\documentclass[leqno]{article}

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\renewcommand{\semestre}{Semestre~2}
\renewcommand{\ue}{Analyse~1}
\renewcommand{\planche}{Planche~2}
\renewcommand{\titreplanche}{Limites, continuité}

\begin{document}

\titreTD

\bigskip
Les exercices marqués du symbole $\clubsuit$ sont les exercices qui seront
traités prioritairement en TD.

Le site internet EXO7 (http://exo7.emath.fr) est fait pour vous ! Il s'agit
d'une base de donnée d'exercices destinés aux étudiants de licence, avec des
corrections des exercices écrites et filmées. Il a été con\c{c}u par une large
équipe d'enseignants-chercheurs de plusieurs universités fran\c{c}aises.

Certains exercices de cette planche sont tirés du site Exo7. D'autres sont
similaires (mais pas identiques) à un exercice d'EXO7.

Alors n'hésitez plus ! Consultez EXO7 et servez-vous en pour préparer les
séances de TD à l'avance et pour vous entraîner !

\subsection*{Limites de fonctions}

\begin{exop}
  Soient $l \in \R$, $a \in \R$, $(u_n)_{n\in\N}$ une suite et $f$ une
  application de $\R$ dans $\R$. Écrire à l'aide des quantificateurs les
  phrases suivantes:

  \question $f(x)$ ne tend pas vers $l$ quand $x$ tend vers $a$.  \question
  $f(x)$ ne tend pas vers $l$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
\end{exop}

\begin{exop}
  \question $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \in {]-1,1[}$. Quelle est la
  limite à gauche de $f$ en $1$ ?

  \question $f(x)=\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}$ pour $x\in[3,+\infty[$. Quelle est la
  limite de $f$ en $+\infty$~?

  \question $f(x)= \sqrt{x^2 + x +1} -(x+1)$ pour $x \in \R$.  Quelle la limite
  de $f$ en $+ \infty$~?

  \question $f(x)= \frac {\sqrt{x^3-3x+2}} {2x^2-x-1}$ pour $x \in
  ]0,1[$. Quelle est la limite à gauche de $f$ en $1$~?

  \question $f(x)=\frac {\sqrt{x+3} -\sqrt{4x+3}} {\sqrt{x+4} -\sqrt{2x+4}}$
  pour $x \in {]0,1[}$. Quelle est la limite à droite de $f$ en $0$~?

  \question $f(x)=\frac{\ln(2x^2-x+2)}{\sqrt{x^3+1}}$ pour $x \in \R_+$. Quelle
  est la limite en $+\infty$~?

  \question $f(x)=\frac{\sin^2(x)}{1+\cos(x)}$ pour $x\in]-\pi,\pi[$. Quelle
  sont les limites (respectivement à droite et à gauche) en $-\pi$ et $\pi$~?

  \question $f(x)=\frac{\tan(x)-\sin(x)}{\sin(x)\big(\cos(2x)-\cos(x)\big)}$
  pour $x\in[-2,2]\setminus\{0\}$. Quelle est la limite en $0$~?

  \question $f(x)=2x\ln(x+\sqrt{x})$ pour $x\in\R^*_+$. Quelle est la limite (à
  droite) en 0~?

  \question $f(x)=(x^2-1)\ln(7x^3+4x^2+3)$ pour $x\in]-1,+\infty[$. Quelle est
  la limite (à droite) en $-1$~?

  \question Soit $a >0$. On définit $f$ par $f(x)= \frac {(1+ x)^{a}} x $ pour
  $x \in {]0,1[}$. Quelle est la limite (à droite) de $f$ en 0~?  \question
  $f(x)= (1+ \sin x)^{\frac 1 x}$ pour $x \in {]0,1[}$. Quelle est la limite (à
  droite) de $f$ en 0~?
\end{exop}

\begin{exop}
  Soit $ f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et soit $x_0$ un
  point de $I$. On suppose que $f$ admet une limite $a>0$ en $x_0$. Démontrer
  qu'il existe $\eta>0$ tel que si $ |x-x_0| < \eta$ alors
  $ |f(x)| \geqslant \frac{a}{ 2}$.
\end{exop}

\subsection*{Propriétés des limites et opérations}

\begin{exop}[Opérations sur les limites]
  Soient $a, b \in \R$, $a <b$. On pose $I=]a,b[$.  Soient $f$ et $g$ deux
  applications de $I$ dans $\R$ et $l, m \in \R$.  On suppose que
  $l=\lim_{x \to a, \, x >a} f(x)$ et $m=\lim_{x \to a, \, x >a} g(x)$.

  \question Montrer que $\lim_{x \to a, \, x >a} (f+g)(x)=l+m$.

  \question On suppose que $m \ne 0$. Montrer qu'il existe $c \in {]a,b[}$ tel
  que pour tout $x \in {]a,c[}$, $g(x) \ne 0$. Montrer que
  \begin{displaymath}
    \lim_{x \to a, \, x >a} \frac {f(x)} {g(x)}=\frac l m
  \end{displaymath}

  \question On suppose que $m =0$, $l > 0$ et que pour tout
  $x \in I, g(x) > 0$.  Montrer que
  $\lim_{x \to a, \, x >a} \frac {f(x)} {g(x)}= + \infty$.

  \question On prend ici $a=0$, $b=1$, $f(x)=\sin(\frac 1 x)$ et $g(x) =x$.
  Les applications $fg$ et $f / g$ (qui est bien définie sur $I$) ont-elles une
  limite à droite en $0$~?
\end{exop}

\begin{exop}[Limite, limite à droite et limite à gauche]
  Soient $a \in \R$ et $l \in \R$. Soit $f$ une application définie sur
  $A=\R \setminus \{a\}$ à valeurs dans $\R$.

  \question Montrer que $f$ admet $l$ comme limite en $a$ si et seulement si
  $f$ admet (en $a$) $l$ comme limite à droite et comme limite à gauche.

  \question Reprendre la question 1 avec $l=+\infty$ et avec $l=-\infty$.
\end{exop}

\begin{exo}[Caractérisation de la limite à gauche]

  Soient $a \in \R$ et $l \in \R$. Soit $f$ une application définie sur
  $A=\R \setminus \{a\}$ à valeurs dans $\R$.

  \question Montrer que $f$ admet $l$ comme limite à gauche en $a$ si et
  seulement si $f$ vérifie la condition suivante:

  Pour toute suite $(x_n)_{n\in\N}$ de points de $A$,
  \begin{displaymath}
    x_n \uparrow a, \hbox{ quand } n\to+\infty \implies \lim_{n\to+\infty}
    f(x_n)= l,
  \end{displaymath}
  où <<~$x_n \uparrow a$ quand $n\to+\infty$~>> signifie
  <<~$a=\lim_{n\to+\infty} x_n$ et $x_{n+1} \ge x_n$ pour tout ${n\in\N}$~>>.

  \question Reprendre la question 1 avec $l=+\infty$ et avec $l=-\infty$.
\end{exo}

\begin{exop}[Limite en $+ \infty$]
  Soit $f:\R~\to \R$ définie par $f(x)=\sin (x)$ pour tout $x \in \R$. La
  fonction $f$ admet-elle une limite en $+\infty$~?
\end{exop}

\begin{exo}[Fonction périodique admettant une limite]
  Soit $f$ une application de $\R$ dans $\R$. On suppose qu'il existe $T >0$
  tel que $f(x+T)=f(x)$ pour tout $x \in \R$ (on dit alors que $f$ est
  périodique de période $T$).  On suppose de plus que $f$ admet une limite
  finie, notée $l$, en $+\infty$.  Montrer que $f$ est une fonction constante.
\end{exo}

\begin{exop}
  On définit $f$ par $f(x)= \frac {\sin(\sqrt{x^2})} x$ pour $x \ne 0$ et
  $f(0)=1$.  L'application $f$ a-t-elle une limite en $0$~? une limite à droite
  en $0$~?  une limite à gauche en $0$~?
\end{exop}

\begin{exop}
  Pour $x \in \R$, on note $E(x)=\sup\{n \in \Z; \; n \le x\}$.  On définit $f$
  par $f(x)= x -\sqrt{x-E(x)}$ pour tout $x \ne 0$.  Soit $n \in \Z$,
  L'application $f$ a-t-elle une limite en $n$~? une limite à droite en $n$~?
  une limite à gauche en $n$~?
\end{exop}

\subsection*{Continuité en un point, prolongement par continuité}

\begin{exop}
  Soit $f$ la fonction réelle à valeurs réelles définie par: $f (x) = x$ si
  $x<1$, $f(x)=x^2$ si $1\leq x\leq 4$, et $f(x) = 8\sqrt{x}$ si $x>4$.
  \question Tracer le graphe de f.  \question $f$ est elle continue ?
  \question Montrer que $f$ est bijective et donner la formule définissant
  $f^{-1}$.
\end{exop}

\begin{exop}
  Soit $ f : \R\setminus\{1/3\}\rightarrow \R$ telle que
  $ f(x)= \frac{2 x+3}{3 x-1}$.

  Pour tout $ \varepsilon > 0$ déterminer $ \alpha$ tel que,
  $|x|\leqslant \alpha \Rightarrow |f(x)+3|\leqslant \varepsilon$.  Que peut-on
  en conclure sur $f$ ?
\end{exop}

\begin{exop}
  Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*_+$ par $f(x)=\frac{1}{x}$ et soit
  $a>0$. Montrer que pour tous réels $x,y\in[a,+\infty[$, on a
  $|f(x)-f(y)|\leq\frac{|x-y|}{a^2}$.  En déduire que $f$ est continue sur
  $]a,+\infty[$.  Que peut-on dire de la continuité de $f$ sur $\R^*_+$~?
\end{exop}

\begin{exo}
  Soit $a\in\R$ et $\epsilon>0$. Trouver $\eta>0$ tel que
  $|x-a|<\eta\Rightarrow \big|\sin(x)-\sin(a)\big|<\epsilon$.  Que peut-on en
  déduire sur la fonction sinus ?
\end{exo}

\begin{exop}
  Étudier la continuité sur $\R$ des fonctions suivantes:

  \question $f(x)=\sin(x)\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ si $x\neq0$ et
  $f(0)=0$~;

  \question $g(x)=x\frac{1}{\sin(x)}$ si $x$ n'est pas un multiple
  de $\pi$ et $g(x)=0$ si $x$ l'est~;

  \question $j(x)=xE(x)$~;

  \question $k(x)=E(x)\sin(\pi x)$.
\end{exop}

\begin{exop}[Fonction continue, non nulle en un point]\label{exe-c1}
  Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$ et $a \in \R$. On suppose que $f$ est
  continue en $a$ et que $f(a) \ne 0$. Montrer que $f$ est non nulle sur un
  intervalle ouvert contenant $a$.
\end{exop}

\begin{exo}[Prolongement par continuité]
  Pour $x \in {]0,1[}$, on pose $f(x)=\frac x {\ln(x)}$. Peut on prolonger $f$
  par continuité en $0$ et en $1$~?
\end{exo}

\begin{exop}[Prolongement par continuité]\label{exe-c8}

  Soit $f$ l'application de $\R \setminus \{-1,1\}$ dans $\R$ définie par:
  \begin{displaymath}
    f(x)= \frac {x^3-2x^2-x+2} {1-|x|}.
  \end{displaymath}
  \question La fonction $f$ est-elle continue en $0$~?

  \question Calculer $\lim_{x \to -1} f(x)$ et $\lim_{x \to 1} f(x)$.

  \question Existe-t-il une fonction $g$ définie et continue sur $\R$ et qui
  est égale à $f$ sur $\R \setminus \{-1,1\}$~?
\end{exop}

\begin{exop}\label{exe-c3}
  Pour quelle valeur de $\alpha$ la fonction $f$, définie ci-après, est-elle
  continue sur $\R$~?
  \begin{displaymath}
    f(x)= \begin{cases}
      \frac {x^3-8} {x-2} &\text{si $x\ne2$}\\
      \alpha              &\text{ si $x=2$.}
    \end{cases}
  \end{displaymath}
\end{exop}

\subsection*{Continuité sur un intervalle - théorème des valeurs
  intermédiaires}

\begin{exop}
  Soit  $f$ une application continue d'un intervalle $I \subset \R$ dans $\R$.

  \question On suppose que $f$ ne s'annule pas sur $I$. Montrer que $f$ garde
  un signe constant sur $I$.

  \question On suppose que $f(x) \subset \Z$, pour tout $x \in \R$. Montrer
  que $f$ est constante.
\end{exop}

\begin{exop}[Polynôme de degré impair]\label{exe-c5}

  Montrer que toute fonction polynôme de $\R$ dans $\R$, de degré impair,
  s'annule en au moins un point.
\end{exop}

\begin{exop}
  Montrer que le polynôme $x^{30} + 14x^{17}-7x^5-7$ admet au moins une racine
  dans l'intervalle $]0, 1[$.
\end{exop}

\begin{exo}
  \question Soit $f : {[a;b]} \longrightarrow \R$ une fonction continue telle
  que $f (a) = f (b)$. Montrer que la fonction
  $g(t) = f (t + \frac{b-a}{2} ) - f (t)$ s'annule en au moins un point de
  l'intervalle $ [a; \frac{a+b}{2} ]$.

  \question {\it Application :} une personne parcourt 4 km en 1 heure. Montrer
  qu'il existe un intervalle de 30 minutes pendant lequel elle parcourt
  exactement 2 km.
\end{exo}

\begin{exop}
  Soit $f$ l'application de $[-1,\infty[$ dans $\R$ définie par
  $f (x) = \frac 1 {\sqrt{x^2 + 2x + 2}}$ pour tout $x \ge -1$.  Montrer que
  $f$ est bijective de $[-1,\infty[$ dans $]0,1]$ et donner une formule
  explicite pour sa fonction réciproque.
\end{exop}

\begin{exop}[Existence d'un maximum]\label{exe-c6}
  Soit $f$ une fonction continue de $\R_+$ dans $\R_+$. On suppose que
  $\lim_{x \to +\infty} f(x)=0$. Montrer que $f$ admet un maximum (c'est-à-dire
  qu'il existe $a \in \R_+$ t.q., pour tout $x \in \R_+$, $f(x) \le f(a)$).
\end{exop}

\begin{exop}\label{exe-c9}
  Soit $f$ et $g$ deux fonctions de $[0,1]$ dans $\R$, continues et
  t.q. $f(0)=g(1)=0$ et $g(0)=f(1)=1$. Montrer que:
  \begin{displaymath}
    \forall \l \in \R_+, \; \exists x \in {[0,1]}, \; f(x)=\l g(x).
  \end{displaymath}
\end{exop}

\begin{exop}[Borne supérieure atteinte]
  Soit $f$ une application continue de $\R_+$ dans $\R_+$.  On suppose que
  $\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.  Montrer que $\{f(x),\, x \in \R_+\}$ est
  majoré et qu'il existe $a \in \R_+$ tel que
  $f(a)=\sup\{f(x),\, x \in \R_+\}$.
\end{exop}

\subsection*{Suites récurrentes et continuité}

Voir les exercices 45, 46, 48, 51, 52 de la planche 1 sur les suites.

\subsection*{Exercices supplémentaires}

\begin{exo}[Fonction lipschitzienne]\label{exe-c2}
  Soit $f:\R~\to \R$ et $k \in \R_+$. On suppose que
  $|f(x) -f(y)| \le k |x-y|$ pour tout $x, y \in \R$.
  Montrer que $f$ est continue (sur tout $\R$).
\end{exo}

\begin{exo}
  On dit qu'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et à valeurs
  dans $\R$ est uniformément continue sur $I$ si
  \begin{displaymath}
    \forall \epsilon>0, \exists \eta>0, \forall x,y \in I,\, (|x-y|<\eta
    \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon)
  \end{displaymath}

  \question Montrer que $|\sqrt{x} - \sqrt{y}| \le \sqrt{| x-y|}$, pour tout
  $x,y \in \R_+$. En déduire que l'application $x \mapsto \sqrt{x}$ est
  uniformément continue sur $\R_+$.

  \question Montrer que si $f \colon I \rightarrow \R$ est uniformément
  continue sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$.

  \question Montrer que l'application $x \mapsto \frac 1 x$ n'est pas
  uniformément continue sur $]0,1]$.
\end{exo}

\begin{exo}[Fonctions monotones]
  Soit $a, b \in \R$, $a <b$ et $I=]a,b[$. Soit $f$ une application strictement
  croissante de $I$ dans $\R$. On pose $A=\{f(x), \; x \in I\}$,
  $\alpha=\inf A$ et $\beta =\sup A$. (Si $A$ est non minorée, on pose
  $\inf A =-\infty$. Si $A$ est non majorée, on pose $\sup A =+\infty$.)

  \question Montrer que $\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$ (on pourra distinguer
  les cas $\alpha \in \R$ et $\alpha=-\infty$). Montrer que
  $\lim_{x \to b} f(x) = \beta$.

  \question Soit $c \in I$. Montrer que $f$ admet une limite à droite en $c$,
  notée $f_d(c)$, et une limite à gauche en $c$, notée $f_g(c)$. Montrer que
  $f_g(c) \le f(c) \le f_d(c)$.

  \question On suppose que $f_d(c)=f_g(c)$ pour tout $c \in I$ (avec $f_d$ et
  $f_g$ définies à la question précédente).  Montrer que $f$ est continue et
  que $f$ est bijective de $]a,b[$ dans $]\alpha,\beta[$.
\end{exo}

\begin{exo}[Injectivité et continuité impliquent monotonie]\label{exe-c7}
  Soient $a, b \in \R$, $a <b$, et soit $f~[a,b] \to \R$ continue et injective.
  Montrer que $f$ est monotone. [Utiliser le théorème des valeurs
  intermédiaires.]
\end{exo}

\begin{exo}[Valeur intermédiaire]\label{exe-c10}
  Soit $f$ une fonction continue de $[0,1]$ dans $\R$.

  \question Montrer que pour tout $t \in {[0,1]}$, l'ensemble $\{s \in {[0,1]}$
  t.q. $f(s)=\frac {f(0)+f(t)} 2\}$ est non vide.

  Pour $t \in {[0,1]}$, on pose $\varphi(t) =\inf\{s \in {[0,1]}$ t.q.
  $f(s)=\frac {f(0)+f(t)} 2\}$.

  \question Soit $t \in {[0,1]}$, montrer que $\varphi(t) \in {[0,1]}$ et que
  $f(\varphi(t))=\frac {f(0)+f(t)} 2$.

  \question Montrer que si $f$ est strictement croissante, l'application
  $\varphi$ ainsi définie de $[0,1]$ dans $[0,1]$ est continue.

  \question Donner un exemple de fonction $f$ pour lequel la fonction $\varphi$
  n'est pas continue.
\end{exo}

\begin{exo}[Continuité de ``$\max$" et ``$\min$"]\label{exe-c12}
  \question Montrer que, pour tout $x,y \in \R$,
  $\max\{x,y\}=\frac 1 2 (x+y+ | x-y|)$ et
  $\min\{x,y\}=\frac 1 2 (x+y- |x-y|)$.

  \question Soit $f$ et $g$ deux applications de $\R$ dans $\R$. On définit les
  applications $f \top g$ et $f \bot g$ de $\R$ dans $\R$ par:
  \begin{displaymath}
    (f \top g) (x)= \max \{f(x),g(x)\}, \; (f \bot g) (x)= \min \{f(x),g(x)\},
    \textrm{ pour } x \in \R.
  \end{displaymath}
  Soit $a \in \R$.  On suppose que $f$ et $g$ sont continues en $a$. Montrer
  que $f \top g$ et $f \bot g$ sont continues en $a$.
\end{exo}

\begin{exo}[Convexe implique continue]\label{exe-c13}
  Soit $f$ une application de $\R$ dans $\R$. On suppose que $f$ est convexe,
  c'est à dire que $f(tx+(1-t)y) \le tf(x) + (1-t)f(y)$ pour tout $t \in
  {[0,1]}$ et pour tout $x,y \in \R$.

  On pose $\alpha=f(1)-f(0)$, $\beta=f(0)-f(-1)$ et
  $\gamma=\max\{|\alpha|, |\beta| \}$.

  \question Soit $x \in {]0,1[}$. Montrer que
  $\beta x \le f(x)-f(0) \le \alpha x$. [Utiliser le fait que $x=t 1 + (1-t)0$,
  avec $t=x$, et $0=t x + (1-t) (-1)$, avec $t=\frac 1 {1+x}$.]

  \question Soit $x \in {]-1,1[}$. Montrer que
  $|f(x) - f(0)| \le \gamma |x|$.  En déduire que $f$ est
  continue en $0$.

  \question Montrer que $f$ est continue en tout point de $\R$.
\end{exo}

\begin{exo}[Exercice sur les valeurs intermédiaires]
  Soit $f$ une application continue de $[0,1]$ dans $\R$ t.q. $f(0)=f(1)$. Soit
  $n \in \N^\star$.  pour $x \in {[0,1-\frac 1 n]}$, on pose
  $g(x)=f(x+\frac 1 n)-f(x)$.

  \question Montrer que $\sum_{k=0}^{n-1} g(\frac k n)=0$.

  \question Montrer qu'il existe $x_0,x_1 \in {[0,1-\frac 1 n]}$ t.q.
  $g(x_0) \le 0$ et $g(x_1) \ge 0$.

  \question Monter qu'il existe $x \in {[0,1-\frac 1 n]}$ t.q.
  $f(x+\frac 1 n)=f(x)$.
\end{exo}

\begin{exo}[Point fixe]\label{exo.pf}
  Soit $f$ une fonction continue de $[0,1]$ dans $[0,1]$ et vérifiant
  \begin{displaymath}
    \forall x_{1},x_{2}\in {[0,1]}\text{, }\left| x_{1}-x_{2}\right| \leq
    \left| f(x_{1})-f(x_{2})\right|.
  \end{displaymath}

  \question Montrer que $f$ est injective.

  \question Montrer que $\{f(0),f(1)\}=\{0,1\}.$

  \question Montrer que $f$ est surjective.

  \question Montrer que $f$ admet un point fixe.
\end{exo}

\begin{exo}[Equation fonctionnelle]
  Soit $f$ une fonction définie sur $\R_{+}$, à valeurs dans $\R$ et
  vérifiant l'équation fonctionnelle suivante:
  \begin{displaymath}
    \text{Pour tout } x,y\in R_{+}, \; f(x+y)=f(x)f(y).
  \end{displaymath}

  \question Montrer que $f$ est à valeurs positives ou nulles.

  \question Montrer que si $f(0)=0$ alors $f$ est identiquement nulle.

  \emph{Dans ce qui suit on suppose que $f$ n'est pas identiquement nulle.}
  \question Calculer $f(0)$.

  \question Soit $x\in \R_{+}$ et $n\in \N^{\ast }$, exprimer
  $f(nx)$ et $f(\frac{x}{n})$ en fonction de $f(x)$ et $n$.

  \question Soit $x\in \R_{+}$ et $p,q$ deux entiers naturels
  strictement positifs. On pose $r=\frac{p}{q},$En calculant $f(q(rx))$ de deux
  manières différentes, exprimer $f(rx)$ en fonction de $f(x)$ et $r$.

  \question \emph{Dans cette question on suppose qu'il existe $\alpha >0$ tel
    que $f(\alpha )=0$.}

  \sousquestion Construire une suite $(x_{n})$ de réels strictement positifs
  convergeant vers $0$ et tellle que $f(x_{n})=0$ pour tout $n\in \N$.

  \sousquestion Montrer que la fonction $f$ est nulle sur
  $\R^{+\ast }$.

  \emph{Dans ce qui suit on suppose que $f$ est à valeurs strictement
    positives.}

  \question On suppose dans cette question que $f$ est continue à droite sur
  $\R_{+}$.  Montrer qu'il existe un réel $a$ tel que $f(x)=e^{ax}$
  pour tout $x\in \R_{+}$.

  \question On suppose que $f$ est continue à droite en $0,$ montrer que $f$
  est continue à droite en tout point de $\R_{+}$ et conclure qu'il
  existe un réel $a$ tel que $f(x)=e^{ax}$ pour tout $x\in \R_{+}$.

  \question On suppose qu'il existe deux réels $A,B$ vérifiant $0\leq A<B$ tels
  que $f$ soit majorée sur $[A,B]$.  \sousquestion Montrer que sur $[0,B-A]$,
  $f$ est minorée de borne inférieure strictement positive.

  \sousquestion Montrer que $f$ est continue à droite de $0.$

  \sousquestion Montrer qu'il existe un réel $a$ tel que $f(x)=e^{ax}$ pour
  tout $x\in \R_{+}$.
\end{exo}

\begin{exo}[Croissance et continuité]
  Soient $a,b \in \R$ tels que $a <b $ et soit $f$ une fonction croissante de
  $]a,b[$ dans $\R$.  Montrer que $f$ est continue si et seulement si l'image
  $f(]a,b[)$ est un intervalle.
\end{exo}

\begin{exo}[Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)]\label{pfetvi}
  Soit $f$ une fonction continue de $ [0,1]$ dans $[0,1]$.

  \question Montrer qu'il existe $x_2 \in {[0,1]}$ tel que $f(x_2) = (x_2)^2$.
  [On pourra considérer la fonction $g(x) = f(x) - x^2$.]

  \question Soit ${n\in\N^\star}$. Montrer qu'il existe $x_n \in {[0,1]}$ tel que
  $f(x_n) = (x_n)^n$.

  \question On suppose maintenant que $f$ est strictement décroissante.  Pour
  ${n\in\N^\star}$ et $x \in {[0,1]}$, on pose $h_n(x)=f(x)-x^n$.

  Soit ${n\in\N^\star}$. Montrer que $h_n$ est strictement décroissante sur
  $[0,1]$ et qu'il existe un unique $x_n \in {[0,1]}$ tel que $f(x_n) =(x_n)^n$.

  Montrer que, pour tout ${n\in\N^\star}$, $h_{n+1}(x_n) >0$. En déduire
  $x_{n+1} > x_n$.

  Montrer que la suite $(x_n)_{n\in\N^\star}$ est convergente et que
  $\lim_{n\to+\infty} x_n=1$. Quelle est la limite de $(x_n)^n$ quand
  $n\to+\infty$ ?
\end{exo}

\begin{exo}[Valeur intermédiaire]
  Soit $\alpha>0$, $\beta>0$.

  Soit $f$ une fonction continue de $[0,\alpha[$ dans $\R$, t.q. $f(0) <0$ et
  $\displaystyle \lim_{x \to \alpha, x<\alpha}f(x)=+\infty$.

  Soit $g$ une fonction continue de $\R$ dans $\R$, t.q.  $g(0)<0$ et
  $g(\beta)>0$.

  Montrer qu'il existe $x \in {]0,\min(\alpha,\beta)[}$
  t.q. $f(x)(x-\beta)-g(x)=0$.  [On pourra distinguer les cas $\beta < \alpha$,
  $\beta > \alpha$ et $\beta=\alpha$.]
\end{exo}

\subsection*{Quelques exos de plus}

\begin{exo}[Moyenne de Césaro]
  Soit $(u_{n})_{n\in\N}$ une suite de nombres complexes. On définit la suite
  $(v_{n})_{n\in\N}$ par $v_{n}=\frac{u_{1}+...+u_{n}}{n}$.

  \question Soit $l \in \C$.  On suppose (dans cette question) que
  $\lim_{n\to+\infty} u_n=l$.  Montrer que $\lim_{n\to+\infty} v_n=l$.

  \question On suppose maintenant que $u_n \in \R$, pour tout ${n\in\N}$.

  \sousquestion Montrer que $\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty$ implique
  $\lim_{n\to+\infty} v_n=+\infty$.

  \sousquestion On suppose que la suite $(u_{n})_{n\in\N}$ est croissante. Soit
  $l\in \overline{\R}_{+}$, montrer que
  \begin{displaymath}
    \lim_{n\rightarrow +\infty }v_{n}=l \Rightarrow \lim_{n\to+\infty} u_{n}=l.
  \end{displaymath}

  \question (Généralisation) Soit $(\lambda _{n})$ une suite de nombres réels
  strictement positifs. Soit $l \in \C$. On suppose que
  $\lim_{n\to+\infty} u_{n}=l$ et que
  \begin{displaymath}
    \lim_{n\rightarrow +\infty }\sum_{k=1}^{k=n}\lambda _{k} = +\infty.
  \end{displaymath}
  Pour ${n\in\N}$, on pose
  \begin{displaymath}
    w_n = \frac{\sum_{k=1}^{k=n}\lambda _{k}u_{k}}
               {\sum_{k=1}^{k=n}\lambda_{k}}.
  \end{displaymath}
  Montrer que $\lim_{n\to+\infty} w_{n}=l$.

  \question Montrer que
  \begin{displaymath}
    \lim_{n\rightarrow +\infty}
    \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+...+\sqrt[n]{n}}{n}=1.
  \end{displaymath}

  \question Soit $l \in \C$. On suppose que
  $\dsp\lim_{n\rightarrow +\infty}(u_{n+1}-u_{n})=l$. Montrer que
  $\dsp\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{u_{n}}{n}=l$.
\end{exo}

\begin{exo}[Borne supérieure d'une fonction]
  On définit la fonction $f$ de $]0,\infty[$ dans $\R$ par
  $f(x)=- \frac 1 {x} \cos(x)$.  On pose $A=\{f(x),$ $x \in {]0,\infty[}\}$.

  \question Calculer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.

  \question Montrer que la fonction $f$ n'est pas minorée (i.e. la partie $A$
  n'est pas minorée).

  \question
  \sousquestion Montrer qu'il existe $\alpha,$ $\beta \in \R$,
  $0< \alpha < \beta$, t.q., pour tout $x \in {]0,\infty[}$, $f(x) \le \sup B$
  avec $B=\{f(y);$ $y \in {[\alpha,\beta]}\}$.

  \sousquestion En déduire que la fonction $f$ est majorée (i.e. la partie $A$
  est majorée) et que la borne supérieure de $f$ est atteinte.

  Soit $a \in]0,\infty[$ t.q. $f(a)=\sup A$ (c'est-à-dire $f(a) \ge f(x)$ pour
  tout $x \in {]0,\infty[}$).

  \question Montrer que $f(a) >0$ et que $a < 2 \pi$.

  \question Montrer que $\frac{\pi} 2 < a < \frac {3 \pi} 2$ et que $f'(a)=0$.

  \question Pour $x \in [\frac{\pi} 2, \frac {3 \pi} 2]$, on pose
  $g(x)=x \sin(x)+\cos(x)$.  Montrer qu'il existe un unique
  $b \in {]\frac{\pi} 2, \frac {3 \pi} 2[}$ t.q. $g(b)=0$.  Montrer que
  $b \in {]\frac{\pi} 2, \pi[}$.  Montrer que $a=b$ et en déduire que $f$
  atteint son maximum en un unique point.
\end{exo}

\begin{exo}[Densité de $\Q$ dans $\R$]
  Pour tout $x\in \R$ et tout $\varepsilon >0,$ construire
  $x_{\varepsilon }\in \Q$ tel que
  $\left| x-x_{\varepsilon }\right| \leq \varepsilon$.
\end{exo}

\end{document}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
