • série harmonique
Premier TD
29 septembre
  • Séries alternées
  • transformation et critère d'Abel
  • exemples de séries
  • séries de Riemann
  • Séries à termes positifs:
    • comparaison
    • équivalence
    • critère de D'Alembert
    • critère de Cauchy
  • Séries alternées
  • transformation d'Abel
6 octobre
  • Critère de convergence d'Abel
Intégrales généralisées :
  • définition, exemples
  • critère de Cauchy
  • intégrales positives
  • intégrales généralisées de fonctions positives équivalentes
13 octobre Rendre le devoir à la maison Deuxième TD
  • intégrales généralisées de fonctions positives équivalentes : équivalence des sommes partielles ou des restes
  • convergence absolue
  • fonctions intégrables qui ne convergent pas vers 0
  • comparaison série-intégrale
20 octobre Suites et séries de fonctions 
  • convergence simple, définition
  • convergence uniforme, définition
  • limite uniforme de fonctions continues
Partiel vendredi 24 octobre 10h30-12h30 (corrigé)
27 octobre Vacances
3 novembre Pas de cours à Aix (remplacé par le cours de physique)
10 novembre
  • convergence simple (définition., unicité de la limite simple, linéarité, exemples)
  • exemples de l'insuffisance de cette notion pour passer à la limite dans les intégrales, ou pour la continuité de la limite
  • convergence uniforme (définition + critère de Cauchy uniforme) et exemples
  • continuité de la limite uniforme de fonctions continues et double passage a la limite i.e. f_n(x_n) -> f(x)
  • critère de convergence uniforme
  • intégrale de limite uniforme
17 novembre
  • limites uniformes et primitives
  • limites uniformes et dérivation
  • inversion des limites
Troisième TD
24 novembre
  • toute fonction continue est limite uniforme de fonctions en escalier
  • fonctions réglées
  • Stone-Weierstrass, polynômes de Bernstein
1er décembre
  • Interpolation polynomiale
  • courbes de Bézier
Séries de fonctions
  • définition, convergences
  • convergence normale
Quatrième TD
8 décembre Devoir à la maison à rendre au plus tard le 12 décembre. Correction du devoir.
  • convergence normale
  • continuité, intégrale et dérivabilité de la somme
  • exemple des séries entières
  • construction de l'exponentielle
15 décembre
  • critère d'Abel pour la convergence uniforme des séries de foncitons
  • rappel sur les équivalents et les développement limités
18 décembre 2008 : Le deuxième devoir à la maison est corrigé, vous pouvez demander votre note par mèl à Thierry Coulbois
22 décembre Vacances
29 décembre
6 janvier Examen, vendredi 9 janvier 2009, 8h30-11h30, amphi de Saporta à Saint-Jérôme, amphi 1 à Montperrin, Attention en raison de la neige, l'examen aura lieu lundi 19 janvier 8h30-11h30
13 janvier
31 août Examen de rattrapage, mercredi 9 septembre 2009, 8h30-11h30, amphi Fabre à Saint-Jérôme, amphi A1 à Montperrin.
6septembre


Dernière modification : 23 septembre 2008
URL: http://www.latp.univ-mrs.fr/~coulbois/2009/analyse2/index.html