Analyse 2 --- 2010--2011

Analyse 2

MA301, licence de mathématiques 2^e année

Année 2010-2011

Présentation (pré-requis, objectif, contenu, bibliographie)
Organisation (cours, TD, évaluation)
Calendrier et documents (cours, TD)
Archives de l'année passée (notemment les examens et les partiels)

Présentation

Cet enseignement se compose de 24 heures de cours et de 36 heures de TD.

Intégrales généralisées
Objectif: Donner une première approche des intégrales généralisées, en vue de l'étude des séries. On se contentera de l'approche de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment vue en Terminale.
Contenu: Définition d'une intégrale généralisée (pour des fonctions continues par morceaux) convergente ou divergente. Propriétés élémentaires. Intégrales absolument convergentes. Cas des fonctions positives, critères de comparaison. Fonctions de références. Exemples d'intégrales semi-convergentes. Utilisation de l'intégration par parties pour les étudier. Ces points seront abordés en TD. Changement de variables dans les intégrales impropres.
Séries numériques
Objectif: Développer les principales méthodes d'étude des séries numériques réelles ou complexes.
Contenu: Définitions générales. Séries absolument convergentes. Séries à termes positifs, critères de comparaison, séries de références (géométriques, Riemann), critères de Cauchy et de d'Alembert. Utilisation des développements limités pour l'étude de séries. Séries alternées. Produit de séries absolument convergentes. Comparaison entre la convergence des intégrales impropres et des séries. Méthodes de calcul approché de la somme d'une série (en TD).
Suites et séries de fonctions
Objectif: Donner une première approche de la convergence simple et uniforme d'une suite et d'une série de fonction
Contenu: Définition de la convergence simple et de la convergence uniforme d'une suite de fonctions réelles ou complexes. Continuité, continuité uniforme, dérivabilité de la limite d'une suite de fonctions. Théorème de Dini pour des suites de fonctions croissantes sur un intervalle (en TD). Séries de fonctions, convergence simple, convergence uniforme. On s'attachera surtout au cas de la convergence normale. Continuité et dérivabilité de la somme d'une série de fonctions. Interversion des séries et intégrales (notamment, cas où Σ f_n converge simplement vers f et la somme des intégrales de |f_n| est finie).

Bibliographie :

Organisation

Cours : Les responsables du cours est Thierry Coulbois ( ) L'enseignement a lieu au premier semestre et commence la semaine du 13 septembre 2010.

Lieu Jour Heure Salle

Saint-Jérôme jeudi 9h-11h 211

Aix-Montperrin Lundi 10h - 12h salle 7

Lieu	Jour	Heure	Salle
Saint-Jérôme	jeudi	9h-11h	211
Aix-Montperrin	Lundi	10h - 12h	salle 7

TD : Les chargés de TD sont Corentin Boissy () à Saint-Jérôme et Yannick Sire () à Aix-Montperrin. Le premier TD a lieu la semaine du 20 septembre 2010. L'horaire des TD est le suivant :

Lieu	Enseignant	Jour	Heure	Salle
Saint-Jérôme	Corentin Boissy	jeudi	16h-17h30	205
Saint-Jérôme	Corentin Boissy	vendredi	8h30-10h	211
Aix-Montperrin	Yannick Sire	mercredi	10h30-12h	salle 3
Aix-Montperrin	Yannick Sire	jeudi	9h-10h30	salle 3

Évaluation :
La note finale est calculée par la formule suivante à partir de la note de partiel, de devoir à la maison et d'examen:

note finale = max (examen; 1/2 examen + 1/2 contrôle continu)

Calendrier et documents

Semaine du	Cours		TD
Semaine du	Saint-Jérôme	Aix Montperrin	TD
13 septembre	Intégrales généralisées fonctions localement intégrables définition de l'intégrale généralisée exemples propriétés (Chasles, linéarité, positivité)		Pas de TD
20 septembre	jeudi 23 septembre 2010 : greve nationale pour les retraites: pas de cours a Saint-Jerome	intégrale généralisée des fonctions positives: théorème de comparaison fonctions équivalentes rappels sur l'ordre de grandeur des fonctions intégrales absolument convergentes	Premier TD
27 septembre	intégrale généralisée des fonctions positives: théorème de comparaison fonctions équivalentes rappels sur l'ordre de grandeur des fonctions intégrales absolument convergentes convergence absolue implique convergence (rappels sur le critère de Cauchy)	convergence absolue implique convergence (rappels sur le critère de Cauchy) semi-convergence : exemple de (sin t)/t Série numériques rappel: somme d'une suite arithmétique
4 octobre	Premier partiel : jeudi 7 octobre 9h-10h		TD 2
4 octobre	semi-convergence : exemple de (sin t)/t Série numériques rappels: somme d'une suite arithmétique suites géométriques suites définies par récurrence, terme général exemple de Fibonacci	somme d'une suite géométrique Rappels sur les suites terme général, suite définie par récurrence suites majorées, minorées, bornées suites croissantes, décroissantes, monotones limites Séries numériques définition exemples somme d'une série numérique	TD 2
11 octobre	Rappels sur les suites suites majorées, minorées, bornées suites croissantes, décroissantes, monotones limites Séries numériques définition exemples somme d'une série numérique si une série converge la suite tend vers 0 contrexemples à la réciproque et dans le cas des intégrales généralisées	correction du partiel si une série converge la suite tend vers 0 contrexemples à la réciproque et dans le cas des intégrales généralisées suite des restes d'une série convergente exemple des restes d'une série géométrique convergente
18 octobre	Séries à termes positifs séries de Riemann (comparaison avec l'intégrale généralisée) théorème de comparaison séries de termes positifs équivalents équivalence des sommes partielles ou des restes critère de D'Alembert	Séries à termes positifs séries de Riemann (comparaison avec l'intégrale généralisée) théorème de comparaison séries de termes positifs équivalents équivalence des sommes partielles ou des restes critère de D'Alembert et critère de Cauchy
25 octobre	Vacances de la Toussaint
1 novembre	critère de Cauchy séries absolument convergentes séries alternées transformée d'Abel	Pas de cours à Aix-Montperrin (fête de la Toussaint)
1 novembre	Deuxième partiel : jeudi 4 novembre 9h-10h
8 novembre	Pas de cours à Saint-Jérôme (armistice de 1918)	Séries absolument convergentes séries alternées transformée d'Abel Suites de fonctions convergence simple: définition et exemple
15 novembre	rendre le devoir à la maison		TD 3
15 novembre	Suites de fonctions exemple de f_n(x)=xⁿ convergence simple la convergence simple ne garantie pas la continuité et ne permet pas l'inversion des limites convergence uniforme : définition	(rappels sur les développements limités et remarques sur le partiel) convergence uniforme: définition	TD 3
22 novembre	caractérisation de la limite uniforme par la norme sup inversion des limites limite uniforme de fonctions continues	exemple de convergence uniforme caractérisation par la norme sup limite uniforme de fonctions continues intégrale de la limite uniforme
29 novembre	Troisième partiel : jeudi 2 décembre 9h-10h
29 novembre	limite uniforme et primitives limite uniforme des fonctions dérivées fonctions réglées théorème de Stone-Weierstrass	limite uniforme et primitives limite uniforme des fonctions dérivées fonctions réglées théorème de Stone-Weierstrass (admis) courbes de Bézier, interpolation de Lagrange
6 décembre	polynômes d'interpolation de Lagrange courbes de Bézier Séries de fonctions Définition Convergence normale Développement en séries entières des fonctions classiques	Séries de fonctions Définition Convergence normale Séries entières Développement en séries entières des fonctions classiques exemple de l'exponentielle	TD 4
13 décembre	Séries de Fourier: exemple de Σ1/n²=π²/6	rayon de convergence séries de Fourier Σ1/n²=π²/6
20 décembre	Vacances de Noel
28 décembre	Vacances de Noel
4 janvier	Examen : lundi 10 janvier 2011 13h30-16h30
11 janvier	Examen : lundi 10 janvier 2011 13h30-16h30
14 juin	Rattrappage
21 juin	Rattrappage

Création : 1^er septembre 2010
URL: http://www.latp.univ-mrs.fr/~coulbois/2011/analyse2/index.html