Topologie et analyse -- 2015-2016

Topologie et analyse

Licence de mathématiques 3^e année

Année 2015-2016

Présentation (pré-requis, objectif, contenu, bibliographie)
Évaluation
Organisation (cours, TD)
Calendrier et documents (cours, TD)
Archives: 2014-2015, Sujets d'examens 2013-2014

Présentation

Topologie dans un espace métrique, avec comme exemples importants (Rⁿ, l_p, C([a,b]), C_k([a,b]), L_p en liaison avec le calcul intégral).
- Définition d'une norme, boules, normes équivalentes. Ouverts, fermés, intérieur, adhérence. Parties denses. Topologie induite. Caractérisation des fermés, de l'adhérence et de la densité, en termes de suites.
- Limites et continuité, définitions et caractérisation par les suites. Suites extraites, valeurs d'adhérence.
- Continuité uniforme, fonctions lipschitziennes. Homéomorphismes.
- Suites de Cauchy, espaces de Banach.
- Théorème du point fixe.
- Espaces compacts. Caractérisation par les suites, théorème de Heine. Caractérisation dans un espace vectoriel de dimension finie. Caractérisation par les recouvrements ouverts.
- Caractérisation des applications linéaires continues, norme d'une application linéaire continue.
- Connexité, connexité par arcs, composantes connexes.
Analyse hilbertienne (4 semaines - en liaison avec le cours de calcul numérique et optimisation) Espaces de Hilbert en dimension quelconque, Orthogonalité, Pythagore, projection sur un convexe, projecteur orthogonal, théorème de representation de Riesz, base hilbertienne

Bibliographie :

Évaluation

La note finale de la 1^ère session est calculée à partir des notes de devoir à la maison, des deux notes des partiels et de la note à l'examen terminal de la manière suivante :
Note finale = Max ((CC+Partiel+2xExamen)/4;Examen)
La note de la 2^e session est la note de l'examen de rattrapage.

Organisation

Les enseignants sont Guillaume Rond à Luminy, Thierry Coulbois et Luisa Paoluzzi à Saint-Charles. L'enseignement a lieu au premier semestre 2016-2015.

Calendrier et documents

Semaine du	Cours	Documents
6 septembre	Exceptionnellement, à Saint-Charles : cours jeudi 10 septembre, 8h-10h	Premier TD
6 septembre	Limites, continuité Rappels des définitions: limite et continuité Fonctions à plusieurs variables Rappel du calcul des prédicats et du calcul propositionnel Exemple de fonctions sans limites Exemple d'une fonction à deux variables non-continue	Premier TD
13 septembre	Mardi 15 septembre : pas de cours de Thierry Coulbois (le TD de Calcul différentiel est avancé de 13h à 15h)
20 septembre	Convergence simple et convergence uniforme Fonctions lipschitzienne Continuité uniforme Propriétés fondamentales de R : Borne supérieure Segments emboités Suites monotones bornées Équivalence de ces propriétés
27 septembre	Mardi 29 septembre: rendre le devoir à la maison
27 septembre	Espaces métriques Distance Limites et distances Normes Exemple des normes usuelles sur R² Exemple de normes sur les espaces de fonctions
4 octobre	Boules Voisinages Ouverts Continuité et ouverts Normes et distances équivalentes
11 octobre	Contrôle, mardi 13 octobre de 14h à 15h (et le corrigé), Questions de cours susceptibles d'être posées
11 octobre
18 octobre	Ouverts et fermés Intérieur Fermés Caractérisation séquentielle des fermés Intersection de fermés et union finie de fermés Adhérence L'adhérence de A est l'ensemble des limites des suites de points de A Frontière Métrique et topologie induite sur une partie	2^e feuille de TD
25 octobre	Vacances de la Toussaint
1 novembre	Compacité Propriété de Bolzano-Weierstrass Les fermés bornés de R sont compacts (preuve par dichotomie) Un fermé dans un compact est compact Être compact est une propriété intrinsè Propriété de Borel-Lebesgue La propriété de Borel-Lebesgue implique la propriété de Bolzano-Weierstrass
8 novembre	Produit cartésien de deux compacts Dans un espace vectoriel de dimension finie les fermés bornés sont compacts Image continue d'un compact Une fonction continue sur un compact et à valeurs réelles atteind ses bornes Théorème de Rolle Théorème des accroissements finis Théorème de Heine Dans un espace vectoriel de dimension finie, les normes sont équivalentes
15 novembre	Partiel, Questions de cours susceptibles d'être posées et le corrigé
22 novembre	Espaces complets Suites de Cauchy Espaces complets R est complet Fermés dans un complets Espaces des fonctions continues sur un compact Espaces L¹ des fonctions intégrables	3^e feuille de TD
29 novembre	Application contractantes Point fixe des applications contractantes dans un espace complet Exemple de la méthode de Newton
6 décembre	Mardi 8 décembre 2015: rendre le deuxième devoir à la maison	4^e feuille de TD
6 décembre
13 décembre	Contrôle: mardi 15 décembre 9h-10h: liste des questions de cours susceptibles d'être posées
13 décembre
20 décembre	Vacances de Noël
28 décembre	Vacances de Noël
3 janvier 2015	Examen et corrigé
10 janvier	Examen et corrigé
21 juin 2015	Examen de la 2^e session

Sujets d'examens d'il y a deux ans

Premier devoir à la maison (compacité et connexité de SO$_3(\R)$)
Premier partiel
Deuxième partiel
Examen (1^ère session, janvier 2014) et son corrigé
Examen de rattrapage (2^e session, juin 2014)

Création : 8 septembre 2015
URL: http://www.i2m.univ-mrs.fr/~coulbois/2016/topo/index.html