Analyse 2 --- 2011--2012

Analyse 2

MA301, licence de mathématiques 2^e année

Année 2011-2012

Présentation (pré-requis, objectif, contenu, bibliographie)
Organisation (cours, TD, évaluation)
Calendrier et documents (cours, TD)
Archives de l'année passée (notemment les examens et les partiels), 2009-2010,2008-2009.

Présentation

Cet enseignement se compose de 24 heures de cours et de 36 heures de TD.

Intégrales généralisées
Objectif: Donner une première approche des intégrales généralisées, en vue de l'étude des séries. On se contentera de l'approche de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment vue en Terminale.
Contenu: Définition d'une intégrale généralisée (pour des fonctions continues par morceaux) convergente ou divergente. Propriétés élémentaires. Intégrales absolument convergentes. Cas des fonctions positives, critères de comparaison. Fonctions de références. Exemples d'intégrales semi-convergentes. Utilisation de l'intégration par parties pour les étudier. Ces points seront abordés en TD. Changement de variables dans les intégrales impropres.
Séries numériques
Objectif: Développer les principales méthodes d'étude des séries numériques réelles ou complexes.
Contenu: Définitions générales. Séries absolument convergentes. Séries à termes positifs, critères de comparaison, séries de références (géométriques, Riemann), critères de Cauchy et de d'Alembert. Utilisation des développements limités pour l'étude de séries. Séries alternées. Produit de séries absolument convergentes. Comparaison entre la convergence des intégrales impropres et des séries. Méthodes de calcul approché de la somme d'une série (en TD).
Suites et séries de fonctions
Objectif: Donner une première approche de la convergence simple et uniforme d'une suite et d'une série de fonction
Contenu: Définition de la convergence simple et de la convergence uniforme d'une suite de fonctions réelles ou complexes. Continuité, continuité uniforme, dérivabilité de la limite d'une suite de fonctions. Théorème de Dini pour des suites de fonctions croissantes sur un intervalle (en TD). Séries de fonctions, convergence simple, convergence uniforme. On s'attachera surtout au cas de la convergence normale. Continuité et dérivabilité de la somme d'une série de fonctions. Interversion des séries et intégrales (notamment, cas où Σ f_n converge simplement vers f et la somme des intégrales de |f_n| est finie).

Bibliographie :

Organisation

Cours : A Saint-Jérôme, Pierlaberto Sicbaldi () assure les cours et les TD. A Aix-Montperrin, Thierry Coulbois ( ) assure le cours et Nicolas Bedaride () assure les TD. L'enseignement a lieu au premier semestre et commence la semaine du 12 septembre 2011.

Lieu	Enseignant	Jour	Heure	Salle
Saint-Jérôme	Pieralberto Sicbaldi	jeudi	9h30-11h	??
		mercredi	8h-10h
		vendredi	10h-11h30
Aix-Montperrin	Thierry Coulbois	lundi	10h - 12h	salle 3
	Nicolas Bedaride	mercredi	10h30-12h
	Nicolas Bedaride	jeudi	8h-9h30

Le premier TD a lieu la semaine du 19 septembre 2011. L'horaire des TD est le suivant :

Évaluation :
La note finale est calculée par la formule suivante à partir de la note de partiel, de devoir à la maison et d'examen:

note finale = max (examen; 1/2 examen + 1/2 contrôle continu)

Calendrier et documents

Semaine du	Cours		TD
Semaine du	Saint-Jérôme	Aix Montperrin	TD
12 septembre		intégrales impropres (ou généralisées) rappels sur les équivalents ordre de grandeur des fonctions définition et exemple de calcul d'intégrales généralisées	Pas de TD
19 septembre		intégrales généralisées de fonctions positives théorèmes de comparaison utilisation des équivalents intégrales de Riemann convergence absolue	Premier TD
26 septembre		intégrales semi-convergentes (exemple de (sin x)/x) équivalence des restes pour les intégrales généralisées convergentes équivalence des intégrales tronquées pour les intégrales divergentes Séries numériques suites arithmétiques suites géométriques
3 octobre		rappels sur les suites définition par récurrence exemple de la suite de Fibonacci démonstration par récurrence suites de Cauchy complétude des nombres réels
10 octobre	Premier partiel, mercredi 12 octobre
10 octobre		Définition des séries sommes partielles restes convergence critère de Cauchy série à termes positifs théorèmes de comparaison séries de termes généraux équivalents exemple des séries de Riemann	Deuxième feuille de TD
17 octobre		règle de D'Alembert, règle de Cauchy Séries absolument convergentes théorème des séries alternées
24 octobre		Pas de cours pour cause de convalescence. Je vous prie de m'en excuser.
24 octobre	Vacances de la Toussaint du jeudi 27 octobre au mercredi 2 novembre
31 octobre
31 octobre
7 novembre		pas de cours lundi 7 novembre
14 novembre		pas de cours lundi 14 novembre
14 novembre	Deuxième partiel, mercredi 16 novembre
21 novembre		Preuves des théorèmes sur les propriétés des limites uniformes: la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue inversion de la limite uniforme et de l'intégrale primitives d'une limite uniforme limite uniforme des fonctions dérivées	TD 3
28 novembre		Lundi 28 novembre à Aix-Montperrin : cours de 8h à 12h (MA303:8h-10h, MA301:10h-12h) Méthodologie pour l'étude des suites de fonctions Séries de fonctions Exemple et définition convergence simple et uniforme norme sup et convergence normale mardi 29 novembre à Aix-Montperrin : cours de 9h à 11h exemple du développement en série entière de l'exponentielle (dérivabilité et calcul de la dérivée)
28 novembre
5 décembre		Exemple de développement en série de Fourier : calcul de la somme de la série numérique Σ1/n^2
12 décembre		Troisième partiel : lundi 12 décembre
19 décembre		Pas de cours
26 décembre	Vacances de Noel du 22 décembre 2011 au 2 janvier 2012
2 janvier 2012	Examen : lundi 9 janvier 2012, 13h30-16h30, (le corrigé de l'examen)
9 janvier
11 juin	2^e session d'examen
18 juin	2^e session d'examen

Création : 9 septembre 2011
URL: http://www.latp.univ-mrs.fr/~coulbois/2011/analyse2/index.html