Algèbre linéaire 2 -- 2012-2013

Algèbre linéaire 2

Licence de Mathématiques 2^e année

Année 2012-2013

Présentation (pré-requis, objectif, contenu, bibliographie)
Évaluation
Organisation (cours, TD)
Calendrier et documents (cours, TD)

Présentation

Réduction des endomorphismes. Rappels sur les polynômes. Anneau des polynômes à coefficients dans R ou C. Formes linéaires, hyperplans. Espace dual, base duale, base antéduale. Orthogonalité. Application transposée, lien avec les matrices. Valeurs propres et sous-espaces propres d'un endomorphisme. Polynôme caractéristique. Théorème de Cayley Hamilton. Endomorphisme diagonalisable, trigonalisable, caractérisation. Réduction simultanée.
Résolution de systèmes linéaires. Méthodes directes pour les systèmes linéaires: rappels sur le pivot de Gauss, factorisation LU, factorisation de Cholesky.
Compléments sur le déterminant. Groupe de permutations d'un ensemble fini, décomposition d'une permutation en produit de cycles disjoints, de transpositions. Signature d'une permutation. Formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n, déterminant sur une base d'un système de vecteurs, changement de base. Déterminant d'une application linéaire, d'une matrice carrée. Caractérisation d'une base, d'un isomorphisme, d'une matrice carrée inversible. Déterminant de la composée de deux endomorphismes, du produit de deux matrices carrées. Développement par rapport à une ligne ou une colonne, cofacteurs et matrice des cofacteurs, déterminant de la transposée d'une matrice carrée. Déterminants extraits et caractérisation du rang d'une matrice. Expression de l'inverse d'une matrice carrée inversible, formules de Cramer.
Formes bilinéaires, formes quadratiques (dans ce cours ou ailleurs)

Bibliographie :

Révisions : Voici des documents sur l'algèbre linéaire niveau L1 qui vous permettront de vous remettre à niveau:
- Cours de R. Herbin (très détaillé, il permet de revoir les notions de base en profondeur)
- Cours/Questions de R. :Rolland
- Le site de B. Ycart (choisir le chapitre puis télécharger le pdf en en-tête)
Réferences bibliographiques pour ce cours (vous pourrez trouver ces livres à la bibliothèque universitaire) ::
- Algèbre Linéaire par J. Grifone (2^e édition), Cepadues-Editions
- Exercices d'algèbre linéaire et bilinéaire par J.-B. Hiriart-Urruty et Y. Plusquellec, Cepadues-Editions
- Cours d'algèbre bilinéaire de G. Letac.
- Algèbre et géométrie MP par D. Guinin et B. Joppin, Bréal
- Algèbre linéaire et bilinéaire: Cours et exercices corrigés par F. Cottet-Emard, De Boeck
- Mathématiques pour le DEUG: Algèbre et Géométrie 2^e année exercices corrigés par D.Prochason, Dunod
- Exercices de mathématiques pour l'agrégation, Algèbre 3 par J.-F. Ruaud et A. Warusfel, Masson
- Géométrie. Cours et exercices corrigés pour le CAPES et l'agrégation par A. Bigard, Masson
- Page web de D. Delaunay
- La bibliothèque d'exos d'A. Bodin
- Les notes de cours sur la page d'O. Debarre.

Évaluation

La note finale de la 1^ère session est calculée à partir des deux notes des examens partiels et de la note à l'examen terminal de la manière suivante :
Note finale = max (Examen; Examen/2 + (Partiel 1 + Partiel 2)/4)
La note de la 2^e session est la note de l'examen de rattrapage.

Organisation

Les enseignants sont Thierry Coulbois et Frédéric Palési à Saint-Charles, Hamish Short à Aix-Montperrin, à Luminy, pour la préparation aux concours des écoles d'ingénieurs à Saint-Charles et George Dloussky en télé-enseignement.
L'enseignement a lieu au premier semestre 2012-2013.

Lieu	Enseignant	Jour	Heure	Salle
Saint-Charles	Thierry Coulbois	mardi	10h-12h	CH7
		mardi	14h-16h	204
		jeudi	10h-12h	LSH504
Saint-Charles	Frédéric Palési	mardi	13h-16h	LSH201
Saint-Charles	Frédéric Palési	jeudi	10h-12h	LSH503
Aix-Montperrin	Hamish Short	jeudi	10h-12h
Aix-Montperrin	Hamish Short	jeudi	13h-16h
Luminy	Ctirad Klimcik
Luminy	Ctirad Klimcik
PCEI Saint-Charles	Christian Faivre	lundi	10h-12h	11
PCEI Saint-Charles	Christian Faivre	mercredi	14h-17h	101

Calendrier et documents

Semaine du	Cours	Documents
16 septembre	Rappels Espaces vectoriels : définitions et exemples, Rⁿ et Cⁿ Familles libres et génératrices, dimension Bases et coordonnées Sous-espaces vectoriels Applications linéaires :définition, noyau, image Matrices associées aux applications linéaires Multiplication d'une matrice avec un vecteur Mulitplication de deux matrices, composition des applications linéaires Somme de matrices et d'applications linéaires Calcul du déterminant des matrices carrées Une matrice est inversible si, et seulement si, son déterminant est non nul	QCM de mise en jambe Première feuille de TD
23 septembre
30 septembre	Valeurs propres et vecteurs propres Définitioon Polynôme caractéristique Racines du polynôme caractéristique et valeurs propres Sous-espaces propres Critère de diagonalisabilité Matrices semblables Changement de bases (PAP^-1)	TD 2
7 octobre		TD 2
14 octobre	Signature des permutations Rappels sur les bijections (des ensembles finis) Définition des permutations Exemple des cycles et des transpositions Décomposition en cycles à supports disjoints Signature Propriétés de la signature	Notes de cours
21 octobre	Premier partiel : jeudi 25 octobre (avec le corrigé)
21 octobre	Déterminant Formes n-linéaires alternées : définition, existence et unicité en dimension n Déterminant de n vecteurs Déterminant d'une matrice nxn det(AB)=det A det B, det A=det PAP^-1 Déterminant d'une application linéaire Inversibilité et déterminant Formule du développement du déterminant Formule de Krammer Déterminants extraits, mineurs Rang et déterminants extraits Formule de la comatrice
28 octobre	Vacances de la Toussaint
4 novembre	Déterminant (suite)	TD 3
11 novembre	Dualité Formes linéaires Hyperplans Espace dual Base duale Transposée Invariance du déterminant par transposition
18 novembre	Polynômes et matrices Algèbre des matrices et des endomorphismes, définition de P(f) et P(A) Lemme des noyaux Sous-espaces caractéristiques Sous-espaces stables et restriction des endomrophismes Trigonalisation Théorème de Cayley-Hamilton Exemple des matrices nilpotentes	TD 4 (dualité)
25 novembre		TD 5 (trigonalisation, polynômes et matrices)
25 novembre	Devoir à la maison : à rendre mardi 27 novembre
2 décembre	Deuxième partiel : jeudi 6 décembre (Corrigé du partiel)
9 décembre
16 décembre
23 décembre	Vacances de Noël
30 décembre	Vacances de Noël
6 janvier 2013	Examen : mardi 8 janvier 2013 de 14h à 16h, amphi Marion à Saint-Charles, amphi A1 à Aix-Montperrin, amphi 9 à Luminy. Et le corrigé de l'examen.
13 janvier
21 juin 2013	Examen de la 2^e session : vendredi 21 juin 2013 de 11h15 à 13h15, amphi Charves à Saint-Charles. Et le corrigé de l'examen.

Dernière modification : 16 octobre 2012
URL: http://www.latp.univ-mrs.fr/~coulbois/2013/alg-lin-2/index.html