\documentclass[leqno]{article}

\usepackage{TD}

\newcommand{\dsp}{\displaystyle}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\N}{\mathbb N}

\renewcommand{\annee}{\oldstylenums{2016}-\oldstylenums{2017}}
\renewcommand{\semestre}{Semestre~2}
\renewcommand{\ue}{Analyse~1}
\renewcommand{\planche}{Planche~3}
\renewcommand{\titreplanche}{Dérivation, développements limités}

\begin{document}

\titreTD

\subsection*{Dérivabilité, dérivée}

\begin{exop}[Opérations sur les dérivées]
  Soit $-\infty \le a < b \le \infty$, $x \in {]a,b[}$ et $f,g$ deux
  applications de $]a,b[$ dans $\R$.  On suppose que $f$ et $g$ sont dérivables
  en $x$.

  \question Montrer que $(f+g)$ est dérivable en $x$ et $(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$.

  \question Montrer que $fg$ est dérivable en $x$ et
  $(fg)'(x)=f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$.

  \question On suppose que $g(y) \ne 0$ pour tout $y \in {]a,b[}$. Montrer que
  $f/g$ est dérivable en $x$ et que:
  \begin{displaymath}
    (f/g)'(x)=\frac {g(x)f'(x) - f(x)g'(x)} {g^2(x)}.
  \end{displaymath}
\end{exop}

\begin{exop}[Dérivabilité de $x \mapsto x^n$]
  Soit $n$ un entier relatif. On considère la fonction à valeurs dans $\R$
  définie par $f_n(x)=x^n$.

  \question Quel est l'ensemble de définition de $f_n$ (distinguer suivant les
  valeurs de $n$).

  \question Montrer que $f_n$ est dérivable sur $D$ et déterminer sa dérivée.
\end{exop}

\begin{exop}[calcul de dérivées ]
  \question Calculer les dérivées des fonctions $f_i$ suivantes définies par:
  \begin{gather*}
    f_{1}(x) = x\ln (x),\quad
    f_{2}(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right),\quad
    f_{3}(x) = \sqrt{1+\sqrt{1+x^2}},\\
    f_{4}(x) = \left(\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right)^{\frac{1}{3}},\quad
    f_{5}(x)=x^{x},\quad
    f_{6}(x)=\arctan\left(\frac{1}{x}\right)+\arctan (x).
  \end{gather*}

  \question On note $\Delta (f)=\frac{f^{\prime \prime }}{f}$. Calculer
  $\Delta (fg)$.

  \question Soit $f:{]1,+\infty[} \rightarrow {]-1, +\infty[} $ définie par
  $f(x)=x\ln(x)-x$. Montrer que $f$ est une bijection.

  Notons $g=f^{-1}$. Calculer $g(0)$ et $g'(0)$.

  \question Calculer les dérivées successives de $f(x)=\ln(1+x)$.

  \question Calculer les dérivées successives de $f(x)=x^3 \ln(x)$.
\end{exop}

\begin{exop}[Dérivabilité de $x \mapsto x^{1/n}$]
  Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ et soit $g : [0,+\infty[ \to \R$
  la fonction $g_n(x)= x^{1/n}$. Rappelons que $g$ est par définition la
  fonction réciproque de la restriction à $[0,+\infty[$ de la fonction
  $f_n(x) = x^n$.

  \question Montrer que $g_n$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et déterminer sa
  dérivée.

  \question Montrer que le graphe de $g_n$ admet une demi-tangente verticale en
  $0$.
\end{exop}

\begin{exop}
  Soit $f$ une fonction dérivable sur $\Bbb R$. Calculer la dérivée des
  fonctions suivantes :
  \begin{displaymath}
    f_1:x\mapsto\exp (f(x)),\qquad f_2:x\mapsto(f(\sin x))^2,\qquad
    f_3:x\mapsto \ln|f(x)|,\qquad f_4: x\mapsto f(\ln |f(x)|).
  \end{displaymath}
\end{exop}

\begin{exop}
  Soit $f : x \mapsto 1/x$ définie sur $\R^*_+$.  On admettra l'existence d'une
  fonction $\ln$ (logarithme népérien) définie et dérivable sur $\R^*_+$,
  s'annulant en $1$ et vérifiant $\ln'=f$.

  \question Montrer que la fonction $\ln$ est ainsi définie de manière unique.

  \question Montrer que $\ln$ est strictement croissante.

  \question Soit $a>0$ et $g_a : R^*_+ \to \R$ définie par
  $g_a(x)=\ln(ax)-\ln(a)$. Montrer que $g_a$ est dérivable et calculer $g'_a$
  et $g_a(1)$.

  \question En déduire que pour tout $a,b>0, \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$.

  \question Montrer, en étudiant une fonction bien choisie, que pour tout
  $x>0, \ln(x)\leq x-1$.
\end{exop}

\begin{exop}[Dérivée non continue]
  On définit $f$ de $\R$ dans $\R$ par:
  \begin{displaymath}
    f(x) = \begin{cases}
      0 & \text{si $x \le 0$,}\\
      x^2 \sin\left(\frac 1 x\right) &\text{si $x > 0$.}
    \end{cases}
  \end{displaymath}
  Montrer que $f$ est dérivable en tout point de $\R$ et calculer $f'(x)$ pour
  tout $x \in \R$. La dérivée de $f$ est-elle continue~?
\end{exop}

\begin{exop}
  Pour $x \in \R$, on pose $f(x)=x + e^x$. Montrer que $f$ est strictement
  croissante, continue et bijective de $\R$ dans $\R$. On note $g$
  l'application réciproque de $f$.  Montrer que $g$ est deux fois dérivable sur
  $\R$. Calculer $g'(1)$ et $g''(1)$.
\end{exop}

\begin{exop}[Exercice de rédaction]\label{redac}
  Soit $\varphi$ une application de $]0, \infty[$ dans $\R$, dérivable (en tout
  point de $]0, \infty[$) et t.q. $\dsp\lim_{x \to \infty} \varphi(x)=0$.

  \question On suppose que $\varphi'(x) \le 0$ pour tout $x >0$.  Montrer que
  $\varphi(x) \ge 0$ pour tout $x >0$.

  \question On suppose que $\varphi'(x) < 0$ pour tout $x >0$.  Montrer que
  $\varphi(x) >0$ pour tout $x >0$.
\end{exop}

\subsection*{Applications de la dérivée : Rolle, accroissements finis,
  extrema locaux, convexité }

\begin{exop}[Application du théorème de Rolle]
  \question Dessiner le graphe de fonctions vérifiant: $f$ admet deux minimum
  locaux et un maximum local; $h$ admet un minimum local qui n'est pas global
  et un maximum local qui est global; $k$ admet une infinité d'extremum locaux;
  $l$ n'admet aucun extremum local.

  \question Calculer en quel point la fonction $ f(x)=ax^2+bx+c $ admet un
  extremum local.

  \question Soit $f:[0,\,2]\rightarrow {\mathbb{R}}$. une fonction deux fois
  dérivable telle que $f(0)=f(1)=f(2)=0$. Montrer qu'il existe $c$, $d$ tels
  que $f'(c)=f'(d)=0$. Montrer qu'il existe $e$ tel que $f''(e)=0$.

  \question Montrer que chacune des 3 hypothèses du théorème de Rolle est
  nécessaire.
\end{exop}

\begin{exop}[Extremum local]
  Soit $f: \R \to \R$ la fonction définie par $f(x)=|1-x^2|$.

  \question Montrer que $f$ est dérivable sur $\R \setminus \{-1,1\}$ mais
  n'est pas dérivable en $-1$ et en $1$.

  \question Montrer que $f$ admet un maximum local en $0$ et des minima locaux
  en $-1$ et en $1$.
\end{exop}

\begin{exop}
  Soit $I$ un intervalle ouvert et $f : I \to \R$ une fonction dérivable. Soit
  $k$ un entier $\geq 2$. On suppose qu'il existe $k$ nombres réels distincts
  appartenant à $I$ en lesquels $f$ s'annule. Démontrer qu'il existe au moins
  $k-1$ nombres réels distincts appartenant à $I$ en lesquels $f'$ s'annule.
\end{exop}

\begin{exop}
  \question Montrer que pour tout réel $x>0$ on a la double inégalité:
  \begin{displaymath}
    \frac{1}{x+1}<\log(x+1)-\log(x)<\frac{1}{x}
  \end{displaymath}

  \question En déduire que pour tout entier $n \geq 1$, on a :
  \begin{displaymath}
    \log(n+1) <1+\frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n} < 1+\log (n)
  \end{displaymath}

  \question Posons $u_n = 1+\frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}
  -\log(n)$. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et convergente.
\end{exop}

\begin{exop}[Application des accroissement finis]
  \question Soit $f:x\mapsto\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-2x+2.$ Étudier la
  fonction $f$. Tracer son graphe. Montrer que $f$ admet un minimum local et un
  extremum local.

  \question Soit $g:x\mapsto\sqrt{x}$. Appliquer le théorème des accroissements
  finis sur l'intervalle [100,\,101]. En déduire l'encadrement :
  $\dsp 10+\frac{1}{22}\leq \sqrt{101}\leq 10+\frac{1}{20}$.

  \question Appliquer le théoème des accroissement finis pour montrer que
  $\dsp \ln(1+x)-\ln(x)\leq \frac{1}{x}$ pour tout $x$ strictement positif.

  \question Soit $h:x\mapsto e^{x}$ . Que donne l'inégalité des accroissement
  finis sur $[0,\,x]$?
\end{exop}

\begin{exop}[Application règle de l'Hôpital (ou règle de Bernoulli)]
  Appliquer la règle de l'Hôpital pour calculer les limites des fonctions
  suivantes quand $x$ tend vers $0$

  \begin{displaymath}
    f:x\mapsto\frac{x}{(1+x)^{n}-1}\ ,\quad \quad g:x\mapsto\frac{\ln
      (x+1)}{\sqrt{x}}\ ,\quad h:x\mapsto\frac{1-\cos (x)}{\tan (x)}\quad \text{
      et }\quad k:x\mapsto\frac{x-\sin (x)}{x^{3}}.
  \end{displaymath}
\end{exop}

\begin{exop}[Étude d'une fonction]\label{exo-fexp}
  Soit $a >0$. On définit $f$ de $\R$ dans $\R$ de la manière suivante:

  \begin{displaymath}
    f(x)=
    \begin{cases}\dsp
      \left(1+\frac a { |x| }\right)^x, &\text{si $x \ne 0$}\\
      1 &\text{si $x=0$}
    \end{cases}
  \end{displaymath}
  (On rappelle que $b^x=e^{x \ln b}$, pour $b>0$ et $x \in \R$.)

  \question (Continuité de $f$)

  \sousquestion Montrer que $\dsp e^z \ge 1 + \frac {z^2} 2$ pour tout
  $z \in \R_+$.  En déduire que $\ln(1+y) \le \sqrt {2y}$, pour tout
  $y \in \R_+$.

  \sousquestion En utilisant la question précédente, montrer que
  $1 \le f(x) \le e^{\sqrt {2ax}}$, pour tout $x \in {]0,\infty[}$.

  \sousquestion Montrer que $\lim_{x \to 0, x > 0} f(x)=1$.

  \sousquestion Montrer que $f$ est continue en $0$.  [On pourra remarquer que
  $f(x)f(-x)=1$, pour tout $x \in \R$.]

  \question (Dérivabilité de $f$ sur $\R^\star$) Montrer que $f$ est de classe
  $C^1$ sur $\R^\star$ et que $f'(x) >0$ pour tout $x \ne 0$. [Pour $x >0$, on
  pourra mettre $f'(x)$ sour la forme $f(x) \varphi(x)$ et utiliser
  l'exercice~\ref{redac}.]  Montrer que $f$ est strictement croissante.

  \question (Dérivabilité en $0$ ?) Montrer que $\lim_{x \to 0} f'(x)=+\infty$.
  L'application $f$ est-elle dérivable en $0$ ? (Justifier la réponse\ldots)

  \question (Limites en $\pm \infty$) Donner (en fonction de $a$) les limites en
  $+\infty$ et $-\infty$ de $f$.

  Dans la suite, on note $l$ et $m$ ces limites.

  \question (Fonction réciproque) Montrer que $f$ est une bijection de $\R$ dans
  $]m,l[$. On note $g$ la fonction réciproque de $f$ (de sorte que $g$ est une
  application de $]m,l[$ dans $\R$).  Montrer que $g$ est dérivable en $1$
  (noter que $1 \in {]m,l[}$) et calculer $g'(1)$.  [Pour $h \ne 0$, on pourra
  appliquer le théorème des Accoissements Finis à la fonction $f$ entre les
  points $g(1+h)$ et $g(1)$.]

  \question (Régularité de la fonction réciproque) Montrer que la fonction
  réciproque de $f$ est de classe $C^1$ sur $]m,l[$ mais que $f$ n'est pas de
  classe $C^1$ sur $\R$.
\end{exop}

\begin{exop}[Fonction convexe]\label{exe-dcdc}
  Soit $\varphi$ une fonction de $\R$ dans $\R$.  On suppose que $\varphi$ est
  dérivable (c'est-à-dire dérivable en tout point de $\R$) et que $\varphi'$
  est une fonction croissante.

  \question Soit $x <z<y$. Montrer que
  $\dsp\frac {\varphi(z)-\varphi(x)} {z-x} \le \frac {\varphi(y)-\varphi(z)}
  {y-z}$.

  \question Montrer que $\varphi$ est convexe, c'est-à-dire que
  \begin{equation}
    \varphi(tx+(1-t)y) \le t \varphi(x)+(1-t) \varphi(y) \textrm{ pour tout }
    x,y \in \R \text{ et tout } t \in {[0,1]}.
    \label{ine-conv}
  \end{equation}
  [Pour $x<y$ et $t \in {]0,1[}$, on pourra utiliser la question 1 avec
  $z=tx+(1-t)y$.]

  \question On définit ici la fonction $\psi$ de $\R$ dans $\R$ par
  $\psi(x)=\vert x \vert$ si $x \in \R$.  Montrer que $\psi$ est convexe.  La
  fonction $\psi$ est-elle dérivable en tout point de $\R$~?
\end{exop}

\subsection*{Formules de Taylor, équivalents, développements limités}

\begin{exop}[Application formule de Taylor]
  \question Écrire les trois formules de Taylor en 0 pour
  $x\mapsto \cos(x), \ x\mapsto\exp (-x)$ $et$ $x\mapsto sh(x)$.

  \question Écrire les formules de Taylor en 0 à l'ordre 2 pour
  $x\mapsto \frac{1}{\sqrt{1+x}}$ $et$ $x\mapsto \tan (x)$.

  \question Ecrire les formules de Taylor en 1 à l'ordre 2 pour
  $f:x\mapsto x^{3}-9x^{1/2}+14x+3$.

  \question Avec une formule de Tayor à l'ordre 2 de $g:x\mapsto\sqrt{1+x}$
  trouver une approximation de $\sqrt{1.01}$.

  Même question avec $\ln(0.99)$ (pour cela on pourra calculer le DL en 0 de
  $h:x\mapsto \ln(1-x)$).
\end{exop}

\begin{exop}[Limites]
  \question Calculer les limites suivantes :
  \begin{gather*}
    \lim _{x\to 0}{\frac{e^{x^2}-\cos{x}}{x^2}},\quad
    \lim_{x\to +\infty}{\sqrt{x^2+2x+2}}+x,\quad
    \lim_{x\to -\infty}{\sqrt{x^2+2x+2}}+x,\\
    \lim _{x\to 0} {\frac{\arctan{x}-x}{\sin{x}-x}}.
  \end{gather*}

  \question Calculer
  \begin{displaymath}
    l = \lim _{x\to +\infty} \left( \frac{x+1}{x} \right)^x.
  \end{displaymath}
  Donner un équivalent de $\dsp l-\left( \frac{x+1}{x} \right) ^x$ lorsque $x$
  tend vers $+\infty$.
\end{exop}

\begin{exop}[Un peu d'analyse numérique]
  Donner une valeur approchée de $\sin{(1)}$ à $10^{-6}$-près, c'est-à-dire
  donner un nombre réel $l$ tel que $\vert \sin{(1)}-l\vert \leq 10^{-6}$. [On
  pourra considérer la fonction sinus sur $[0,1]$ et écrire la formule de
  Taylor-Lagrange à un ordre convenable à déterminer; on remarquera que le
  reste dans cette formule se borne facilement.]
\end{exop}

\begin{exop}[DL, exemple 1]
  On définit $f$ sur $]-\infty, 1[$ par:
  \begin{displaymath}
    f(x)=\arctan \frac 1 {1-x}.
  \end{displaymath}
  Donner le développement limité à l'ordre $3$ de $f$ en $0$.
\end{exop}

\begin{exop}[DL, exemple 2]
  \question Calculer le DL en 0 de $x\mapsto \cosh(x)$ en utilisant
  TY. Retrouver ce DL en utilisant $\dsp\cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$.

  \question Écrire le DL en 0 à l'ordre 3 de $f:x\mapsto\sqrt[3]{1+x}.$ Même
  question avec $\dsp g:x\mapsto\frac{1}{\sqrt{1+x}}.$

  \question Écrire le DL en 2 à l'ordre 2 de $h:x\mapsto\sqrt{x}$.

  \question Justifier l'expression du DL de $k:x\mapsto\dsp\frac{1}{1-x}$ à
  l'aide de l'unicité du DL et de la somme d'une suite géométrique.
\end{exop}

\begin{exop}[DL d'un polynôme\ldots]
  Donner le développement limité à l'ordre $7$ en $-1$ de la fonction $f$
  définie sur $\R$ par $f(x)=x^4-1$.
\end{exop}

\begin{exop}[DL somme, opérations]
  \question Calculer le DL en 0 à l'ordre 3 de
  $f_1:x\mapsto\exp(x)-\frac{1}{1+x}$, puis de $g_1:x\mapsto\dsp x\cos(2x)$ et
  $h_1:x\mapsto\dsp\cos(x)\times \sin (2x)$.

  \question Calculer le DL en 0 à l'ordre 3 de $f_2:x\mapsto\sqrt{1+2\cos (x)}$
  , puis de $g_2:x\mapsto\exp (\sqrt{1+2\cos (x)})$.

  \question Calculer le DL en 0 à l'ordre 3 de $f_3:x\mapsto\ln (1+\sin (x)).$
  Même question à l'ordre 6 pour $g_3:x\mapsto(\ln(1+x^2))^{2}$.

  \question Calculer le DL en 0 à l'ordre n de
  $\dsp f_4:x\mapsto\frac{\ln (1+x^3)}{x^{3}}.$ Même question à l'ordre 3 pour
  $g_4:x\mapsto\dsp\frac{e^{x}}{1+x}$.

  \question Par intégration retrouver la formule du DL de
  $f_5:x\mapsto\ln(1+x)$. Même question à l'ordre $3$ pour
  $g_5:x\mapsto\arccos(x)$.
\end{exop}

\begin{exop}[Utilisation des DL(1)]
  Donner la limite en $0$ de $f$ définie sur $]0,\infty[$ par:
  \begin{displaymath}
    f(x)= \frac{ e^x -1 -x} {x^2}.
  \end{displaymath}
\end{exop}

\begin{exop}[Utilisation des DL(2)]
  \question Calculer la limite lorsque x tend vers 0 de
  $\dsp\frac{\sin(x)-x}{x}$.
  % Même question avec $\frac{\sqrt{1+x}-sh(\frac{x}{2})}{x^{k}}$ avec
  % k=1,2,3,......

  \question Calculer la limite de $\dsp\frac{\sqrt{x}-1}{\ln (x)}$ lorsque x
  tend vers 1. Même question avec
  $\dsp\left( \frac{1-x}{1+x}\right) ^{\frac{1}{x}},$ puis
  $\dsp \frac{1}{\tan^{2}(x)}-\frac{1}{x^{2}}$ lorsque $x$ tend vers $0$.

  \question Soit $f:x\mapsto\exp(x)+\sinh(x)$. Calculer l'équation de la
  tangente en $x=0$ et étudier la position du graphe de $f$ par rapport à cette
  tangente. Même question avec $g(x)=\sinh(x)$.

  \question Calculer le DL en +$\infty $ à l'ordre 5 de
  $h:x\mapsto\dsp\frac{x}{x^2-1}.$ Même question à l'ordre 2 pour
  $\varphi:x\mapsto(1+\frac{1}{x})^{x}$.

  \question Soit $k:x\mapsto\sqrt{\frac{x^3+1}{x+1}}.$ Déterminer une équation
  de l'asymptote de $k$ en +$\infty$ et la position du graphe par rapport à
  cette asymptote.
\end{exop}

\begin{exop}[DL d'une fonction réciproque]
  On définit $f$ sur $\R$ par $f(x)=2x+\sin x$.

  \question Montrer que $f$ est une bijection de $\R$ dans $\R$, strictement
  croissante.  On note, dans la suite, $g$ sa fonction réciproque.

  \question Montrer que $f$ et $g$ sont dérivables en tout point de $\R$.

  \question Donner le développement limité à l'ordre 3 en $0$ de $g$.
\end{exop}

\begin{exop}[Équivalents]\label{exe-equi}
  \question Soit $\alpha>0$. Montrer que $((1+x)^\alpha -1) \sim \alpha x$ en
  $0$.

  \question Montrer que $(1+x+x^2) \sim x^2$ en $+\infty$.

  \question Soit $f$, $g$, $h$ des applications de $\R$ dans $\R$ et
  $\l,\mu \in \R$.  On suppose que $f \sim \l h$ et $g \sim \mu h$ en $0$ et
  que $\l + \mu \ne 0$.  Montrer que $(f+g) \sim (\l + \mu)h$ en $0$. Donner un
  exemple où ce résultat est faux si $\l+\mu=0$.

  \question Soit $f$ et $g$ des applications de $\R$ dans $\R$. On suppose que
  $f(x) >0$ et $g(x) >0$ pour tout $x \in \R$, $f \sim g$ en $0$ et
  $\lim_{x \to 0} f(x)=\infty$.  On pose $h(x)=\ln (x)$ pour $x >0$.  Montrer
  que $h \circ f \sim h \circ g$ en 0.

  \question Soit $f$, $g$, $h$ des applications de $\R$ dans $\R$. On suppose
  que $f \sim h$ en $0$ et que $g=o(h)$ au voisinage de $0$. Montrer que
  $(f+g) \sim h$ en $0$.
\end{exop}

\begin{exop}[Équivalents]
  Soit $f, g, \varphi, \psi$ définies pour tout $x \in \R$ par $f(x)= x^3+1$,
  $g(x)=x^4+1$, $\varphi(x)=x^3-3x$, $\psi(x)=x^3$.

  \question Montrer que $f \sim g$ en $0$.

  \question Montrer que $\ln(f)$ et $\ln(g)$ sont définies sur $]-1,\infty[$ et
  que $\ln(f) \not \sim \ln(g)$ en $0$.

  \question Montrer que $\varphi \sim \psi$ en $+\infty$.

  \question Montrer que $e^{\varphi} \not \sim e^{\psi}$ en $+\infty$.
\end{exop}

\begin{exop}[Étude d'une fonction (1)]

  Soit la fonction $f$ définie sur $]-\frac \pi 4,\frac \pi 4[$ par
  \begin{displaymath}
    f(x) = \begin{cases}\dsp
      \frac{\ln (1+\tan x)}{\sin x} &\text{si $x\neq 0$}\\
      1 &\textrm{si $x=0$}
    \end{cases}
  \end{displaymath}

  \question Montrer que $f$ est continue et dérivable en $0$.

  \question Donner le développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $2$.

  \question Donner l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point
  d'abscisse $0$ et la position locale de la courbe de $f$ par rapport à cette
  tangente.
\end{exop}

\begin{exop}[Étude d'une fonction (2)]
  On définit la fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ par
  $\dsp f(x)= 3x + \frac {\cos(x)}{x^2 +1}$.

  \question Montrer que $f$ est dérivable et calculer $f'(x)$ pour tout
  $x \in \R$.

  \question Montrer que $f$ est strictement croissante.

  \question Montrer que $f$ est une bijection de $\R$ dans $\R$.

  \question Montrer que $f$ admet un développement limité d'ordre 2 en $0$ et
  donner ce développement.

  Donner l'équation de la tangente (à la courbe de $f$) en $0$ et la position
  locale de la courbe de $f$ par rapport à cette tangente.

  \question Montrer que $g$ admet un développement limité d'ordre 2 en $1$ et
  donner ce développement.

  \question Donner les asymptotes de $f$ en $\pm \infty$.

  \question Montrer que $\lim_{x \to \infty} g(x)=\infty$ et donner les
  asymptotes de $g$ en $\pm \infty$.
\end{exop}

\begin{exop}[Étude de $\ln(1-x)/x$]\label{exe-edfn}
  \question Montrer que pour tout entier $n$, la fonction $x\mapsto \ln{(1+x)}$
  admet un développement limité à l'ordre $n$ en zéro. Calculer explicitement
  ce développement pour $n=2$.

  \question Soit $g : ]0,1[\to \R$ la fonction définie par
  $\dsp g(x)=-\frac{\ln{(1-x)}}{x}$.  Montrer que $g$ se prolonge par
  continuité en zéro (à droite).

  Soit $f : [0,1[\to \mathbb{R}$ la fonction définie par
  $f(x) = \begin{cases}\dsp
    -\frac{\ln{(1-x)}}{x} & \text{si $x\in {]0,1[}$,}\\
    1 & \text{si $x=0$}.
  \end{cases}$

  \question Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $]0,1[$.

  \question Montrer que $f$ est dérivable à droite en zéro et donner la valeur
  de cette dérivée (notée $f'(0)$).

  \question Calculer la fonction dérivée $f'$ sur $]0,1[$. La fonction $f'$
  est-elle continue en zéro ?

  \question Montrer que pour tout $x\in {[0,1[}$, on a
  $\ln{(1-x)}+\frac{x}{1-x}\geq 0$.  En déduire le signe de $f'(x)$ pour
  $x \in {]0,1[}$.

  \question Dresser le tableau de variations de $f$ et tracer l'allure de son
  graphe sur $[0,1[$ (on pensera à calculer la limite de $f$ en $1$).
\end{exop}

\subsection*{Exercices Supplémentaires}

\begin{exo}[Limite à l'infini]
  Soit $f$ une fonction dérivable de $]0, \infty[$ dans $\R$. On suppose que
  $\lim_{x \to \infty} f'(x)=0$. Montrer que
  $\dsp\lim_{x \to \infty} \frac {f(x)} x =0$.
\end{exo}

\begin{exo}[Fonctions h\"oldériennes]\label{exo.fhold}
  Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$, $\beta \in\R$, $\beta >0$ et
  $k \in \R, k >0$.  On suppose que, pour tout $x,y \in \R$,
  $\vert f(y) -f(x) \vert \le k \vert y-x\vert^{\beta}.$

  \question Montrer que $f$ est continue en tout point de $\R$.

  \question On suppose, dans cette question, que $\beta >1$. Soit $x \in \R$,
  montrer que $f'(x) = 0$.  En déduire que $f$ est constante.

  \question (Exemple) Pour $x \in \R$, on pose
  $g(x) = \vert x \vert^{\frac{1}{2}}$. Montrer que, pour tout $x,y \in \R$, on
  a $\vert g(y) -g(x) \vert \le \vert y-x\vert^{\frac{1}{2}}.$ [On pourra
  montrer qu'on peut supposer $\vert y \vert \ge \vert x \vert $, et distinguer
  les cas où $x$ et $y$ sont de même signe et où $x$ et $y$ sont de signe
  contraire.]
\end{exo}

\begin{exo}
  Soit $n$ un entier $\geq 2$, $a$ et $b$ des nombres réels et $P$ le polynôme
  de $\R[X]$ défini par $P(X)=X^n+aX+b$.

  \question Combien le polynôme $P'$ a-t-il de racines réelles ?

  \question Montrer que le polynôme $P$ a au plus deux racines réeles si $n$ est pair
  et au plus trois racines réelles si $n$ est impair.
\end{exo}

\begin{exo}[Utilisation du théorème des accroissements finis]
  Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$. On suppose que $f$ est
  dérivable pour tout $x \ne 0$ et que $\lim_{x \to 0} f'(x)=+\infty$.

  \question Montrer que $f$ n'est pas dérivable en $0$.

  \question On suppose maintenant que $f$ est bijective de $\R$ dans $\R$,
  strictement croissante et que $f(0)=0$.  On note $g$ la fonction réciproque
  de $f$ [l'existence de la function $g$ a été vue en cours]. Montrer que $g$
  est dérivable en $0$ et que $g'(0)=0$.
\end{exo}

\begin{exo}[Condition nécessaire et condition suffisante de
  minimalité]\label{exo-csm}
  Soit $f$ une application $\R$ dans $\R$ et $a \in \R$.

  \question On suppose que $f$ est de classe $C^1$ et que $f$ admet un minimum
  local en $a$.  Montrer que $f'(a)=0$.

  \question On suppose que $f$ est de classe $C^2$, $f'(a)=0$ et $f''(a) >0$.
  Montrer que $f$ admet un minimum local en $a$.

  \question Donner un exemple pour lequel $f$ est de classe $C^2$, $f'(a)=0$,
  $f''(a) =0$ et $f$ n'admet pas un minimum local en $a$.
\end{exo}

\begin{exo}[Limite en $0$]
  Trouver les limites en $0$ des fonctions suivantes, définies sur $\R^\star$
  par:
  \begin{displaymath}
    f(x) = \frac 1 {x^2} \left(\frac 1 {1+x^2} - \cos(x)\right),\quad
    g(x) = \frac{\arctan(x) -x}{\sin(x)-x},\quad
    h(x)=\frac{e^x-\cos(x)-\sin(x)} {x^2}.
  \end{displaymath}
\end{exo}

\begin{exo}[DL(3)]
  Calculer le DL d'ordre 3 en 0 de $f$ définie pour $x \in {]-1,1[}$ par
  $\dsp f(x)= \sin(x) -\cos(x) + \tan(x) + \frac 1 {1-x}$.

  Calculer le DL3 d'ordre 3 en $\frac \pi 2$ de $f$ définie pour
  $x \in {]0,\pi[}$ par $f(x)= \ln(\sin(x))$.
\end{exo}

\begin{exo}[DL(4)]
  Donner le DL d'ordre 4 en $0$ des fonctions suivantes (définies de $\R$ dans
  $\R$):
  $$f(x)= (1 + \sqrt{1+x^2})^{\frac 1 2}, \; g(x)=e^{\cos(x)}.$$
\end{exo}

\begin{exo}[DL(n)]
  On définit $f$ de $\R$ dans $\R$ par:
  \begin{displaymath}
    f(x) = \begin{cases}\dsp
      \frac x {e^x-1} &\text{ si $x \ne 0$,}\\
      = 1 &\text{si $x=0$.}
    \end{cases}
  \end{displaymath}
  Montrer que $f$ est continue en $0$ et admet un $DLn$ en $0$, pour tout
  $n \in \N^\star$.
\end{exo}

\begin{exo}[Développement limité curieux]\label{exo.dl1}
  On définit $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\R$ par:
  \begin{displaymath}
    f(x) = \begin{cases}
      e^{-\frac{1}{x^{2}}} &\text{si $x \ne 0$,}\\
      0 &\text{si $x=0$.}
    \end{cases}
  \end{displaymath}

  \question Montrer que $f$ est continue en 0.

  \question Soit $q \in \N^\ast$. Montrer que pour tout $u >0$,
  $\dsp e^u \ge \frac{u^q}{q!}$.

  \question Soit $n \in \N^\ast$, montrer, en utilisant la question précédente,
  que $\dsp\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{ x^n} = 0.$ En déduire que $f$ admet un
  développement limité d'ordre $n$ en 0 et donner ce développement.
\end{exo}

\begin{exo}[Étude de la fonction $x \mapsto x\arctan x$]
  Étudier la fonction $f$ définie sur $\R$ par:
  \begin{displaymath}
    f(x) = x \arctan x.
  \end{displaymath}
  [Montrer que $f$ est paire. Calculer $f'$ et $f"$. Étudier les asymptotes.]
\end{exo}

\begin{exo}[Limite en $+ \infty$]
  Pour $x >0$ on pose $\dsp f(x)=x^2(e^{\frac 1 x} - e^{\frac 1 {x+1}})$.
  Déterminer $\dsp\lim_{x \to \infty} f(x)$.  [On pourra, sur une une fonction
  convenable, utiliser un développement limité ou le théorème des
  accroissements finis.]
\end{exo}

\end{document}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
