\documentclass[a4paper]{article}

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\def\anneeUniversitaire{2019-2020}
\def\dureeEpreuve{2h}
\def\dateEpreuve{Janvier 2020}
\def\anneeDiplome{L1}
\def\nomDiplome{Portail Descartes}
\def\codeModule{SPO1U03}
\def\nomModule{Langage Mathématique}
\siteLuminytrue\siteCharlestrue\siteMtperrintrue\sujetSemestreUntrue
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\newcommand \dps \displaystyle
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\N}{\mathbb N}

\newcommand{\et}{\text{ et }}
\newcommand{\ssi}{\text{ ssi }}
\newcommand{\impl}{\Rightarrow}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}

\newcommand{\Relat}{\mathscr{R}}
\newcommand{\Rel}{\mathrel{\mathscr{R}}}
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\addtolength{\parskip}{1ex}

%% C'est parti
\begin{document}

\insererEntete

\thispagestyle{empty}

\begin{exo}[Questions de cours]
Soient $\R$ muni de la relation d'ordre usuelle $\leqslant$, $A$ une partie
de $\R$ et $m$ un nombre réel. Donner les définitions suivantes:

\question[0,5] $m$ est un majorant de $A$,
\begin{answer}
  $m$ est supérieur ou égal à tout élément de $A$:
  $\forall x \in A, x \leq m$,

  [On n'est pas obligé de donner la réponse en langage courant et en langage
  formel : une seule formulation suffit.]
\end{answer}
\question[0,5] $m$ est la borne supérieure de $A$,
\begin{answer}
  $m$ est le plus petit majorant de $A$:
  $\forall x \in A, x \leq m \et \forall y \in \R, (\forall x \in A, x \leq y)
  \impl m \leq y$,
\end{answer}
\question[0,5] $m$ est le plus grand élément de $A$,
\begin{answer}
  $m$ est un élément de $A$ et un majorant de $A$:
  $m \in A \et \forall x \in A, x \leq m$,
\end{answer}
\question[0,5] $m$ est un élément maximal de $A$.
\begin{answer}
  $m$ est le seul élément de $A$ qui soit supérieur ou égal à $m$:
  $m \in A \et \forall x \in A, (m \leq x \impl m = x)$.
\end{answer}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$, et soit
$f: E \to \Parties(E) \setminus \{ \emptyset \}$ l'application donnée par
$f(n) = \{ k \in E \mid k \text{ divise } n \}$.  Soit
$g: \Parties(E) \setminus \{ \emptyset \} \to E$ l'application donnée par
$g(A) = \text{card}(A)$.

\question[2] Calculer $f(4)$ et $f(6)$. Également, calculer $g(E)$ et
$g(\{2, 4, 6\})$.
\begin{answer}
  On a $f(4) = \{1, 2, 4 \}$, $f(6) = \{1, 2, 3, 6 \}$, $g(E) = 6$ et
  $g(\{2, 4, 6\}) = 3$.
\end{answer}

\question[2] Donner l'ensemble image de $f$, puis justifier si elle est
injective et/ou surjective.
\begin{answer}
  On a
  $\text{Im}(f) = f(E) = \{ \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{1, 2, 4\}, \{1, 5\},
  \{1, 2, 3, 6\} \}$.

  L'application $f : E \to \Parties(E) \setminus \{ \emptyset \}$ est
  injective, car les images respectives des éléments de $E$ par $f$
  sont~distinctes, mais elle n'est pas surjective, car le singleton
  $\{2\} \in \Parties(E) \setminus \{ \emptyset \}$ n'a pas d'antécédent par
  $f$.
\end{answer}

\question[2] Préciser $\text{Im}(g \circ f)$. Montrer que $g \circ f$ n'est
ni injective ni surjective.
\begin{answer}
  On a $\text{Im}(g \circ f) = g(\text{Im}(f)) = \{1, 2, 3, 4\}$.
  L'application $g \circ f : E \to E$ n'est pas injective, car on a
  $(g \circ f)(2) = 2 = (g \circ f)(3)$, et elle n'est pas non plus
  surjective, car 5 n'a pas d'antécédent par $g \circ f$.
\end{answer}

\question[1] Déterminer $f^{-1}(\{\{1,5\}\})$.
\begin{answer}
  On a $f^{-1}(\{\{1,5\}\}) = \{ x \in E \mid f(x) = \{1,5\} \} = \{ 5 \}$.
\end{answer}
\end{exo}

\begin{exo} Soit $a\in\R$, et soit $f_a : \R \to \R$ l'application
définie par
\[
f_a(x):=\left\{
  \begin{array}{lcl}
    1 + \frac{1}{x}	& \text{si}	& x \ne 0 \\
    a			& \text{si}	& x= 0.
  \end{array}\right.
\]
\question[2] Montrer que $f_a$ est strictement décroissante sur
$]{-\infty},0[$ et sur $]0,{+\infty}[$.  Est-ce que $f_a$ est strictement
décroissante sur $\R^\ast$ ? Justifier votre réponse.
\begin{answer}
  Si $x \neq 0$, alors on a $f'_a(x) = - \frac 1 {x^2} < 0$, donc l'application
  $f_a$ est strictement décroissante sur chacun des intervalles
  $]{-\infty}, 0[$ et $]0, {+\infty}[$, mais pas sur leur union $\R^\ast$, car
  on a $-1 < 1$ et $f(-1) = 0 \leq 2 = f(1)$.
\end{answer}

\question[2] Montrer que $f_a$ est majorée sur $]{-\infty},0[$, et minorée
sur $]0,{+\infty}[$.  Préciser
$\hspace{-0.75em} \dps \sup_{x\in ]{-\infty},0[} f_a(x)$ et
$\hspace{-0.75em} \dps \inf_{x\in ]0,{+\infty}[} f_a(x)$.

\begin{answer}
  Si $x < 0$, alors $\frac 1 x < 0$ d'où $f_a(x) = 1 + \frac{1}{x} < 1$.
  Ainsi, $f_a$ est (strictement) majorée par 1 sur~$]{-\infty},0[$.  De plus,
  on a $\dps \lim_{x \to {-\infty}} f_a(x) = 1$, donc 1 est le plus petit des
  majorants de $f_a$ sur $]{-\infty},0[$.

  De même, si $x > 0$, alors $\frac 1 x > 0$ d'où
  $f_a(x) = 1 + \frac{1}{x} > 1$.  Ainsi, $f_a$ est (strictement) minorée par 1
  sur $]0,{+\infty}[$.  De plus, on a $\dps \lim_{x \to {+\infty}} f_a(x) = 1$,
  donc 1 est le plus grand des minorants de $f_a$ sur $]0,{+\infty}[$.

  Autrement dit, on a
  $\hspace{-0.5em} \dps \sup_{x \in ]{-\infty},0[} f_a(x) = 1 = \hspace{-0.5em}
  \inf_{x \in ]0,{+\infty}[} f_a(x)$.
\end{answer}

\question[2] Préciser $f_a(]{-\infty},0[)$ et $f_a(]0,{+\infty}[)$ en
justifiant vos réponses.
\begin{answer}
  Comme $f_a$ est continue et strictement décroissante sur chacun des
  intervalles $]{-\infty}, 0[$ et $]0, {+\infty}[$, et~comme on a
  $\dps \lim_{x \to {-\infty}} f_a(x) = 1$,
  $\dps \lim_{x \to 0^{-}} f_a(x) = {-\infty}$,
  $\dps \lim_{x \to 0^{+}} f_a(x) = {+\infty}$, et
  $\dps \lim_{x \to {+\infty}} f_a(x) = 1$, on obtient :
  \[
    f_a(]{-\infty},0[) = ]{-\infty},1[, \qquad f_a(]0,{+\infty}[) =
    ]1,{+\infty}[.
  \]
\end{answer}

\question[1] En déduire l'ensemble image de $f_a$, puis déterminer
$a \in \R$ tel que $f_a$ soit surjective, en justifiant votre réponse.
\begin{answer}
  On a
  $\text{Im}(f_a) = f_a(\R) = ]{-\infty},1[ \, \cup \, \{ a \} \, \cup \,
  ]1,{+\infty}[$.  Il y a donc deux cas:
  \begin{itemize}
  \item si $a = 1$ alors
    $\text{Im}(f_a) = ]{-\infty},1[ \, \cup \, \{ 1 \} \, \cup \, ]1,{+\infty}[
    = \R$ ;
  \item si $a \ne 1$ alors $a \in ]{-\infty},1[ \, \cup \, ]1,{+\infty}[$, d'où
    $\text{Im}(f_a) = ]{-\infty},1[ \, \cup \, ]1,{+\infty}[ \ne \R$.
  \end{itemize}
  Ainsi, $f_a$ est surjective pour $a = 1$.
\end{answer}

\question[2] Montrer que $f_1$ est bijective, et préciser l'application
réciproque $f_1^{-1}$.
\begin{answer}
  On sait déjà que l'application $f_1 : \R \to \R$ est strictement
  décroissante, et donc injective, sur chacun des intervalles $]{-\infty}, 0[$
  et $]0, {+\infty}[$.  Comme les trois images $f_1(]{-\infty},0[)$,
  $f_1(\{ 1 \})$, et $f_1(]0,{+\infty}[)$ sont disjointes, on en déduit
  facilement que $f_1$ est injective.

  Ainsi, $f_1$ est bijective, et la formule de sa réciproque $y = f_1^{-1}(x)$
  s'obtient en exprimant $y$ à partir de $x$ sachant que $x = f_1(y)$.  Il y a
  deux cas :
\begin{itemize}
\item si $x = 1$, alors $y = 0$ ;
\item si $x \neq 1$, alors $x = 1 + \frac 1 y$, c'est-à-dire
  $\frac 1 y = x - 1$, c'est-à-dire $y = \frac 1 {x - 1}$.
\end{itemize}
\end{answer}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f : \R \to \R$ l'application définie par $f(x)=\cos(x)$.

\question[2] Préciser les classes d'équivalence de $0$ et $\frac{\pi}{3}$
par rapport à la relation d'équivalence $\Relat_f$ associée à $f$.

\begin{answer}
  On a $\cos 0 = 1$ et $\cos \frac{\pi}{3} = \frac 1 2$, donc les classes
  d'équivalence de $0$ et $\frac{\pi}{3}$ par rapport à $\Relat_f$ sont :
  \[ [0] = \{ x \in \R \mid \cos x = 1 \} = 2 \pi \R, \qquad \textstyle \left [
      \frac{\pi}{3} \right ] = \left \{ x \in \R \mid \cos x = \frac 1 2 \right
    \} = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi \R.
  \]
\end{answer}

\question[2] Justifier précisément qu'il existe une bijection
  $\varphi : \R/\Relat_f \to [-1,1]$.
\begin{answer}
  Par construction du quotient $\R / \Relat_f$, l'application $f : \R \to \R$
  induit une injection $\tilde f : \R / \Relat_f \to \R$, définie par
  $\tilde f([x]) = f(x)$ pour tout $x \in \R$.  On a
  $\text{Im}(\tilde f) = \text{Im}(f) = [-1,1]$, et en restreignant
  l'ensemble~d'arrivée, on obtient une bijection
  $\varphi : \R / \Relat_f \to [-1,1]$.
\end{answer}
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $E = \{3^n \mid n \in \N \}$ et $F = \{5^n \mid n \in \N \}$.
\question[2] Montrer que la relation $\Relat$ sur $E$
\[
  x \Rel y \quad \ssi \quad x \text{ divise } y
\]
est une relation d'ordre sur $E$.
\begin{answer}
  On sait que la divisibilité définit une relation d'ordre sur $\N^\ast$ [ou
  sur $\N$].  Par restriction, on obtient une relation d'ordre sur
  $E \subset \N^\ast$.

  [On pouvait aussi décrire explicitement la relation $\Relat$ :
  \[
    3^p \Rel 3^q \quad \ssi \quad p \leq q.
  \]
  Ainsi, la relation $\Relat$ sur $E$ correspond à l'\emph{ordre canonique}
  $\leq$ sur $\N$.]
\end{answer}

\question[1] Montrer que cette relation est une relation d'ordre total sur
$E$.
\begin{answer}
  Si $p, q \in \N$, alors on a $p \leq q$ ou $q \leq p$, donc
  $3^p \text{ divise } 3^q$ ou $3^q \text{ divise } 3^p$.

  [Comme l'ordre canonique est total sur $\N$, l'argument précédent montre
  aussi que $\Relat$ est un ordre total sur $E$.]
\end{answer}

\question[1] Montrer que la divisibilité définit une relation d'ordre
partiel (c'est-à-dire non total) sur $E \, \cup \, F$.  (On admettra que
c'est une relation d'ordre sur $E \, \cup \, F$.)
\begin{answer}
  La divisibilité ne définit pas un ordre total sur $E \, \cup \, F$ : on a
  $3, 5 \in E \, \cup \, F$, mais 3 et 5 sont incomparables pour la
  divisibilité.
\end{answer}
\end{exo}
\end{document}