TP Géogébra

Préparation au Capes de mathématiques

Master MEEF, 1ère année

Mercredi 21 octobre 2020, deux heures en demi-groupe

  1. Premier exercice : La droite d'Euler

    Il y a deux objectifs à cet exercice: 1/ vérifier le théorème de la droite d'Euler en pouvant faire varier les points A, B et C et constater que cet énoncé est correct pour tous les triangles. 2/ Faire une figure lisible: paramétrer les couleurs, l'épaisseur, l'ordre d'apparition des différentes droites et constructions.
    1. Tracer un triangle ABC.
    2. Tracer les hauteurs du triangle et leur point d'intersection: l'orthocentre. En faisant bouger les sommets du triangle vérifiez que les trois hauteurs sont toujours concourantes.
    3. Tracer les médianes et le centre de gravité G du triangle.
    4. Tracer les médiatrices et le centre O du cercle circonscrit.
    5. Tracer le cerle circonscrit au triangle ABC.
    6. Tracer la droite d'Euler et en faisant varier les sommets du triangle vérifier que les points O, G et H sont toujours alignés.
    7. Ajouter des couleurs, choisir une configuration bien lisible et exporter l'image. Créer un fichier qui énonce l'existence de la droite d'Euler en incluant l'image ainsi créée.
    8. Pour aller plus loin :
      1. Tracer le cercle inscrit du triangle et les trois cercles exinscrits.
      2. Tracer le cercle d'Euler qui passe par les milieus des côtés et par les pieds des hauteurs.
      3. Vérifier que le cercle d'Euler coupe les segments [AH], [BH] et [CH] en leur milieu.


  2. Deuxième exercice : Exercice VII de la feuille de TD  1

    1. Afficher le repère avec un quadrillage approprié.
    2. Créer un curseur pour une variable m.
    3. En utilisant l'onglet algèbre tracer la droite Dm d'équation : 3mx+(1-2m)y-3=0.
    4. Faire varier m et observer le point de concours A des droites Dm.
    5. Toujours en variant m deviner l'unique droite passant par A qui n'est pas dans la famille (Dm)m.
    6. Tracer la droite Δm :-4x+my+2=0.
    7. Placer le point Cm d'intersection de Dm et Δm.
    8. Observer que les points Cm sont sur une droite que vous déterminerez.


  3. Troisième exercice : Tangentes communes à deux cercles

    1. Tracer deux cercles extérieurs l'un à l'autre de centre O et O';
    2. Tracer les perpendiculaires à la droite (OO') passant par O et O';
    3. Ces perpendiculaires intersectent les cercles en des points A et A';
    4. Soit Ω le point d'intersection des droites (OO') et (AA');
    5. Soit T et T' les points d'intersections des cercles de diamètres [OΩ] et [O'Ω] avec les deux cercles;
    6. Tracez les tangentes communes (ΩT) et (ΩT').
    Justifiez la construction ci-dessus en utilisant le théorème de Thalès et le cercle circonscrit à un triangle rectangle. Précisez qu'il y a bien quatre tangentes communes aux deux cercles (ce qui découle des deux configurations de Thalès).

  4. Quatrième exercice : En trois dimension

    1. En basculant dans la calculatrice 3D, tracer un tétraèdre quelconque.
    2. Placer le centre de gravité du tétraèdre (point de concours des droites joignant les milieux de deux arêtes opposés et aussi des droites joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée)
    3. Tracer les plans médiateurs des 6 arêtes et constater qu'ils sont concourants en un point O. Tracer la sphère de centre O passant par les sommets.
    4. Les hauteurs d'un tétraèdre sont-elles concourantes ?