Programmes des UE du M1-Maths-TE 


Enseignements

Semestre 1

Semestre 2


Programmes :

Semestre 1

Algèbre et géométrie 8 ECTS

  • Groupes, action de groupes.
  • Anneaux de polynômes en une et plusieurs indéterminées.
  • Corps, extensions de corps.
  • Théorie de Galois.
  • Groupes classiques.

Analyse fonctionnelle et analyse de Fourier 8 ECTS

  • Topologie des espaces métriques (compacité, complétude).
  • Espaces de Banach.
  • Fonctions continues bornées sur un espace métrique.
  • Espaces de Hilbert.
  • Séries de Fourier.
  • Espaces Lp et lp.
  • Transformée de Fourier L1.
  • Parties convexes, fonctions convexes.
  • Théorème de Hahn-Banach, applications.

Mesure, intégration, probabilités 8 ECTS

  • Théorie de la mesure.
  • Intégration sur Rn.
  • Variables aléatoires.
  • Fonction génératrice, fonction caractéristique.
  • Lois des grands nombres.
  • Théorème central limite.

Anglais S1 : 2 ECTS

À préciser.

Maths en TE 1 : Introduction à la Topologie Différentielle 

Partie I : R ́evision du calcul diff ́erentiel dans Rn
Partie II : Vari ́et ́es et applications diff ́erentiables. Espaces tangents
Partie III : Theor`eme de Sard, et applications. Th ́eor`eme de Whitney
Partie IV : Transversalit ́e de vari ́et ́es et d’applications
Partie V : Formes diff ́erentielles. Int ́egration sur les vari ́et ́es et th ́eor`eme de Stokes

Bibliographie : V. Guillemin & A. Pollack, Differential Topology, Prentice-Hall, 1974.

Semestre 2

Algèbre et arithmétique 6 ECTS

  • Structure de l'anneau Z/nZ et de son groupe des inversibles.
  • Fonctions arithmétiques élémentaires.
  • Loi de réciprocité quadratique.
  • Propriétés élémentaires des nombres premiers.
  • Approximations rationnelles des nombres réels.
  • Éléments de théorie algébrique des nombres ou théorie algorithmique des nombres.

Analyse complexe 6 ECTS

  • Fonctions holomorphes.
  • Fonctions méromorphes et applications.

EDP et analyse numérique 6 ECTS

  • EDP elliptiques 1D.
  • EDP paraboliques 1D : l’équation de la chaleur.
  • Transport à vitesse constante 1D.
  • Équation des ondes 1D.
  • Et des TP en python !

Géométrie Différentielle et Topologie 6 ECTS

 Topologie Genérale Separation, produits, compacts, connexes, Espaces quotients,
Classifications des Surfaces Compactes ;
Topologie Algébrique, Homotopie, retractions, Groupe Fondamentale, Revetements,…

Logique et calculabilité : Statistiques  6 ECTS

     VOIR ICI

Processus stochastiques 6 ECTS

  • Espérance conditionnelle.
  • Généralités sur les processus stochastiques.
  • Martingales.
  • Chaı̂nes de Markov.
Introduction aux Equations aux Dérivées Partielles  4 ECTS
1- Exemples d’EDP et méthodes pour la résolution d’équations aux dériveés partielle du seconde ordre à coefficients constants
2- L’équation de Laplace en dimension N : formule de Poisson, principe du maximum, noyau de Green.
3- Equations paraboliques en dimension 1 ( équation de la chaleur)
4- Equation de transport en dimension 1 d’espace
5- Equation des ondes en dimension 1 d’espace introduction aux dimensions 3 et 2 (méthode des moyennes sphériques)
       Référence : Livre de Brézis.

Travail d'Étude et de Recherche 6 ECTS :

C'est théoriquement la dernière UE du M1 : un Mémoire dit Travail d’Etude et de Recherche (TER), à commencer à partir du mois de Janvier dans un domaine choisi par l’étudiant en fonction de la disponibilité des Enseignants-Chercheurs du Master 1. Pour attribuer un TER à un étudiant et choisir un directeur de TER, le Responsable de M1-Maths-TE doit avoir une preuve des compétences de l'étudiant dans la matière envisagée pour le TER. Cette preuve peut être des bonnes notes obtenues aux examens ou éventuellement aux DCC, si l’examen de l'UE de la discipline du TER n'a pas encore été passé. Il est fortement déconseillé de demander un TER si ces conditions ne sont pas remplies. Pour ces raisons il est déconseillé de s'inscrire à l'UE TER auprès du CTES si on est au début de son Master 1 ou si on n'est pas certain d'aboutir à ces conditions avant la période d'attribution (Décembre-Janvier).

Anglais 2 ECTS

À préciser.