\documentclass[leqno]{article}

\usepackage{TD}

\newcommand{\limn}{\lim_{n\to\infty}}
\newcommand{\dsp}{\displaystyle}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\N}{\mathbb N}

\newcounter{i}
\renewcommand{\i}{\stepcounter{i}\text{(\emph{\roman{i}})}\ }
\newcommand{\reseti}{\setcounter{i}{0}}

\renewcommand{\annee}{\oldstylenums{2016}-\oldstylenums{2017}}
\renewcommand{\semestre}{Semestre~2}
\renewcommand{\ue}{Analyse~1}
\renewcommand{\planche}{Planche~1}
\renewcommand{\titreplanche}{Suites numériques}

\begin{document}

\titreTD

\subsection{Propriétés - Suites monotones}

\begin{exo}
  Soient les suites définies, pour tout~$n\geq 1$, par $u_n=\frac{1}{n}$ et
  $v_n=\frac{1}{n^2}$.

  \question Vérifier qu'elles sont bornées.

  \question Vérifier que la suite quotient~$(u_n/v_n)_n$ n'est pas bornée.
\end{exo}

\begin{exop}
  Écrire avec les quantificateurs la définition d'une suite divergente.
\end{exop}

\begin{exo}
  Montrer qu'une suite d'entiers convergente est stationnaire à partir d'un
  certain rang.
\end{exo}

\begin{exop}
  Montrer que toute suite convergente est bornée.
\end{exop}

\begin{exop}
  Montrer que si $(u_n)_n$ est une suite arithmétique de premier terme $a$ et
  de raison $r$, alors $\forall n\in\d N$, $u_n=a+nr$.
\end{exop}

\begin{exop}
  Montrer que si $(u_n)_n$ est une suite géométrique de premier terme $a$ et de
  raison $r$, alors $\forall n\in\d N$, $u_n=ar^n$.
\end{exop}

\begin{exo}
  Soit $(u_n)_n$ une suite géométrique de premier terme $a$ et de raison
  $r\not=1$.  On suppose que $a$ et $r$ sont strictement positifs.

  \question Montrer que $u_n>0,\, \forall n\in\d N$.

  \question Montrer que la suite $\big(\ln(u_n)\big)$ est une suite
  arithmétique de premier terme $\ln(u_n)$ et de raison $\ln(a)$.
\end{exo}

\begin{exop}
  Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $u_n = (-1)^n+\frac{1}{n}$
  n'est pas convergente.
\end{exop}

\begin{exo}\question Ecrire avec les quantificateurs que la suite $(u_n)$
  vérifie $\lim u_n=+\infty$.

  \question En déduire que si $(u_n)$ est une suite réelle qui tend vers
  $+\infty$ et $(v_n)$ est une suite bornée, alors leur somme est une suite qui
  tend vers $+\infty$.
\end{exo}

\begin{exo}
  Montrer que si une suite $(u_n )$ est convergente alors la suite $ (|u_n |)$
  est convergente. La réciproque est-elle vraie ?
\end{exo}

\begin{exo}
  Montrer que la somme d'une suite convergente et d'une suite divergente est
  divergente.
\end{exo}

\begin{exop}
  Montrer que $\dsp{\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}=0}$ en appliquant
  la définition de la convergence et en précisant $N_\varepsilon$ qui
  intervient dans cette définition.
\end{exop}

\begin{exo}
  Les suites suivantes, sont-elles monotones? bornées? convergentes?
  \begin{gather*}
    a_n= n^{(-1)^n}, \quad b_n= \cos\frac{n\pi}{2}, \quad
    c_n=\sin\frac{n\pi}{2}, \quad d_n=\cos \frac{\pi}{n},\\
    e_n=\frac{n^2+2n+1}{n^2-3}, \quad f_n=\frac{n}{2^n}, \quad
    g_n=\frac{2^n}{n!}, \quad h_n=\frac{n!}{n^n}.
  \end{gather*}
\end{exo}

\begin{exop}
  À partir de la définition de la limite d'une suite, démontrer les égalités
  suivantes:
  \begin{displaymath}\reseti
    \i\limn \frac{(-1)^n}{n}=0, \quad \i\limn \frac{2n+1}{n+1}=2, \quad
    \i\limn \ln(\ln n)=+\infty.
  \end{displaymath}
\end{exop}

\begin{exo}
Les suites suivantes sont-elles convergentes?
\begin{displaymath}\reseti
  \i a_n = (-1)^n n, \quad
  \i b_n= 1+\frac{n}{n+1}\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right), \quad
  \i c_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{(-1)^n}.
\end{displaymath}
\end{exo}

\begin{exo}
  \question Montrer que si la suite $(a_n)_n$ est bornée et si la suite
  $(b_n)_n$ vérifie $\dsp\lim_{n\to\infty} b_n=0$, alors
  $\dsp\lim_{n\to\infty} a_n b_n=0$.

  \question Calculer les limites suivantes:
  \begin{displaymath}\reseti
    \i \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n^2+1}\sin(3n+1), \quad
    \i \limn\frac{1+2+\ldots + n}{n^3+1}\cos(n!), \quad
    \i \limn(\sin\sqrt{n+1}-\sin\sqrt{n}).
  \end{displaymath}
\end{exo}

\begin{exo}
  \question Montrer que si $\dsp\limn a_n = l$, alors
  $\dsp\limn \vert a_n\vert =\vert l\vert$.

  \question Montrer que si $a_n\neq 0$ et $\dsp\limn \vert a_n\vert = +\infty$,
  alors $\dsp\limn \frac{1}{a_n}=0$.
\end{exo}

\begin{exop}
  \question Soit $(a_n)$ une suite à termes non nuls et telle que
  $\limn\vert \frac{a_{n+1}}{a_n}\vert = q$. Montrer que si $q<1$, alors
  $\dsp\limn a_n=0$.

  \question Calculer les limites des suites suivantes:
  \begin{displaymath}\reseti
    \i a_n=\frac{2^n}{n!}, \quad
    \i b_n=\frac{2^n n!}{n^n}, \quad
    \i c_n=\frac{(n!)^2}{(2n)!}
  \end{displaymath}
  Pour la $(ii)$, on pourra admettre que
  l'inégalité $$ 1+x \geqslant (2,\!2)^x $$ est vraie pour tout~$x\in[0, 1/3]$.
\end{exop}

\begin{exo}
  Pour tout $n\in\N^*$ on pose
  \begin{displaymath}
    u_n=\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\frac{n}{n^2+3}+\dots + \frac{n}{n^2+n}
  \end{displaymath}
  Démontrer que pour tout $n\in\N^*$ on a
  $\frac{n^2}{n^2+n}\leqslant u_n\leqslant \frac{n^2}{n^2+1}$.  En déduire la
  convergence de la suite $(u_n )_n$.
\end{exo}

\begin{exo}
  Pour tout $n\in\N^*$ on pose
  \begin{displaymath}
    u_n=\frac{\sin(1)}{n^2}+\frac{\sin(2)}{n^2}+\frac{\sin(3)}{n^2}+\dots
    +\frac{\sin(n)}{n^2}.
  \end{displaymath}
  En encadrant $u_n$, démontrer que la suite $(u_n )_n$ converge.
\end{exo}

\begin{exo}[La constante d'Apéry]
  Soit, pour tout $n\in\N^*$,
  \begin{displaymath}
    u_n=\frac{1}{1^3} +\frac{1}{2^3} +\dots +\frac{1}{n^3}.
  \end{displaymath}

  \question Déterminer la monotonie de la suite $(u_n )_n$

\question Montrer que pour tout $n\in\N^*$ on a $u_n\leqslant 2-\frac{1}{n}$.

\question Justifier que la suite $(u_n )_n$ converge. Que peut-on dire de sa
limite ?
\end{exo}

\begin{exop}
  Soient $(u_n )_n$ et $(v_n )_n$ les suites définies tout $n\in\N^*$ par
  $u_n=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots +\frac{1}{n! }$ et
  $ v_n=u_n+\frac{1}{n!}$.

  \question Démontrer que $(u_n )_n$ et $(v_n )_n$ sont adjacentes.

  \question En déduire que $(u_n )_n$ et $(v_n )_n$ convergent vers une même
  limite.

  \question En calculant $u_{10}$ et $v_{10}$ donner un encadrement de la
  limite commune de ces deux suites.
\end{exop}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Calculs de limites}

\begin{exop}
  Posons $ u_2=1-\frac{1}{2^2}$ et pour tout entier $n\geqslant 3$,
  \begin{displaymath}
    u_n=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdots
    \left(1-\frac{1}{n^2}\right).
  \end{displaymath}
  Calculer $u_n$. En d{é}duire que l'on a $\lim{u_n}=\dfrac{1}{2}$.
\end{exop}

\begin{exop}
  Déterminer les limites lorsque $n$ tend vers l'infini des suites ci-dessous;
  pour chacune, préciser en quelques mots la méthode employée.

  \question
  $\dsp -1\;;~\frac{1}{2}\;;~-\frac{1}{3}\;;~ \ldots\;;~\frac{(-1)^{n}}{n}\;;~
  \ldots$

  \question $3/1$; $6/4$; $9/7$; $\ldots$; $3n/(3n-2)$; $\ldots$

  \question $0{,}31\;;~0{,}311\;;~\ldots\;;~0{,}311\cdots1\;;~\ldots$

  \question $\dsp\frac{(n+3)(n+4)}{n^3}$

  \question $\dsp\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots+\frac{n-1}{n^2}$

  \question $\dsp\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{n^4}$

  \question $\dsp\biggl\lbrack \frac{1+3+5+\cdots+(2n+1)}{n+1} -
  \frac{2n-1}{2}\biggr\rbrack$

  \question $\dsp\frac{n-(-1)^n}{n+(-1)^n}$

  \question $\dsp\frac{4^{n+1}+3^{n+1}}{4^n + 3^n}$

  \question $\dsp\bigl(1+1/2+1/4+1/8+\cdots+1/2^n\bigr)$\quad puis\quad
  $\dsp 2\sqrt{2}\;;~2\sqrt{2\sqrt{2}}\;;~ 2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}\;;~\ldots$

  \question $\dsp\biggl(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\cdots +
  \frac{(-1)^n}{3^n} \biggr)$

  \question $\bigl( \sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}\bigr)$

  \question $\dsp\frac{n^2\sin({\rm e}^n)}{n+n^3}$

  \question Démontrer la formule $\dsp 1+2^2+3^2+\cdots+n^2 =
  \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)$; en déduire
  $\dsp\lim_{n \to\infty} \frac{1+2^2+3^2+\cdots+n^2}{n^3}$.
\end{exop}

\begin{exo}
  Calculer les limites suivantes:
  \begin{gather*}\reseti
    \i \limn\frac{(n+1)^2}{2n^2}, \quad
    \i \limn\frac{(n+1)^2-(n-1)^2}{(n+1)^2+(n-1)^2}, \quad
    \i \limn\frac{\sqrt{n^2+1}}{n+1}, \quad
    \i \limn \frac{n+\cos n}{3n+\sin n},\\
    \i \limn \frac{4\cdot 3^{n+1}+2\cdot 4^n}{5\cdot 2^n+ 4^{n+2}}, \quad
    \i \limn \frac{1+2+\ldots +n}{n+2}-\frac{n}{2}, \quad
    \i \limn\frac{1+4+7+\ldots+ (3n-2)}{n^2},\\
    \i \limn \frac{1-2+3-4+\ldots-2n}{\sqrt{n^2+1}}, \quad
    \i \limn\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2^n}}
                     {1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\ldots + \frac{1}{3^n}}.
  \end{gather*}
\end{exo}

\begin{exo}
  Calculer les limites des suites suivantes:
  \begin{gather*}\reseti
    \i a_n=n-\sqrt{n^2+5n}, \quad
    \i b_n= \sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n}, \quad
    \i c_n=\sqrt{n^4+n^2}-\sqrt{n^4-n^2},\\
    \i d_n=\frac{\sqrt{n^2+5}-n}{\sqrt{n^2+2}-n}, \quad
    \i e_n=\frac{\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}}
                   {\sqrt{n+1}-\sqrt{n}},\quad
    \i f_n=\sqrt[3]{n(n+1)^2}-\sqrt[3]{n(n-1)^2},\\
    \i g_n=\frac{n}{\sqrt[3]{8n^3-n} -n}, \quad
    \i h_n=n(\sqrt[3]{n^3+n}-n).
  \end{gather*}
\end{exo}

\begin{exo}
  Calculer les limites des suites suivantes en appliquant le théorème des
  gendarmes:
  \begin{gather*}\reseti
    \i a_n=\sqrt[n]{2\cdot 3^n+4\cdot 7^n}, \quad
    \i b_n=\sqrt[n]{3n+\sin n}, \quad
    \i c_n = \sqrt[n]{2n+\frac{(-1)^n}{n}}, \quad
    \i d_n = \sqrt[n]{\frac{3^n+2^n}{5^n+4^n}},\\
    \i e_n = \sqrt[n]{2n^3-3n^2+15}, \quad
    \i f_n = \sqrt[n]{1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}}, \quad
    \i g_n = \sqrt[n]{1^k+2^k+\ldots+n^k}.
  \end{gather*}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Suites extraites. Valeurs d'adhérence. Limite sup, limite inf.}

\begin{exop}
  Soit $(u_n)_{n\in\N}$ une suite de $\R$. Que pensez-vous des propositions
  suivantes:

  \question Si $(u_{n})_n$ converge vers un réel $l$ alors $(u_{2n})_n$ et
  $(u_{2n+1})_n$ convergent vers $l$.

  \question Si $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$ sont convergentes, il en est de
  même de $(u_{n})_n$.

  \question Si $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$ sont convergentes, de même limite
  $l$, il en est de même de $(u_{n})_n$.
\end{exop}

\begin{exo}
  Soit $q$ un entier supérieur ou {é}gal {à} $2$. Pour tout $n\in\N$, on pose
  $u_n=\cos{\dfrac{2n\pi}{q}}$.

  \question Montrer que $\forall n \in \N,\, u_{n+q}=u_n$.

  \question Calculer $u_{nq}$ et $u_{nq+1}$. En d{é}duire que la suite $u_n$
  n'a pas de limite.
\end{exo}

\begin{exop}[Calcul des valeurs d'adhérence d'une suite]

  \question Calculer les valeurs d'adhérence, la limite inf et la limite sup de
  la suite $(u_n)_n$ définie par

  \sousquestion $u_n=5+\frac{\sqrt{n}\sin(n)}{2n^2} + (-1)^{n^2+1}$.

  \sousquestion $u_n=(-1)^n (1+\frac{1}{n})$.

  \sousquestion $u_n=\cos(\frac{n\pi }{3})$. Comparer l'ensemble des termes
  (valeurs) de cette suite avec l'ensemble de ses valeurs d'adhérence.

  \sousquestion $u_n=\frac{7n}{11}-E(\frac{7n}{11})$. Comparer l'ensemble des
  termes (valeurs) de cette suite avec l'ensemble de ses valeurs d'adhérence.

  \question Introduire la notion de valeur d'adhérence pour une suite dans
  $\C$. Déterminer les valeurs d'adhérence de la suite complexe $(z_n)$ définie
  par

  \sousquestion
  $z_n=i^n+\big(\frac{1+i}{2}\big)^n+\big(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\big)^{3n+1}$

  \sousquestion $z_n = (\frac{1+i\sqrt{3}}{2})^n + n(-1+i^n) + \frac 1{ n^2}$.
\end{exop}

\begin{exo}
  Soit $(u_n )_n$ est une suite réelle croissante qui admet une suite extraite
  majorée. Montrer que $(u_n )_n$ est majorée (donc convergente).
\end{exo}

\begin{exop}
  En utilisant des suites extraites, établir la divergence des suites
  suivantes: $u_n=n^{-1+(-1)^n }$, $v_n=\cos(\pi\sqrt{n})$,
  $w_n=\sqrt{n}-E(\sqrt{n})$
\end{exop}

\begin{exop}
  Montrer qu'une suite de nombres réels $(u_n )_n$ est non majorée si et
  seulement si $(u_n )_n$ admet une suite extraite qui diverge vers $+\infty$.
\end{exop}

\begin{exo}
  Soit $(u_n)_n$ une suite de nombres réels telle que les suites extraites
  $(u_{2n})_n$, $(u_{2n+1})_n$ et $(u_{3n})_n$ convergent. Montrer que la suite
  $(u_n)_n$ converge.
\end{exo}

\begin{exo}
  Soient $(u_n )_n$ et $(v_n )_n$ les suites définies par
  $u_n=\frac{n+1}{n} \cos(\frac{n\pi}{2})$ et
  $v_n=\frac{n-1}{n} \sin(\frac{n\pi}{2})$.  Calculer les limites supérieures
  et inférieures des suites $(u_n )_n$, $(v_n)_n$ et $(u_n+v_n )_n$.
\end{exo}

\begin{exo}
  Déterminer les limites supérieures et inférieures des suites $(u_n )_n$ et
  $(v_n )_n$ définies par $\dsp u_n = (-1)^n+\frac{1}{n+1}$ et
  \begin{displaymath}
    v_n = \begin{cases}\dsp
      \left(1+\frac{1+(-1)^p}{p}\right)^p &\text{si $n=2p$,}\\[3ex]\dsp
      \left(1+\frac{1}{p}\right)^p &\text{si $n=2p+1$.}
    \end{cases}
  \end{displaymath}
\end{exo}

\begin{exo}
  Montrer que pour toutes suites réelles bornées $(u_n )_n$ et $(v_n )_n$ on a
  \begin{displaymath}
    \limsup_{n\to\infty} (u_n+v_n )\leqslant
    \limsup_{n\to\infty}(u_n)+\limsup_{n\to\infty} (v_n ).
  \end{displaymath}
  Est-ce que cette inégalité reste vraie pour les suites non-bornées? Attention
  au cas $\dsp{\limsup_{n\to\infty}(u_n )=\infty}$,
  $\dsp{\limsup_{n\to\infty}v_n =-\infty}$.
\end{exo}

\begin{exo}
  \question Soit $(u_n)$ une suite convergente de $\R$ et soit $l$ sa limite.

  \sousquestion Montrer que si $\{n\in\N \mid u_n<l\}$ est infini, alors
  $(u_n)_n$ admet une suite extraite strictement croissante.

  \sousquestion Montrer que si $\{n\in\N \mid u_n>l\}$ est infini, alors
  $(u_n)_n$ admet une suite extraite strictement décroissante.

  \sousquestion Que peut-on dire de la suite $(u_n)$ si les deux ensembles
  $\{n\in\N \mid u_n<l\}$ et $\{n\in\N \mid u_n>l\}$ sont finis~?

  \question Montrer que toute suite dans $\R$ admet une suite extraite
  monotone.

  \question Soit $(u_n)$ une suite dans $\R$. Montrer que toute valeur
  d'adhérence de $(u_n)_n$ est la limite d'une suite extraite monotone.
\end{exo}

\begin{exo}
  Déterminer les limites inférieures et supérieures de la suite $(u_n )_n$
  définie pour tout $n\in\N^*$ par $u_1=0$, $u_{2n}=\frac{u_{2n-1}}{2}$ et
  $u_{2n+1}=\frac{1}{2}+u_{2n}$.
\end{exo}

\begin{exo}[L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite bornée]
  Soit $(u_n)_n$ une suite bornée et $(v_n)_n$ une suite convergente dont tous
  les termes sont des valeurs d'adhérence de $(u_n)_n$. Montrer que
  $\lim_{n\to\infty} v_n$ est aussi une valeur d'adhérence de $(u_n)_n$.
\end{exo}

\begin{exo}
  Soient $(u_n)_n$, $(v_n)_n$ deux suites dans $\mathbb{K}$ (où $\mathbb{K}$
  désigne l'un des corps $\R$ ou $\C$). Notons par $A$ (respectivement $B$)
  l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)_n$, respectivement $(v_n)_n$. En
  utilisant les suites $(u_n)_n$, $(v_n)_n$ construire une suite $(w_n)_n$ dont
  l'ensemble des valeurs d'adhérence soit $A\cup B$.
\end{exo}

\begin{exo}[Suites bornées denses dans un intervalle]\label{dense}
  Soit $a\in {]0,\infty[}$. Pour $x\in\R$ posons
  $\varphi_a(x):=\min\{x- k a\mid k\in\Z,\, ka\leqslant x\}\in[0,a[$.

  \question Remarquer que $\varphi_1(x)=x-E(x)$, puis que
  $\dsp\varphi_a(x)=a\left(\frac{x}{a}-E\left(\frac{x}{a}\right)\right)$.

  \question Supposons que $a\in \Q$.

  \sousquestion Montrer que l'ensemble $V$ des valeurs de l'application
  $\N\to [0,a[$ définie par $n\mapsto \varphi_a(n)$ est fini. Préciser le
  cardinal de cet ensemble.

  \sousquestion Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite
  $(\varphi_a(n))_n$ est l'ensemble fini $V$.

  \sousquestion Donner un exemple de suite bornée dans $\R$ qui a exactement
  \the\year{} valeurs d'adhérence.

  \question Supposons que $a\in\R\setminus\Q$.

  \sousquestion Montrer que l'application $\N\to [0,a[$ définie par
  $n\mapsto \varphi_a(n)$ est injective.

  \sousquestion Montrer que la suite $(\varphi_a(n))_n$ admet une suite
  extraite convergente dans $[0,a]$.

  \sousquestion Montrer que pour tout $\varepsilon>0$ il existe $m$, $n\in\N$
  tels que $0<|\varphi_a(m)-\varphi_a(n)|<\varepsilon$.

  \sousquestion l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite
  $(\varphi_a(n))_n$ est $[0,a]$.

  \question Préciser l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $(u_n)_n$
  définie par $u_n=\sin(n)$.

  \question Préciser l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $(v_n)_n$
  définie par $v_n=\tan(n)$.
\end{exo}

\begin{exo}[Suite bornée telle que $\lim_{n\to\infty} (u_{n+1}-u_n) = 0$]
  \question Soit $(u_n)_n$ une suite bornée de $\R$ telle que
  $\lim_{n\to\infty} (u_{n+1}-u_n)=0$.  Montrer que l'ensemble des valeurs
  d'adhérence de $(u_n)_n$ co\"{i}ncide avec l'intervalle
  $\dsp{\bigl[\liminf_{n\to\infty} u_n,\limsup_{n\to\infty} u_n\bigr]}$.

  \question Donner un exemple d'une suite suite bornée {\it et divergente}
  $(u_n)_n$ de $\R$ telle que $\dsp{\lim_{n\to\infty} (u_{n+1}-u_n)=0}$.
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Suites récurrentes}

\begin{exop}
  Soit la suite $(u_n)_n$ définie par récurrence par: $u_0 > 2$,
  $u_{n+1} = u^2_n - 2$.

  \question Montrer que $u_n >2$ pour tout $n\in\N$.

  \question On suppose que la suite $(u_n)_n$ converge. Quelle est sa limite
  $l$ ?

  \question Montrer que la suite $(u_n)_n$ est croissante.

  \question En déduire la nature de la suite $(u_n)_n$ (convergente ou pas).
\end{exop}

\begin{exo}
  Soit $f:\R\to\R$ l'application définie par $f(x)=\arctan x$.

  \question Montrer que $f$ a un seul point fixe $x_0$ et préciser ce point.

  \question Est-ce que $f$ est une contraction?

  \question Montrer que pour tout $x\in\R$ la suite récurrente $(u_n)_n$ dans
  $\R$ définie par $u_0=x$, $u_{n+1}=f(u_n)$ converge vers $x_0$.
\end{exo}

\begin{exo}
  Soient $a$, $b\in\R$ avec $a<b$ et $f : [a,b] \to [a,b]$ continue et
  croissante.

  \question Montrer que la suite récurrente définie par $u_0 = b$ et
  $u_{n+1} = f(u_n)$, est décroissante.

  \question En déduire que la suite $(u_n)_n$ est convergente.
\end{exo}

\begin{exo}[Méthode de Héron]
  Soit $a>0$. On définit la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ par $u_0$ un réel
  vérifiant $u_0>0$ et par la relation
  \begin{displaymath}
    u_{n+1}= \frac12 \left( u_n+\frac{a}{u_n}\right).
  \end{displaymath}
  On se propose de montrer que $(u_n)_n$ tend vers $\sqrt a$.

  \question
  Montrer que
  \begin{displaymath}
    u_{n+1}^2-a = \frac{(u_n^2-a)^2}{4{u_n}^2}.
  \end{displaymath}

  \question Montrer que si $n\geqslant 1$ alors $u_n \geqslant \sqrt a$ puis
  que la suite $(u_n)_{n\geqslant 1}$ est décroissante.

  \question En déduire que la suite $(u_n)_n$ converge vers $\sqrt a$.

  \question En utilisant la relation
  ${u_{n+1}}^2-a= ({u_{n+1}}-\sqrt{a})({u_{n+1}}+\sqrt{a})$ donner une
  majoration de ${u_{n+1}}-\sqrt{a}$ en fonction de ${u_{n}}-\sqrt{a}$.

  \question Si $u_1-\sqrt a \leqslant k$ et pour $n\geqslant 1$ montrer que
  \begin{displaymath}
    u_n - \sqrt a \leqslant 2\sqrt a \left( \frac k {2\sqrt
        a}\right)^{2^{n-1}}.
  \end{displaymath}

  \question Application : Calculer $\sqrt{10}$ avec une précision de 8 chiffres
  après la virgule, en prenant $u_0 = 3$.
\end{exo}

\begin{exo}[Variante de la méthode de Héron]
  Soit $a>0$. On définit la suite $(v_n)_{n\geqslant 0}$ par $v_0$ un réel
  vérifiant $u_0>\sqrt{a}$ et par la relation
  \begin{displaymath}
    v_{n+1}= \frac13 \left( 2v_n+\frac{a}{v_n}\right).
  \end{displaymath}

  \question Montrer que
  \begin{displaymath}
    v_{n+1}-\sqrt{a}= \frac{2}{3v_n}\Big(v_n - \sqrt{a}\Big)\Big(v_n -
    \frac{\sqrt{a}}2\Big).
  \end{displaymath}

  \question En déduire que~$v_n> \sqrt{a}$ pour tout~$n\geqslant 0$.

  \question Montrer que~$(v_n)_n$ est décroissante.

  \question En déduire que la suite $(v_n)_n$ converge vers $\sqrt a$.

  \question Soit~$n\geqslant 0$. Donner une majoration de ${v_{n+1}}-\sqrt{a}$
  en fonction de ${v_{n}}-\sqrt{a}$.

  \question En déduire que
  \begin{displaymath}
    v_n - \sqrt{a} \leqslant (v_0-\sqrt{a}) \Big(\frac23\Big)^{n}.
  \end{displaymath}

  \question Application avec la calculatrice : calculer $\sqrt{8}$ avec une
  précision de 5 chiffres après la virgule, en prenant $v_0 = 3$.
\end{exo}

\begin{exo}
  Soit $f:\R\to\R$ définie par $f(x)=x+\sin(x)$.

  \question Faites le graphe de $f$,

  \question Montrer que $f([0,\pi])=[0,\pi]$.

  \question Préciser l'ensemble des points fixes de $f$.

  \question Soit $k\in\Z$. Montrer que pour tout $x\in [2k\pi, (2k+1)\pi]$ on a
  $x\leqslant f(x)\in [2k\pi, (2k+1)\pi]$ et pour tout
  $x\in [(2k+1)\pi, (2k+2)\pi]$ on a
  $x\geqslant f(x)\in[(2k+1)\pi, (2k+2)\pi]$.

  \question Montrer que pour tout $x\in\R$ la suite récurrente $(u_n(x))$
  associée à $f$ de terme initial $u_0(x)=x$ est convergente.

  \question Étudier l'application $F:\R\to\R$ donnée par
  \begin{displaymath}
    F(x):=\lim_{n\to\infty} u_n(x).
  \end{displaymath}
\end{exo}

\begin{exo}
  Soit $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs. On définit les
  suites $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ par $u_0 =a$, $v_0 =b$, et pour tout entier
  $n\geqslant 0$ les relations $u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n +v_n)$,
  $v_{n+1} = \frac{1}{2}(u_{n+1} +v_n)$.

  \question Montrer que pour tout $n\in\N$, les nombres $u_n$ et $v_n$ sont
  positifs et inférieurs au $\max(a,b)$.

  \question Établir une relation simple entre $u_{n+1}- v_{n+1}$ et
  $u_n - v_n$, et en déduire l'expression de $u_n - v_n$ en fonction de $n$.

  \question Montrer que les suites $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ ont une limite
  commune $l$.

  \question Étudier la suite $(u_n + 2v_n)_n$ et en déduire la valeur de $l$.
\end{exo}

\begin{exo}
  Soient $a$, $b\in\R$ tels que $0<a<b$. Posons $a_0=a$, $b_0=b$ et pour
  $n\geqslant 0$
  \begin{displaymath}
    a_{n+1}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n},\, b_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+b_n).
  \end{displaymath}

  \question Montrer que les suites $(a_n)_n$ et $(b_n)_n$ convergent et ont la
  même limite $l$ que l'on calculera en fonction de $a$ et de $b$.

  \question Montrer que pour tout $n \in\N$ on a
  \begin{displaymath}
    b_{n+1}-a_{n+1}=\frac{(b_n-a_n )^2}{2(a_n+b_n )}.
  \end{displaymath}
  En déduire que pour tout $n \geqslant 0$ on a
  $0\leqslant (b_{n+1}-a_{n+1})\leqslant \frac{(b_n-a_n)^2}{4a}$ et
  $(b_n-a_n)\leqslant 4a \left( \frac{b-a}{4a}\right)^{2^n}$.

  \question Application: trouver une valeur approchée de $\sqrt{2}$ à $10^{-4}$
  près.

  \question Pour $a_0=3$, $b_0=5$ calculer les valeurs exactes de $a_2$ et
  $ b_2$ et en déduire un encadrement de $\sqrt{15}$ par deux rationnels.
\end{exo}

\begin{exo}
  On considère la suite $(u_n )_n$ définie par $u_0=0,5$ et pour tout $n\in\N$
  $u_{n+1}=\frac{1}{n+2}{e^{u_n }}$.  Montrer par récurrence que pour tout
  $n\in\N$ on a $0<u_n\leqslant 1$. En déduire que pour tout $n\in\N$ on a
  $u_{n+1}\leqslant\frac{1}{(n+2)}$, puis la convergence de $(u_n )_n$.
\end{exo}

\begin{exo}
  On considère la suite $(u_n )_n$ définie par $u_0=5$ et pour tout $n\in\N$
  $u_{n+1}=2-e^{-u_n }$.  Démontrer par récurrence que $(u_n )_n$ est positive
  et décroissante. Conclure...
\end{exo}

\begin{exop}[Récurrences d'ordre 2] Soient $a\in\R$, $b\in\R\setminus\{0\}$ et
  $(u_n)$ une suite dans $\R$ satisfaisant la relation de récurrence
  \mbox{$u_{n+2}=a u_{n+1} + b u_n$}.  {\it L'équation caractéristique}
  associée à cette relation de récurrence est \mbox{$r^2-ar-b=0$}.

  \question Montrer que:

  \sousquestion La suite $(u_n)_n$ est déterminée par les deux premiers termes
  $u_0$, $u_1$.

  \sousquestion Si l'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes
  $r_1$, $r_2$, alors le terme général de la suite $(u_n)_n$ est donné par
  $u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$, où $\lambda$, $\mu$ sont des constantes
  réelles.

  \sousquestion Si $r_0$ est une racine double de l'équation caractéristique,
  alors le terme général de la suite $(u_n)_n$ est donné par
  $u_n=(\lambda +\mu n) r_0^n$, où $\lambda$, $\mu$ sont des constantes
  réelles.

  \sousquestion Si l'équation caractéristique a deux racines complexes
  $r_1=\rho e^{i\theta}$, $r_1=\rho e^{-i\theta}$ alors le terme général de la
  suite $(u_n)_n$ est donné par
  $u_n=\rho^n(\lambda \cos(n\theta)+\mu \sin(n\theta))$, où $\lambda$, $\mu$
  sont des constantes réelles.

  \question Dans chaque cas déterminer les constantes $\lambda$, $\mu$ en
  fonction de $u_0$, $u_1$. {\it Indication: Si l'équation caractéristique a
    deux racines complexes et $\rho=1$, utiliser l'exercice \ref{dense}.}

  \question Dans chaque cas étudier la convergence de la suite $(u_n)_n$.

  \question Application: Soit $(u_n)_n$ une suite de Fibonacci, donc une suite
  qui satisfait la relation récurrence $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$. Donner la formule
  du terme général en fonction des termes initiaux $u_0$, $u_1$. Pour quelles
  paires $(u_0,u_1)\in\R^2$ la suite de Fibonacci associée est convergente?
\end{exop}

\begin{exo}
  On considère la suite récurrente définie par $u_{n+1}=f(u_n )$ où
  $f(x)=x^2+\frac{3}{16}$ et $u_0\geqslant 0$.

  \question Étudier $f $ et le signe de $f(x)-x$. Quelles sont les limites
  possibles de $(u_n )_n$~?

  \question On suppose de plus que $u_0\leqslant 0,25$. Montrer que
  $u_n\in [0;0,25]$ pour tout $n\in\N$, puis que $(u_n )_n$ est
  croissante. Conclure.

  \question On suppose cette fois que $u_0\in[0,25 ;0,75]$. Montrer que
  $(u_n )_n$ est décroissante et minorée. Conclure.

  \question On suppose cette fois que $u_0>0,75$. Montrer que $(u_n )_n$ est
  croissante. Conclure.
\end{exo}

\begin{exo}
  Soit $f:\R_+^*\to\R_+^*$ définie par $f(x)=1+\frac{2}{x}$. On considère la
  suite récurrente définie par $u_{n+1}=f(u_n )$ et $u_0=1$.

  \question Montrer que l'intervalle $[1,3]$ est stable par $f$. Que peut-on en
  déduire pour la suite $(u_n )_n$ ? Quel est le sens de variation de $f$ sur
  l'intervalle $[1,3]$ ?

  \question Montrer que la suite $(u_{2n})$ est croissante et que la suite
  $(u_{2n+1})$ est décroissante.

  \question En déduire que $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont convergentes et
  déterminer leur limite respective.

  \question Quelle est la nature de la suite $(u_n )_n$ ?
\end{exo}

\begin{exop}[suite arithmético-géométrique]
  Soit la suite $(u_n )$ définie par $u_{n+1}=au_n+b$ où
  $a\in\R\setminus\{0 ,1\}$ et $b\in\R$.

  \question Quelle est la seule limite possible $l$ de la suite $(u_n )_n$?

  \question Soit $(v_n )_n$ la suite définie par $v_n=u_n-l$. Démontrer que
  $(v_n)_n$ est géométrique. En déduire la convergence de la suite $(u_n )_n$.
\end{exop}

\begin{exo}
  Soient $a$ et $b$ deux réels, $a<b$. On considère la fonction
  $f:\lbrack a,b\rbrack\longrightarrow \lbrack a,b\rbrack$, supposée continue
  et monotone, et une suite récurrente $(u_n)_n$ définie par :
  \begin{displaymath}
    u_0\in [a,b]\text{ et }\forall n\in\N,\, u_{n+1}=f(u_n).
  \end{displaymath}

  \question On suppose que $f$ est croissante. Montrer que $(u_n)_n$ est
  monotone et en déduire sa convergence vers une solution de l'équation
  $f(x)=x$.

  \question Application:
  \begin{displaymath}
    u_0=4 \text{ et } \forall n\in\N,\, u_{n+1}=\frac{4u_n+5}{u_n+3}.
  \end{displaymath}

  \question On suppose que $f$ est décroissante. Montrer que les suites
  $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$ sont monotones et convergentes.

  \question Application :
  $u_0=\frac{1}{2} \text{ et } \forall n\in\N,\, u_{n+1}=(1-u_n)^2$.
  Calculer les limites des suites $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$.
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Suites de Cauchy}

\begin{exo}
  Soit $(u_n)_n$ une suite dans $\R$ telle que la suite $(v_n)_n$ de terme
  général $\dsp{v_n=\sum_{k=0}^{n-1} |u_{k+1}-u_k|}$ est bornée. Montrer que
  $(v_n)_n$ et $(u_n)_n$ sont convergentes.
\end{exo}

\begin{exo}
  Montrer en utilisant le critère de Cauchy que la suite
  $u_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}$ est divergente.
\end{exo}

\begin{exo}
  On considère une suite de nombres réels $(u_n)_n$ tels que pour tout
  $n\in\N^*$ on a $|u_{n+1}-u_n |\leqslant k|u_n-u_{n-1} |$.  Montrer à l'aide
  du critère de Cauchy que $(u_n)_n$ est convergente lorsque $k\in [0,1[ $.
\end{exo}

\begin{exo}
  \question Démontrer par récurrence sur $p$ que pour tout $p\in \N^*$ et pour
  tout $n\in\N$ on a
  \begin{displaymath}
    \frac{1}{(n+1)^2} +\frac{1}{(n+2)^2} +\dots +\frac{1}{(n+p)^2} \leqslant
    \frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}.
  \end{displaymath}

  \question Montrer que la suite $(u_n)_n$ donnée par
  $\dsp{u_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}}$ est une suite de Cauchy.
\end{exo}

\begin{exo}
  Montrer, en utilisant la défintion, que

  \question la suite $(u_n)_n$ définie par $u_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}$ n'est pas
  de Cauchy.

  \question la suite $(u_n)_n$ définie par $u_n=\frac{2+(-1)^n}{n}$ est de
  Cauchy.
\end{exo}

\begin{exo}
  Soit $x\in\R$ fixé. Montrer que la suite $(u_n)_n$ définie par
  $u_n=\frac{E(10^n x)}{10^n}$ à valeurs rationnelles converge vers $x$.  En
  déduire que tout nombre réel (en particulier tout nombre irrationnel) est la
  limite d'une suite de Cauchy à valeurs dans $\Q$. Que peut-on dire
  de la suite $(u_n)_n$ lorsque

  \question $x$ est un nombre décimal (donc un nombre possédant un
  développement décimal limité)~?

  \question $x\in\Q$?
\end{exo}

\begin{exo}
  Montrer que la suite $(u_n)_n$ définie par
  \begin{displaymath}
    \forall n\in\N^*, \quad u_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2+\frac{1}{k})^k}
  \end{displaymath}
  est de Cauchy.
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Exercices complémentaires}

\begin{exo}
  Soit $(u_n )_n$ une suite de nombres réels qui vérifie:
  \begin{displaymath}
    \forall n,\, p\in\N^*, \quad 0\leqslant u_{n+p}\leqslant \frac{n+p}{np}.
  \end{displaymath}
  Montrer que $(u_n)_n$ converge vers 0.
\end{exo}

\begin{exo}
  Calculer, suivant les valeurs de $x$, la limite des suites $(u_n )_n$,
  $u_n=(\cos(x))^n$, $x\in\R$, et $(v_n )_n$, $v_n=\cos(n!\pi x)$, $x\in\Q$.
\end{exo}

\begin{exo}
  Soit $(u_n)_n$ une suite de nombres réels. Une telle suite possède la
  propriété P1 (resp. P2) s'il existe un indice $h$ (resp. $k$) tel que
  $u_h=\sup_{n\in\N}  u_n$  (resp.  $u_k=\inf_{n\in\N} u_n $).\\
  Montrer que si la suite $(u_n )_n$ est convergente, elle possède au moins
  l'une des propriétés P1 ou P2.  Donner un exemple de suite convergente qui
  possède les deux propriétés P1 et P2.
\end{exo}

\begin{exop}[Le nombre $e$ comme limite d'une suite]
  Soit $(x_n)_{n\in\N^*}$ la suite dans $\R$ définie par
  $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$. Montrer que:

  \question
  $x_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!} \left(1-\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{3!}
  \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) + \dots +
  \frac{1}{n!}\big[\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots
  \left(1-\frac{n-1}{n}\right)\big]$.

  \question La suite $(x_n)_n$ est croissante,

  \question Pour tout $n\in\N^*$ on a
  $x_n\leqslant
  1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots\frac{1}{n!}=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}$

  \question La suite $(x_n)_n$ est bornée par 3.

  \question La suite $(x_n)_n$ est convergente. Soit $\ell$ la limite de cette
  suite.

  \question Pour tout $n\in\N$ on a $\ell\geqslant \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}$.

  \question La suite $(s_n)_n$ de terme général $s_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}$
  est convergente et $\dsp{\ell=\lim_{n\to\infty} s_n}$.

  \question $\dsp{\ell=\lim_{u\to 0} (1+u)^{\frac{1}{u}}}$ au sens des limites
  de fonctions.

  \question $\ell=e$.

  \question Calculer $\dsp{\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n}$.
\end{exop}

\begin{exo}
  Soit $(u_n)_n$ une suite de réels positifs telle que pour tout $n\in\N$ on a
  \mbox{$u_{n+2}\leqslant \frac{1}{2} (u_n +u_{n+1})$}.  Montrer que $(u_n)_n$
  converge. {\it Indication: On pourra commencer par étudier la monotonie de la
    suite de terme général $v_n := \max(u_{n+1}, u_n)$}.
\end{exo}

\begin{exo}
  Soit $(u_n)_n$ une suite bornée telle que, pour tout entier $n \geqslant 1$,
  \mbox{$u_n \leqslant \frac{1}{2}(u_{n-1} +u_{n+1}) $}.  Montrer que la suite
  $(u_n)_n$ converge. {\it Indication: étudier d'abord la suite $(v_n)_n$
    définie par \mbox{$v_n = u_n -u_{n-1}$}}.
\end{exo}

\begin{exo}[Théorème de Cesaro]
  \question Montrer que si une suite $(u_n)_{n\in\N^*}$ converge vers $\ell$,
  elle converge aussi en moyenne arithmétique vers $\ell$, c'est-à-dire que la
  suite $(x_n)_n$ de terme général $x_n = \frac{u_1 + u_2 +\dots + u_n}{n}$
  converge aussi vers $\ell$. {\it Indication: Traiter d'abord le cas
    $\ell= 0$ puis s'y ramener en considérant la suite $(v_n)_n$ de terme
    général $v_n = u_n - \ell$}.

  \question La réciproque est-elle vraie~? Donner un exemple.

  \question Montrer que si $\lim_{n\to \infty} u_n=+\infty$ (où
  $\lim_{n\to \infty} u_n=-\infty$), alors la suite $(x_n)_n$ de terme général
  $x_n = \frac{u_1 + u_2 +\dots + u_n}{n}$ a la même propriété.

  \question Soit $(u_n)_n$ une suite monotone. Montrer que $(u_n)_n$ converge
  vers $\ell$ si et seulement si la suite $(x_n)_n$ de terme général
  $x_n = \frac{u_1 + u_2 +\dots + u_n}{n}$ converge vers $\ell$.
\end{exo}

\begin{exo}
  Soit $(u_n)_{n\in\N^*}$ une suite de $\R^*_+$ qui converge vers
  $\ell$. Montrer que $\dsp\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_1 u_2\cdots u_n}=\ell$.
  {\it Indication: Réduire le problème au théorème de Cesaro en utilisant la
    fonction $\ln$. Attention au cas $\ell=0$.} Est-ce que le résultat reste
  vrai si $\dsp{\lim_{n\to\infty}=+\infty}$~?
\end{exo}

\begin{exo}[Théorème des intervalles emboités]
  Soit $(I_n)_n$ une suite d'intervalles fermés $I_n=[a_n,b_n]$ telle que pour
  tout $n\in \N$ on a $I_{n+1}\subset I_n$.

  \question Montrer que $\dsp{\cap_{n\in\N} I_n\ne\emptyset}$.

  \question Quelle condition doivent satisfaire les suites $(a_n)_n$, $(b_n)_n$
  pour que l'intersection $\dsp{\cap_{n\in\N} I_n\ne\emptyset}$ ait un
  seul élément~?

  \question Est-ce que le théorème similaire est vrai dans $\Q$ (donc si on
  remplace les intervalles fermés de nombres réels par des intervalles fermés
  de nombres rationnels)~?
\end{exo}

\end{document}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
