Topologie et analyse -- 2016-2017

Topologie et analyse

Licence de mathématiques 3^e année

Année 2016-2017

Présentation (pré-requis, objectif, contenu, bibliographie)
Évaluation
Organisation (cours, TD)
Calendrier et documents (cours, TD)
Archives:2015-2016, 2014-2015, Sujets d'examens 2013-2014

Présentation

Topologie dans un espace métrique, avec comme exemples importants (Rⁿ, l_p, C([a,b]), C_k([a,b]), L_p en liaison avec le calcul intégral).
- Définition d'une norme, boules, normes équivalentes. Ouverts, fermés, intérieur, adhérence. Parties denses. Topologie induite. Caractérisation des fermés, de l'adhérence et de la densité, en termes de suites.
- Limites et continuité, définitions et caractérisation par les suites. Suites extraites, valeurs d'adhérence.
- Continuité uniforme, fonctions lipschitziennes. Homéomorphismes.
- Suites de Cauchy, espaces de Banach.
- Théorème du point fixe.
- Espaces compacts. Caractérisation par les suites, théorème de Heine. Caractérisation dans un espace vectoriel de dimension finie. Caractérisation par les recouvrements ouverts.
- Caractérisation des applications linéaires continues, norme d'une application linéaire continue.
- Connexité, connexité par arcs, composantes connexes.
Analyse hilbertienne (4 semaines - en liaison avec le cours de calcul numérique et optimisation) Espaces de Hilbert en dimension quelconque, Orthogonalité, Pythagore, projection sur un convexe, projecteur orthogonal, théorème de representation de Riesz, base hilbertienne

Bibliographie :

E. Burroni et J. Penon, La géométrie du caoutchouc, Ellipses, 2000.
G. Christol, A. Cot et C. Marles, Topologie, Ellipses, 1997.
G. Skandalis, Topologie et analyse 3^e année, Dunod, 2004.
J. Dieudonné, Éléments d'analyse, tome I et premier chapitre du tome II, Gauthier-Villars, Paris, 1968.
J. Dixmier, Topologie générale, Presses Universitaires de France, 1981
L. Schwartz, Analyse, tome I, Hermann, Paris, 1993.
G. Auliac et J.-Y. Caby, Topologie et analyse, Edisciences, collection objectif licence

Évaluation

La note finale de la 1^ère session est calculée à partir des notes de devoir à la maison, des deux notes des partiels et de la note à l'examen terminal de la manière suivante :
Note finale = Max ((CC+Partiel+2xExamen)/4;Examen)
La note de la 2^e session est la note de l'examen de rattrapage.

Organisation

Les enseignants sont Anne Pichon à Luminy, Thierry Coulbois et Luisa Paoluzzi à Saint-Charles. L'enseignement a lieu au premier semestre 2016-2017.

Calendrier et documents

Les normes d'un espace vectoriel normé de dimension finie sont équivalentens

Semaine du	Cours	Documents
4 septembre	Exceptionnellement, à Saint-Charles : cours jeudi 8 septembre, 15h-17h amphi Charve	Premier TD
4 septembre	Limites, continuité Rappels des définitions: limite et continuité Rappel du calcul des prédicats et du calcul propositionnel Exemple de fonctions sans limites Suites, suites extraites, suites convergentes et divergentes	Premier TD
11 septembre	Continuité uniforme Fonctions lipschitziennes Écriture décimale des nombres réels Propriétés topologiques du corps des nombres réels Espaces métriques Distance Limite d'une suite Unicité de la limite	Exercices I, II et III de la première feuille de TD
18 septembre	Attention deux cours de Topologie cette semaine à Saint-Charles: mardi 20 septembre de 13h à 15h et jeudi 22 septembre de 8h à 10h	Exercices IV, VI et IX.
	Norme, espaces vectoriels normés La norme euclidienne est une norme (rappel de l'inégalité de Cauchy-Schwarz) Exemples de normes Distance associée à une norme Attention tous les espaces ne sont pas des espaces vectoriels et toutes les distances ne sont pas associées à une norme Espaces topologiques: ouverts Parties d'un ensembe: inclusion, union, intersection, ensemble des parties
	Boules (ouvertes), exemples Ouverts: définition Exemples d'ouverts et de non-ouverts Les intervalles ouverts de R sont ouverts Les boules ouvertes sont ouvertes Une réunion d'ouverts et une intersection finie d'ouverts est ouverte Une topologie est l'ensemble des ouverts Continuité et image réciproque des ouverts
25 septembre	Mardi 27 septembre: le cours de Topologie est remplacé par le cours de Calcul différentiel	Préparer les exercices XII, a/, b/ et d/, ainsi que l'exercice XV. Correction de l'exercice XI en détail. Distance d(x,y)=\|arctan x - arctan y\| sur R U {+oo, -oo}: boules, convergence de la suite de terme général u_n
25 septembre	rendre le premier devoir à la maison
2 octobre	Voisinage Continuité d'une fonction en un point et limite de suites Fermés Caractérisation séquentielle des fermés Intérieur Adhérence Espaces et topologies Normes et distances équivalentes Toutes les normes d'un espace vectoriel de dimension finie sont équivalentes	Exemple de parties ouvertes du plan et de R. Normes sur l'espace des fonctions continues.
9 octobre	Attention deux cours de Topologie cette semaine à Saint-Charles: mardi 11 octobre de 13h à 15h et jeudi 13 octobre de 8h à 10h	Adhérences et intérieures de parties de R et de R². Exercices de démonstrations de topologie élémentaire (l'adhérence de la réunion est égale à la réunion des adhérences). Exercices XV, XVII, XVIII et XXII de la première feuille de TD.
	Distance et topologie sur un produit cartésien Continuité de la distance Exemple d'espaces quotients: la sphère, le tore, le plan projectif Homéomorphisme
	Contrôle, mardi 11 octobre de 14h à 15h. Corrigé du contrôle.
	Deux distances équivalentes définissent les mêmes topologies Distance et topologie induites sur une partie d'un espace métrique
16 octobre	Mardi 18 octobre: le cours de Topologie est remplacé par le cours de Calcul différentiel	Deuxième feuille de TD: applications continues et espaces compacts.
23 octobre	Pas de cours de Topologie à Saint-Charles cette semaine
30 octobre	Vacances de la Toussaint du mercredi 26 octobre au soir au jeudi 3 novembre au matin
6 novembre	Rendre le 2^e devoir à la maison
6 novembre	Topologie d'un espace quotient Homéomorphisme Espace L¹ des fonctions intégrables Espaces compacts Propriété de Bolzano-Weierstrass L'intervalle [0;1] est compact
13 novembre	Partiel, mardi 15 novembre 2016 de 13h à 15h Questions de cours potentielles, Corrigé.
20 novembre	Espaces compacts: Un compact est toujours fermé Fermés dans un compact Les compacts de Rⁿ sont les fermés bornés Produit cartésien d'espace compacts Propriété de Borel-Lebesgue Équivalence des propriétés de Bolzano-Weierstrass et de Borel-Lebesgue Intersections de fermés dans un compact Image continue d'un compact Théorème de Rolle Fonction uniforméments continues (théorème de Heine)
27 novembre	Espaces Complets Suites de Cauchy Un espace compact est complet R est complet L'espace des fonction contines sur un compact à valeur dans un complet est complet pour pour la norme de la convergence uniforme Discussion sur les espaces L^p	Troisième feuille de TD: espaces complets et espaces connexes
4 décembre	Contrôle mardi 6 décembre de 14h à 15h. Corrigé.
4 décembre	Fonctions contractantes Théorème de point fixe Espaces Connexes Définition Intervalles de R Image d'un connexe par une application continue Théorème des valeurs intermédiaires
11 décembre	Semaine de révision: révision mercredi 14 décembre de 9h à 11h amphi Charves
11 décembre	Correction du contrôle, du devoir à la maison, exemple des examens des années passées
18 décembre	Vacances de Noël
25 décembre	Vacances de Noël
1^er janvier 2017	Examen : lundi 9 janvier 2017 de 8h30 à 11h30 en salle de conférence. Liste des questions de cours susceptibles d'être posées et corrigé.
8 janvier
18 juin 2017	Examens de la 2^e session
25 juin 2017	Examens de la 2^e session

Sujets d'examens d'il y a trois ans

Premier devoir à la maison (compacité et connexité de SO$_3(\R)$)
Premier partiel
Deuxième partiel
Examen (1^ère session, janvier 2014) et son corrigé
Examen de rattrapage (2^e session, juin 2014)

Création : 8 septembre 2017
URL: http://www.i2m.univ-mrs.fr/~coulbois/2017/topo/index.html