• Présentation (pré-requis, objectif, contenu, bibliographie)
• Évaluation
• Organisation (cours, TD)
• Calendrier et documents (cours, TD)
• Sujets d'examens de l'an passé

Présentation

• Topologie dans un espace métrique, avec comme exemples importants (Rⁿ, l_p, C([a,b]), C_k([a,b]), L_p en liaison avec le calcul intégral).
  • Définition d'une norme, boules, normes équivalentes. Ouverts, fermés, intérieur, adhérence. Parties denses. Topologie induite. Caractérisation des fermés, de l'adhérence et de la densité, en termes de suites.
  • Limites et continuité, définitions et caractérisation par les suites. Suites extraites, valeurs d'adhérence.
  • Continuité uniforme, fonctions lipschitziennes. Homéomorphismes.
  • Suites de Cauchy, espaces de Banach.
  • Théorème du point fixe.
  • Espaces compacts. Caractérisation par les suites, théorème de Heine. Caractérisation dans un espace vectoriel de dimension finie. Caractérisation par les recouvrements ouverts.
  • Caractérisation des applications linéaires continues, norme d'une application linéaire continue.
  • Connexité, connexité par arcs, composantes connexes.
• Analyse hilbertienne (4 semaines - en liaison avec le cours de calcul numérique et optimisation) Espaces de Hilbert en dimension quelconque, Orthogonalité, Pythagore, projection sur un convexe, projecteur orthogonal, théorème de representation de Riesz, base hilbertienne