\documentclass[a4paper]{article}

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\def\nomDiplome{Portail Descartes}
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\def\nomModule{Langage et raisonnements mathématiques}
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%% C'est parti
\begin{document}
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Ni document, ni calculette, ni téléphone.

Note sur 20. Barème sur 22.
On peut traiter les exercices dans l'ordre de son choix.

Toutes les réponses doivent être soigneusement justifiées.

\begin{exo}
\question[2] Exprimer en termes d'intervalles l'ensemble $A = \ensemble{x \in
  \R \; \big \vert \; \vert 4  - x^2 \vert < 3 x}$.
\begin{answer}
  L'inégalité $\vert 4 - x^2 \vert < 3 x$ équivaut à l'encadrement suivant :
  \[
    -3 x < 4 - x^2 < 3 x, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad
    x^2 - 3 x - 4 < 0 < x^2 + 3 x - 4.
  \]
  Or chacun des polynômes $x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$ et
  $x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)$ prend ses valeurs négatives pour $x$ compris
  entre ses deux racines :
  \[
    x^2 - 3 x - 4 < 0 \mbox { pour } x \in {]-1, 4[}, \qquad
    x^2 + 3 x - 4 > 0 \mbox { pour } x \notin [-4, 1].
  \]
  On a donc $A = {]{-1}, 4[} \setminus {[-4, 1]} = {]1, 4[}$.
\end{answer}
\end{exo}

\begin{exo}
On considère les assertions suivantes :
\[
P(n) : n \geq 5 \: \Rightarrow \: n^2+8 > 6n, \qquad
Q : \forall n \in \N, P(n). \vspace{-4ex}
\]
\question[2] Écrire la réciproque et la contraposée de $P(n)$.
\begin{answer}
  La réciproque de $P(n)$ est $n^2+8 > 6n \: \Rightarrow \: n \geq 5$, et sa
  contraposée est $n^2+8 \leq 6n \: \Rightarrow \: n < 5$.
\end{answer}
\question[1] Expliciter la négation de $Q$.
\begin{answer}
  La négation de $Q$ est $\exists n \in \N, \, \neg P(n)$, c'est-à-dire
  $\exists n \in \N, \, (n \geq 5 \land n^2 + 8 \leq 6n)$.

  En langage courant : il existe un entier naturel $n$ tel que $n$ soit
  supérieur ou égal à $5$ et $n^2 + 8$ soit inférieur ou égal~à~$6n$.
\end{answer}
\question[2] Montrer que l'assertion $Q$ est vraie.
\begin{answer}
  L'inégalité $x^2 + 8 > 6 x$ équivaut à $x^2 - 6 x + 8 > 0$.  Or les racines
  du polynôme $x^2 - 6 x + 8 = (x-2)(x-4)$ sont $2$ et $4$.  L'inégalité
  $x^2 + 8 > 6 x$ est donc vérifiée exactement par les éléments de l'ensemble
  ${]-\infty, 2[} \cup {]4, +\infty[}$. Il s'ensuit que tout entier
  $n \geq 5$ vérifie l'inégalité $n^2+8 > 6n$; autrement dit, l'assertion $Q$
  est vraie.

  \medskip
  On peut aussi démontrer $n^2 + 8 > 6n$ par récurrence sur $n \in \N$, pour
  $n \geq 5$ :
  \begin{itemize}
  \item C'est vrai pour $n = 5$, car on a $5^2 + 8 = 33 > 30 = 6 \times 5$.
  \item Si $n \geq 5$ et $n^2 + 8 > 6n$, alors on a $2 n + 1 \geq 11$ et
    $(n+1)^2 + 8 = n^2 + 8 + 2 n + 1 > 6 n + 11 > 6 n + 6 = 6(n + 1)$.
  \end{itemize}

  \medskip
  Enfin, on peut remplacer la récurrence par une démonstration élémentaire par
  cas:
  \begin{itemize}
  \item Pour $n = 5$, on a $n^2 + 8 = 33 > 30 = 6 n$.
  \item Pour $n \geq 6$, on a $n^2 + 8 > n^2 \geq 6n$.
  \end{itemize}
\end{answer}
\end{exo}

\begin{exo}
Dans cet exercice, $A$ et $B$ sont des ensembles quelconques.
\question[0,5] Écrire la définition de $A \subset B$ de façon formelle.
\begin{answer}
  $\forall a \in A, \, a\in B$.
\end{answer}
\question[0,5] À quelle condition a-t-on $A \in \Parties(B)$~?
\begin{answer}
  Lorsque $A \subset B$.
\end{answer}
\question[2] Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des éléments de
$\Parties(\R)$~? Lesquels sont des parties de~$\Parties(\R)$~?
\[
  \emptyset, \qquad
  \ensemble{0, 1}, \qquad
  [0, 1], \qquad
  \ensemble{\emptyset}.
\]
\begin{answer}
  On a $\emptyset \in \Parties(\R)$ et $\emptyset \subset \Parties(\R)$, car
  l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble.

  On a $\ensemble{0, 1} \in \Parties(\R)$, car $0, 1 \in \R$, mais
  $\ensemble{0, 1} \not\subset \Parties(\R)$, car $0, 1 \notin \Parties(\R)$.

  De même, on a $[0, 1] \in \Parties(\R)$ par définition de l'intervalle
  $[0, 1] = \ensemble{x \in \R \; \big \vert \; 0 \leq x \leq 1}$, mais
  $[0, 1] \not\subset \Parties(\R)$.

  Enfin, on a $\ensemble{\emptyset} \subset \Parties(\R)$ car
  $\emptyset \in \Parties(\R)$, mais $\ensemble{\emptyset} \notin \Parties(\R)$
  car $\emptyset \notin \R$.
\end{answer}
\question[2] En utilisant vos réponses aux questions 1 et 2, démontrer
l'assertion suivante:
\[
A \subset B \: \Rightarrow \: \Parties(A) \subset \Parties(B).
\]
\begin{answer}
  Supposons que $A \subset B$, et soit $X$ un élément de $\Parties(A)$.

  D'après les questions 2 et 1 appliquées à $X$ et $A$, on a $X \subset A$,
  c'est-à-dire que tout élément de $X$ est élément de $A$.  Or par la première
  hypothèse, et en utilisant à nouveau la question 1, tout élément de $A$ est
  élément de $B$.

  On en déduit que tout élément de $X$ est élément de $B$.

  D'après les questions 1 et 2 appliquées à $X$ et $B$, on a $X \subset B$,
  c'est-à-dire $X \in \Parties(B)$.

  Enfin, d'après la question 1 appliquée à $\Parties(A)$ et $\Parties(B)$, on
  obtient $\Parties(A) \subset \Parties(B)$.  C.Q.F.D.

  \medskip
  On peut aussi déduire $X \subset B$ par transitivité de l'inclusion : on a
  $X \subset A \subset B$, donc $X \subset B$.
\end{answer}
\end{exo}

\begin{exo}
On considère l'ensemble $E = \ensemble{0,1,2}$ et les applications $f, g :
\Parties(E) \to \Parties(E)$ définies de la façon suivante:
\[
  f(X) = X \cup \ensemble{0,1}, \qquad g(X) = X \cap \ensemble{1,2}.
\]
\question[1] Écrire l'ensemble $\Parties(E)$ explicitement.
\begin{answer}
  $\Parties(E)=\ensemble{\emptyset, \ensemble{0}, \ensemble{1}, \ensemble{2},
    \ensemble{0,1}, \ensemble{0,2}, \ensemble{1,2}, E}$.
\end{answer}
\question[2] Déterminer les ensembles suivants : $\Im(f)$, $\Im(g)$ et les
images réciproques $f^{-1}(\ensemble{E})$ et $g^{-1}(\ensemble{E})$.
\begin{answer}
  Calculons explicitement les images des éléments de $\Parties(E)$ par les
  applications $f$ et $g$ :
  \[
    \begin{array}{c}
      f(\emptyset) = f(\ensemble{0}) = f(\ensemble{1}) = f(\ensemble{0,1}) =
      \ensemble{0,1}, \qquad
      f(\ensemble{2}) = f(\ensemble{0, 2}) = f(\ensemble{1, 2}) =
      f(E) = E,\\[2ex]
      g(\emptyset) = g(\ensemble{0}) = \emptyset, \qquad
      g(\ensemble{1}) = g(\ensemble{0,1}) = \ensemble{1}, \qquad
      g(\ensemble{2}) = g(\ensemble{0,2}) = \ensemble{2}, \qquad
      g(\ensemble{1,2}) = g(E) = \ensemble{1,2}.
    \end{array}
  \]
  On en déduit :
  \[
    \begin{array}{c}
      \Im(f) = f(\Parties(E)) = \ensemble{\ensemble{0, 1}, E} \qquad
      \Im(g) = g(\Parties(E)) = \ensemble{\emptyset, \ensemble{1},
                                          \ensemble{2}, \ensemble{1,2}},\\[2ex]
      f^{-1}(\ensemble{E}) = \ensemble{\ensemble{2}, \ensemble{0, 2},
                                       \ensemble{1, 2}, E}, \qquad
      g^{-1}(\ensemble{E}) = \emptyset.
    \end{array}
  \]
  En fait, on peut aussi écrire :
  \[
    \Im(f) = \ensemble{Y \in \Parties(E)\;\big\vert\;\ensemble{0, 1} \subset Y},
    \qquad
    \Im(g) = \Parties(\ensemble{1,2}),  \qquad
    f^{-1}(\ensemble{E}) = \ensemble{X \in \Parties(E)\;\big\vert\; 2\in X}.
  \]
\end{answer}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f : \R \to \R$ l'application définie par $f(x) = 4-x^2$.
\question[2] Exprimer les ensembles $\Im(f)$ et $f([-1,2])$ en termes
d'intervalles.
\begin{answer}
  L'application $f$ est croissante sur $]{-}\infty,0]$ et décroissante sur
  $[0,{+}\infty[$.  On a donc:
  \[
    \begin{array}{c}
      \Im(f) = f(\R) = f(]{-}\infty, 0]\cup[0, {+}\infty[) =
      f(]-\infty, 0]) \cup f([0, {+}\infty[) =
      {]-\infty, 4]} \cup {]{-}\infty, 4]} = {]-\infty, 4]},\\[2ex]
      f([-1,2]) = f([-1, 0] \cup [0, 2]) = f([-1, 0]) \cup f([0, 2]) =
      [3,4] \cup [0,4] = [0,4].
    \end{array}
  \]
\end{answer}
\question[2] De même, expliciter les images réciproques par $f$ des ensembles
$\ensemble{0}$, $\R_+$.
\begin{answer}
  Les racines du polynôme $f$ sont ${-}2$ et $2$, et il prend ses valeurs
  positives entre ${-}2$ et $2$.  On a donc:
  \[
    f^{-1}(\ensemble{0})=\ensemble{{-}2,2}, \qquad
    f^{-1}(\R_+)=[{-}2,2].
  \]
\end{answer}
\question[1] Donner une formule explicite pour la composée $g = f \circ f$.
\begin{answer}
  Pour tout $x \in \R$, on a
  $g(x) = f(f(x)) = f(4 - x^2) = 4 - (4-x^2)^2 = - x^4 + 8 x^2 - 12$.
\end{answer}
\question [2] Expliciter l'image réciproque de $\ensemble{0}$ par $g$.
\begin{answer}
  En utilisant le fait que $g = f \circ f$, on obtient
  $g^{-1}(\ensemble{0}) = f^{-1}(f^{-1}(\ensemble{0})) =
  f^{-1}(\ensemble{{-}2,2}) = \ensemble{\pm\sqrt{2},\pm\sqrt{6}}$.

  \medskip
  On peut aussi chercher les racines du polynôme $- t^2 + 8t -12$, avec
  $t = x^2$, puis en déduire les valeurs de $x$.
\end{answer}
\end{exo}

\end{document}
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%%% End:
