Algèbre linéaire 2 -- 2014-2015

Algèbre linéaire 2

Licence de Mathématiques 2^e année

Année 2014-2015

Présentation (pré-requis, objectif, contenu, bibliographie)
Évaluation
Organisation (cours, TD)
Calendrier et documents (cours, TD)
Archives des années passées (notemment les sujets d'examens, partiels et devoir à la maison) 2013-2014,2012-2013,

Présentation

Compléments sur le déterminant. groupe de permutations d'un ensemble fini, décomposition d'une permutation en produit de cycles disjoints, de transpositions. Signature d'une permutation. Formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n, déterminant sur une base d'un système de vecteurs, changement de base. Déterminant d'une application linéaire, d'une matrice carrée. Caractérisation d'une base, d'un isomorphisme, d'une matrice carrée inversible. Déterminant de la composée de deux endomorphismes, du produit de deux matrices carrées. Développement par rapport à une ligne ou une colonne, cofacteurs et matrice des cofacteurs, déterminant de la transposée d'une matrice carrée. Déterminants extraits et caractérisation du rang d'une matrice. Expression de l'inverse d'une matrice carrée inversible, formules de Cramer.
Réduction des endomorphismes. Anneau des polynômes à coefficients dans R ou C. Formes linéaires, hyperplans. Espace dual, base duale. Application transposée, lien avec les matrices. Valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres d'un endomorphisme. Polynôme caractéristique. Théorème de Cayley Hamilton. Endomorphisme diagonalisable, trigonalisable, caractérisation. Réduction simultanée.

Bibliographie :

Révisions : Voici des documents sur l'algèbre linéaire niveau L1 qui vous permettront de vous remettre à niveau:
- Cours de R. Herbin (très détaillé, il permet de revoir les notions de base en profondeur)
- Cours/Questions de R. :Rolland
- Le site de B. Ycart (choisir le chapitre puis télécharger le pdf en en-tête)
Réferences bibliographiques pour ce cours (vous pourrez trouver ces livres à la bibliothèque universitaire) ::
- Algèbre Linéaire par J. Grifone (2^e édition), Cepadues-Editions
- Exercices d'algèbre linéaire et bilinéaire par J.-B. Hiriart-Urruty et Y. Plusquellec, Cepadues-Editions
- Cours d'algèbre bilinéaire de G. Letac.
- Algèbre et géométrie MP par D. Guinin et B. Joppin, Bréal
- Algèbre linéaire et bilinéaire: Cours et exercices corrigés par F. Cottet-Emard, De Boeck
- Mathématiques pour le DEUG: Algèbre et Géométrie 2^e année exercices corrigés par D.Prochason, Dunod
- Exercices de mathématiques pour l'agrégation, Algèbre 3 par J.-F. Ruaud et A. Warusfel, Masson
- Géométrie. Cours et exercices corrigés pour le CAPES et l'agrégation par A. Bigard, Masson
- Page web de D. Delaunay
- La bibliothèque d'exos d'A. Bodin
- Les notes de cours sur la page d'O. Debarre.

Évaluation

La note finale de la 1^ère session est calculée à partir des deux notes des examens partiels et de la note à l'examen terminal de la manière suivante :
Note finale = max (Examen; Examen/2 + (Partiel 1 + Partiel 2)/4)
La note de la 2^e session est la note de l'examen de rattrapage.

Organisation

Les enseignants sont Thierry Coulbois et Paul Mercat à Saint-Charles L'enseignement a lieu au premier semestre 2014-2015.
Les emplois du temps sont disponibles à partir de l'environnement numérique de travail rubrique planning.

Calendrier et documents

Semaine du	Cours	Documents
7 septembre	Exceptionnellement: cours de Thierry Coulbois jeudi 11 septembre, 13h-16h	Premier TD
7 septembre		Premier TD
14 septembre	Vecteurs corps de nombres opérations sur les vecteurs familles libres familles génératrices bases sous-espaces vectoriels
21 septembre	sous-espace vectoriel engendré somme directe dimension de la somme applications linéaires noyau théorème du rang matrice produit de matrices
21 septembre	Rendre le Premier devoir à la maison jeudi 25 septembre. (Corrigé du premier devoir à la maison).
28 septembre	opérations sur les lignes et les colonnes pivot de Gauss calcul du déterminant développement par rapport à une ligne ou une colonne Valeurs propres et vecteurs propres Définition Polynôme caractéristique
5 octobre	Matrices diagonales et bases de vecteurs propres Sous-espaces propres Les sous-espaces propres sont en somme directe Diagonalisation des endomorphismes	Deuxième TD
12 octobre	Premier partiel, jeudi 16 octobre 10h-12h (et son corrigé)
12 octobre	Matrice de changement de base Matrices semblables Matrices diagonalisables
19 octobre	Pas de cours de Thierry Coulbois mardi 21 octobre
19 octobre	algorithme de décision pour diagonaliser les matrices
26 octobre	Vacances de la Toussaint
2 novembre	Permutations La formule du déterminant injections,surjections, bijections bijection réciproque groupe symétrique décomposition d'une permutation en produit de transpositions signature cycles décomposition en cycles à supports disjoints
9 novembre	Rendre le deuxième devoir à la maison jeudi 13 novembre (Corrigé).
9 novembre	Déterminant Forme n-linéaire alternée Exemple du produit scalaire, du produit vectoriel et du produit mixte Antisymétrie Déterminant et volume
16 novembre	L'espace des formes n-linéaires alternées Déterminant de n vecteurs par rapport à une base Déterminant d'un endomorphisme Déterminant d'une matrice Opération sur les lignes et les colonnes Transposition Développement par rapport à une ligne ou une colonne
23 novembre	Deuxième partiel jeudi 27 novembre de 10h à 12h, amphi Lavoisier (Corrigé)	Troisième feuille de TD (déterminants)
23 novembre		Troisième feuille de TD (déterminants)
30 novembre	Mineurs et rangs Formule de la comatrice Trigonalisation Rappel: diagonalisation multiplicités géométriques et algébriques
7 décembre	Matrices et endomorphismes trigonalisables Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé Polynômes et matrices Rappel: définition des polynômes Polynômes de matrices Théorème de Cayley-Hamilton	TD 4 (trigonalisation)
14 décembre
21 décembre	Vacances de Noël
28 décembre	Vacances de Noël
4 janvier 2015	Examen, jeudi 15 janvier 2015 13h-15h, amphi Fabry, Liste des questions de cours et corrigé
11 janvier
22 juin 2015	Examen de la 2^e session, mardi 23 juin 2015 8h30-10h30, amphi Charve, et corrigé incomplet

Création: mardi 3 septembre 2014
URL: http://www.i2m.univ-amu.fr/~coulbois/2015/alg-lin-2/index.html