Groups and dynamics

Cours du master recherche en mathématiques 2^e année

Premier semestre 2020-2021

Thierry Coulbois et Arnaud Hilion

Programme

This course explore the deep links between Geometric Group Theory and Dynamics. This is a very and successful field of modern mathematics. We will try to go through the work of:

Bass and Serre on free-products and graph of groups;
Rips work on groups acting on real trees and the Imanishi decomposition of system of isometries;
Automorphisms of free groups after Betvinal and Handel work on train-tracks;
Limit objects for free group automorphisms: real trees and laminations.

This will always stay close to hyperbolic geometry and Mapping Class Groups. On the way we may need to study fundamental groups (of graphs and surfaces). We will also keep an eye on Gromov's hyperbolic groups.

Bibliographie

Office hours with a Geometric Group Theorist, Matt Clay and Dan Margalit, published by Princeton University Press. I will follow that book as much as possible for my course. There are errata
Combinatorial Group Theory, Paul Lyndon et Roger Schupp, Springer, 20 LYN
Le livre de base de ce cours pour toute la partie combinatoire des groupes. Une référence pour tous les théoriciens des groupes.
Algebraic topology: an introduction, William S. Massey, Springer, Manuels MAS
La référence incontournable pour tout débutant en topologie algébrique. En plus des définitions de bases on y trouve la preuve de la classification des surfaces de dimension 2. Pour mon cours, il n'est pas nécessaire de s'atarder sur l'homologie.
Introduction to Group Theory, Derek J. S. Robinson, Springer, 20-01 ROB
Un point de vue très différent du Lyndon-Schupp et du Karass-Magnus-Solitar. Il y est plus question de groupes finis, de groupes résolubles, nilpotents, etc. J'aime beaucoup ce livre, même s'il est plutôt en dehors du programme de ce cours.
Arbres, Amalgames, SL₂, Jean-Pierre Serre, Astérisque SMF Séries SMF (voir aussi sa traduction anglaise Trees Springer)
Le livre où il faut apprendre ce que c'est qu'un arbre et comment les groupes agissent sur les arbres.
Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov, Étienne Ghys et Pierre de la Harpe, Birkahauser, 55 GHY
Il y a plusieurs livres exposant la théorie des groupes hyperboliques à la Gromov. Celui-ci ou le suivant, je n'ai pas de préférences marquées...
Notes on word hyperbolic groups, édité par Hamish Short, World Scientific
Metric spaces, convexity and nonpositive curvature, Athanase Papadopoulos, EMS
Géométrie et théorie des groupes, Michel Coornaert, Thomas Delzant et Athanase Papadopoulos, Springer 20 COO
Metric spaces of non-positive curvature, Martin Bridson et André Haefliger, Springer 57 BRI
Même s'il va nettement au delà du projet de ce cours la partie I sur les espaces géodésiques est concise et accessible. La partie III sur les espaces et les groupes $\delta$-hyperboliques est aussi bien faite.
Mapping class group, Nikolai Ivanov, dans Handbook of geometric topology, édité par R. J. Daverman et R. B. Sher, North-Holland
Nettement au-delà de l'objet de ce cours. Pour ceux qui veulent aller plus loin et comprendre les structures hyperboliques sur les surfaces, l'espace de Teichmuller, etc.
Combinatorial group theory, Wilhelm Magnus, Abraham Karrass et Donald Solitar, Dover Publications 20 MAG
Ce livre était la référence du sujet avant l'arrivée du Lyndon-Schupp, il est parfois plus élémentaire que ce dernier. Une très bonne référence en tout cas.
Generators and relations for discrete groups, H.S.M. Coxeter et W.O.J. Moser, Springer-Verlag 20 COX
Hyperbolic Geometry, J. Cannon, W. Floyd, R. Kenyon, W. Parry, in Flavors of Geometry, S. Levy, ed., MSRI pubs. 31, Cambridge Univ. Press
Un article d'introduction à la géométrie hyperbolique très bien fait et disponible en ligne
Three-dimensional geometry and topology Vol.1, William P. Thurston, Princeton University Press, 1997 57 THU
Notes sur la géométrie hyperbolique, Jean-Philippe Préaux, de beaux dessins, des explications claires, des calculs détaillés, tout ce qu'il vous faut pour comprendre le plan hyperbolique et ses isométries. Accessible en ligne à partir de la page de Jean-Philippe Préaux.
John C. Stillwell, Classical topology and combinatorial group theory. Graduate Texts in Mathematics, 72. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980. 55-01 STI
John C. Stillwell, Geometry of surfaces. Universitext. Springer-Verlag, New York, 1992.

Calendrier

Le cours a lieu le mardi de 9h à 12h à la Frumam à Saint-Charles, I offer to zoom all courses for those students who corona-stay home.

mardi 29 septembre	Thierry Coulbois	Free Groups: Words, reduced words, definition Some computations in free groups: cyclically-reduced normal form, no torsion, commutative-transitivity Ping-pong in SL2(Z), (see Johanna Mangahas Office Hours,chapter 5) Playing ping-pong in the Hyperbolic Plane with two loxodromic Möbius transformations Cayley graph of a free group (see Matt Clay's Office Hours* pp 30-33)* Serre's definition of a graph A group acting freely on a tree is free	Some exercices
mardi 6 octobre	Thierry Coulbois	Group acting on trees: A group acting freely on a tree (without inversions) is free: proof (I followed the proof of Dan Margalit Office Hours* pp 50-54 , but warning there is an erratum and even with the erratum...)* Graphs as metric spaces Classification of isometries of trees, axes of loxodromic isometries Parallel with the classification of isometries of the hyperbolic plane Fundamental group of graphs (see section 4.1 of Matt Clay's Office Hours) Subgroup of free groups as fundamental group of graphs (see section 4.2 and 4.3 of Matt Clay's Office Hours) Stallings foldings (see section 4.2 and 4.3 of Matt Clay's Office Hours)	One more exercice
mardi 13 octobre	Thierry Coulbois	An example of subgroup of the free group through foldings (Taken from Matt Clay's Office hours, project 1, p 83) Coverings and subgroups of finite index Dynamics of free group automorphisms : (Matt Clay's Office hours, chapter 6 rather deals with the question of train-tracks, but you will see there Perron-Frobenius theorem) Iterating tribonacci on letters to get infinite words Expansion of free group automorphisms Cooper cancellation bound Iterating tribonacci on trees Twisting the action Trees as metric spaces Renormalization and convergence of the distances R-trees Gromov four points condition (See Moon Ducin's Office hours* pp 180-181)*	Even more exercices
mardi 20 octobre	Thierry Coulbois	Hyperbolic surfaces, the hyperbolic aspect of this course is close to Moon DUCHIN's Office Hours 9.3 Regular 4g-gones in the hyperbolic plane The genus g surface with a hyperbolic structure (g≥2) Fundamental group of a topological space. See Algebraic Topology* of W. MASSEY or online: A. HATCHER's Algebraic Topology, Chapter 1.* paths, loops, homotopies Deformation-retract Seifert - van Kampen Theorem The fundamental group of the surface Sg Free products (again this is covered in details by A. HATCHER's Algebraic Topology, Chapter 1) Universal property Free products as groups of reduced words Free products with amlagamation as groups of reduced words Universal covers Tiling of the hyperbolic plane by regular 4g-gones The Cayley graph of the fundamental group of Sg inside the hyperbolic plane
mardi 8 décembre	Exam and its correction

Page créée mardi 28 septembre 2021. Page créée et maintenue par Thierry Coulbois