\documentclass{article}

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\usepackage{ifthen}

%% L'environnement exo

\newcommand{\priosymb}{\clubsuit}
\newcommand{\exoprio}{}

\newcounter{Exo}
\newenvironment{exo}[1][]{%
  \refstepcounter{Exo}
  \medskip\noindent%
  {\textbf{\textsc{Exercice~\arabic{Exo}}}}
  \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{(#1)} \exoprio
  \par\nobreak
}{%
  \par\setlength{\leftskip}{0pt}
}

% Exo prioritaire
\newenvironment{exop}[1][]{%
  \renewcommand{\exoprio}{$\priosymb$}
  \begin{exo}[#1]}
{%
  \end{exo}
}

\newcounter{Question}[Exo]
\newcommand{\question}{%
  \refstepcounter{Question}%
  \par\smallskip\setlength{\leftskip}{0pt}
  \nobreak\arabic{Question}.\kern1.5ex}

\newcommand{\inlq}{% question inline
  \refstepcounter{Question}%
  \nobreak\arabic{Question}.\kern1.5ex
}

\newcounter{SubQuestion}[Question]
\renewcommand{\theSubQuestion}{(\alph{SubQuestion})}
\newcommand\sousquestion{%
  \refstepcounter{SubQuestion}%
  \par\setlength{\leftskip}{2em}
  \nobreak\hspace{-1em}\theSubQuestion\kern1.5ex}

%% Mise en page
\setcounter{secnumdepth}{1}
\parindent0pt

%% Le titre de la planche
\newcommand{\titreTD}{
  \thispagestyle{empty}
  \par
  Université d'Aix-Marseille \hfill \filiere\\
  {\semestre}\hfill{\annee}

  \bigskip
  \noindent
  \framebox[\textwidth]{
    \vbox{
      \begin{center}
        \textbf{\planche}\\
        {\titreplanche}
      \end{center}
    }
  }
}

% En-tête
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[C]{\small\slshape%
  \textsc{\ue~--~\planche}~--~{\titreplanche}}
\fancyhead[R]{}

\newcommand{\annee}{\oldstylenums{2019}-\oldstylenums{2020}}
\newcommand{\filiere}{Portail Descartes}
\newcommand{\semestre}{Semestre~1}
\newcommand{\ue}{Langage mathématique}
\newcommand{\planche}{Planche~2}
\newcommand{\titreplanche}{Vocabulaire de la théorie des ensembles}

%%
% Définitions locales à cette planche

%---- Ensemble : entiers, reels, complexes... ----

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\usepackage{mathrsfs}
\newcommand{\Rel}{\mathrel{\mathscr{R}}}
\newcommand{\diffsym}{\mathop{\Delta}}
\newcommand{\Parties}{\mathscr{P}}
\newcommand{\compl}[1]{{^c#1}}

%---- Modifications de symboles -----
\renewcommand {\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand {\le}{\leqslant}
\renewcommand {\ge}{\geqslant}
\renewcommand {\leq}{\leqslant}
\renewcommand {\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\setminus}{\smallsetminus}

\begin{document}

\titreTD

\section{Inclusion, égalité, réunion, intersection, complémentaire}

Pour tout sous-ensemble $X \subset E$ on dénote le complément $E \setminus X$
par $\compl{X}$.

% \begin{exo}
% Dans l'ensemble $\N$ des nombres naturels, soit $A$ le sous-ensemble
% des diviseurs de 45 et soit $B$ celui des diviseurs de 165. Déterminer $A$,
% $B$, $A\cap B$ et $A\cup B$. Même question pour $A'$ et $B'$ définis de la
% même fa\c{c}on que $A$ et $B$ mais comme sous-ensembles de l'ensemble
% $\Q$ des nombres rationnels.
% \end{exo}

% \begin{exo}
% Dans l'ensemble $E$ des lettres de l'alphabet, donner le sous-ensemble $A$
% des lettres du mot «~discontinue~» et celui $B$ des lettres du mot
% «~perpendiculaire~». Déterminer $A\cup B$, $A\cap B$, $A\setminus B$,
% $B\setminus A$, $\compl{A}$ et $\compl{B}$.
% \end{exo}

\begin{exo}
Soit $E=\{a,b,c,d\}$. Pour chaque paire d'objets, déterminer si le premier
appartient ($\in$) ou pas ($\not\in$) ou alors s'il est contenu ($\subset$) ou
pas ($\not\subset$) dans le deuxième.
\begin{center}\setlength{\tabcolsep}{4em}
\begin{tabular}{*{3}{l}}
\inlq $a$, $E$~; &
\inlq $E$, $E$~; &
\inlq $\{a\}$, $\{a,c\}$~; \\
\inlq $\{c\}$, $\{a,b\}$~; &
\inlq $\emptyset$, $\{b,c\}$~; &
\inlq $b$, $\{a,c\}$~; \\
\inlq $\{a,b\}$, $\{a,c,d\}$.
\end{tabular}
\end{center}
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer toutes les inclusions et toutes les identités entre les
ensembles suivants~:
\[
A=\{x\in\Q : x\le 0\}, \quad
B=\{a/b : a,b\in\Z,\ b\neq 0 \text{ et } b \text{ pair}\}, \quad
C=\{y\in\R : y^2=-4\}, \quad
D=\Q, \quad
E=\emptyset.
\]
\end{exo}

% \begin{exo}
% Définir en termes d'intervalles les ensembles suivants~:
% \question $A=\{x\in \R : |x-1|\le |x+3|\}$,
% \question $B=\{x\in \R : |x^2-2x-3|>2x+1\}$,
% \question $C=\{x\in \R : |x-|x+1||<2\}$.
% \end{exo}

\begin{exo}
Soient $A$, $B$, $C$ des sous-ensembles d'un ensemble $E$. Montrer les
affirmations suivantes~:

\begin{center}\setlength{\tabcolsep}{4em}
\begin{tabular}{*{2}{l}}
\inlq $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$. &
\inlq $A\subset B \Leftrightarrow \compl{B}\subset \compl{A}$.\\
\inlq $\compl{(A\cup B)}=\compl{A}\cap \compl{B}$. &
\inlq $\compl{(A\cap B)}=\compl{A}\cup \compl{B}$.\\
\inlq $A\cup B=B \Leftrightarrow A\cap B=A$
\end{tabular}
\end{center}
\end{exo}

\begin{exo}
Expliciter les ensembles suivants :
\vspace{-0.5ex}
\[
\begin{array}{c}
E=\{x\in[0,1]\mid\exists n\in{\Bbb N}^*: x<1/n\}, \quad
F=\{x\in[0,1]\mid\forall n\in{\Bbb N}^*\ x<1/n\}, \vspace{1ex} \\
G=\{x\in[0,1]\mid\exists n\in{\Bbb N}^*:x\ge1/n\}, \quad
H=\{x\in[0,1]\mid\forall n\in{\Bbb N}^*\ x\ge1/n\}.
\end{array}
\]
\end{exo}

\section{Ensemble des parties}

\begin{exo}
\question Donner une liste de tous les sous-ensembles de l'ensemble $\{1,2,3\}$.
Même question pour l'ensemble $\{a,b,c,d\}$.

\question Donner une liste de tous les éléments de l'ensemble
$\Parties(\Parties(\{0,1\}))$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $E$ et $F$ deux ensembles.

\question Comparer par inclusion $\Parties(E)\cap \Parties(F)$ et
$\Parties(E\cap F)$.

\question Même question pour $\Parties(E)\cup \Parties(F)$ et $\Parties(E\cup
F)$.
\end{exo}

\section{Produit cartésien}

% \begin{exo}
% Trouver tous les éléments de l'ensemble $A\times B$, où $A=\{a,b,c\}$ et
% $B=\{d,e,f,g\}$.
% \end{exo}

\begin{exo}\label{exo-graphes}
Soient $A$, $B$, $C$, $D$ les ensembles $A=[1,4]$, $B=[3,6]$, $C=[2,5]$ et
$D=\{2\}$.

\question Tracer dans $\R$ les ensembles suivants~: $A\cup C$, $A\cap
B$, $A\setminus D$.

\question\label{graphes} Tracer dans $\R^2$ les ensembles suivants~: $(A\cap
B)\times A$, $\compl{B}\times(A\cup C)$, $(A\setminus D)\times D$.
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que $D=\{(x,y)\in\R^2; x^2+y^2\le1\}$ ne peut pas s'écrire comme le
produit cartésien de deux parties~de~$\R$.
\end{exo}

% \section{Relations}

% \begin{exo}
% Dans les cas suivants, déterminer la relation $\Rel$ entre $A$ et $B$ définie
% par

% \question $A=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $B=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$ et
% ${\Rel}=\{(a,b)\in A\times B : a \text{ divise } b\}$~: donner tous les
% éléments de $\Rel$.

% \question $A=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $B=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$ et
% ${\Rel}=\{(a,b)\in A\times B : a+b \text{ premier }\}$~: donner tous les
% éléments de $\Rel$.

% \question $A=B=\R$ et ${\Rel}=\{(a,b)\in A\times B : b=\sin a \}$~: faire
% un dessin de $\Rel$ dans le plan $\R^2$.

% \question $A=B=\R$ et ${\Rel}=\{(a,b)\in A\times B : b\ge a^2+1 \}$~:
% faire un dessin  de $\Rel$ dans le plan $\R^2$.

% \question $A=B=\Parties(\{0,1\})$ l'ensemble des parties de l'ensemble
% $\{0,1\}$ et ${\Rel}=\{(a,b)\in A\times B : a\subset b\}$~: donner tous les
% éléments de $\Rel$.

% \question $A=B=\R$ et ${\Rel}=\{(a,\ln a)\in A\times B : a>0 \}$~: faire
% un dessin de $\Rel$ dans le plan $\R^2$.
% \end{exo}

% \begin{exo}
% \question Pour une relation $\Rel$ sur $A$ rappeler les définitions de la
% condition

% \sousquestion $\Rel$ est réflexive,

% \sousquestion $\Rel$ est symétrique,

% \sousquestion $\Rel$ est antisymétrique,

% \sousquestion $\Rel$ est transitive.

% \question Écrire chacune de ces propriétés en utilisant les deux notations:
% $(x,y)\in {\Rel}$, $x\Rel y$.

% \question Pour les relations suivantes sur $\N^*$ déterminer quelles propriétés
% de cette liste sont vérifiées, et déduire pour chacune de ces relations s'il
% s'agit d'une relation d'équivalence ou d'ordre.  Est-ce qu'elles sont des
% graphes de fonctions ou d'applications~?

% \sousquestion  ${\Rel}=\{(a,b)\in \N^*\times \N^* :
% a \text{ divise } b\}$,

% \sousquestion ${\Rel}=\{(a,b)\in \N^*\times \N^* : a+b
% \text{ est pair}\}$,

% \question Même question pour les relations de l'exercice précédent, et pour
% celles données dans la question~\ref{graphes} de l'exercice~\ref{exo-graphes}.
% \end{exo}

% \begin{exo}
% Étudier les propriétés des relations suivantes~:

% \question $x \Rel y$ lorsque $xy > 0$ considérée comme relation sur
% $\R$, puis comme relation sur $\R^*$.

% \question $f \Rel g$ lorsque $\exists x\in\R$, $f (x) = g(x)$,
% considérée comme relation sur l'ensemble des applications de $\R$ dans $\R$.

% \question $x \Rel y$ lorsque ($\exists n \in \N^*$ $y = x^n$ ),
% considérée comme relation sur $\N$.
% \end{exo}

% \begin{exo}
% Soit ${\Rel}\subset A\times A$ une relation sur $A$, où $A$ est un ensemble non
% vide.  Montrer que si $\Rel$ est symétrique et transitive, alors $a \Rel b
% \Rightarrow a \Rel a$. Est-ce qu'une relation symétrique et transitive
% est nécessairement réflexive~?
% \end{exo}

% \begin{exo}
% Soit $A$ un ensemble non vide et ${\Rel}\subset A\times A$ une relation sur $A$. Si
% elle est une relation d'équivalence et une relation d'ordre a la fois, que
% peut-on dire de $\Rel$~?
% \end{exo}

% \begin{exo}
% Soit $n\in\Z$, $n\neq 0$. Montrer que la relation sur $\Z$ définie par $a
% \Rel b$ si et seulement si le reste de la division de $a$ par $n$ est le
% même que celui de la division de $b$ par $n$, est une relation d'équivalence.
% \end{exo}

% \begin{exo}
% Soit $E$ un ensemble. Expliquer pourquoi la relation $\Rel$ sur $\Parties(E)$
%  définie par $X  \Rel Y$ si et seulement si $X\subset Y$ est une
% relation d'ordre partiel. Déterminer les cas où elle est une relation
% d'ordre total.
% \end{exo}

% \begin{exo}
% Montrer que la relation $\Rel$ sur $\R$ définie par $a \Rel b$ si et
% seulement si $a\le b$ est une relation d'ordre total.
% \end{exo}

% \begin{exo}
% Soient $E$ un ensemble non vide, $\emptyset \neq A\subset E$ un sous-ensemble
% de $E$, et ${\Rel}\subset E\times E$ une relation sur $E$. On considère la
% relation $\Rel_A$ sur $A$ définie par $\Rel_A = {\Rel}\cap (A\times A)$.
% Monter que si $\Rel$ est une relation d'équivalence (respectivement d'ordre)
% alors il en est de même pour $\Rel_A$. Que peut-on dire de la réciproque~?
% Même question pour $\Rel$ graphe d'une fonction ou d'une application.
% \end{exo}

% \begin{exo}
% Soient $A$ un ensemble non vide et $f:A\longrightarrow A$ une application. Que
% peut-on dire de $f$ pour que le graphe $G_f\subset A\times A$ de $f$ soit une
% relation d'équivalence~?
% \end{exo}

% \begin{exo}
% Soit $f:A\longrightarrow B$ une application entre deux ensembles non
% vides. Montrer que la relation $\Rel_f$ sur $A$ définie par $a \Rel_f a'$
% si et seulement si $f(a)=f(a')$, est une relation d'équivalence sur $A$.
% \end{exo}

% \begin{exo}
% On considère l'ensemble $\Z$ des entiers, $n>1$ est un entier fixé, et la
% relation $\Rel$ sur $\Z$ donnée par~: $a \Rel b$ si et seulement si $a-b$
% est un multiple de $n$.

% \question Montrer qu'il s'agit d'une relation d'équivalence.

% \question Montrer que cette relation d'équivalence est compatible avec la
% somme et le produit de $\Z$, à savoir si $a \Rel b$ et $c \Rel
% d$, alors $(a+c) \Rel (b+d)$ et $(ac) \Rel (bd)$.
% \end{exo}

% \begin{exo}
% \question On considère sur $\R^2$, la relation $(x, y) \Rel (x', y')$ si
% et seulement si ($x\le x'$ et $y \le y'$) appelée «~ordre produit~». Dans le
% plan, dessiner l'ensemble des points $(x, y)$ tels que $(2, 4) \Rel (x,
% y)$, puis puis l'ensemble des points $(x, y)$ tels que $(x, y) \Rel (2,
% 4)$. Cet ordre est-il total~?

% \question Montrer que sur $\R^2$, la relation $(x, y) \Rel (x', y')$ si
% et seulement si ($x < x'$ ou ($x = x'$ et $y \le y'$)) est une relation
% d'ordre, appelée «~ordre lexicographique~». Dans le plan, dessiner l'ensemble
% des points $(x, y)$ tels que $(2, 4) \Rel (x, y)$, puis l'ensemble
% des points $(x, y)$ tels que $(x, y) \Rel (2, 4)$. Cet
% ordre est-il total~?
% \end{exo}

\section{Exercices complémentaires}

\begin{exo}
Soit ${[t,\infty[} = \{x\in \R,\ x\ge t \}$. Calculer
$A=\bigcup_{t\in \R}{[t,\infty[}$ et $B=\bigcap_{t\in \R}{[t,\infty[}$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E=\{a,b,c,d\}$. Pour chaque paire d'objets, déterminer si le premier
appartient ($\in$) ou pas ($\not\in$) ou alors s'il est contenu ($\subset$) ou
pas ($\not\subset$) dans le deuxième. Seules les réponses cohérentes sont
demandées. Plusieurs réponses sont possibles.
\begin{center}\setlength{\tabcolsep}{4em}
  \begin{tabular}{*{3}{l}}
    \inlq $a$, $\emptyset$;   & \inlq $E$, $E$; & \inlq $\{a\}$, $\{a,c\}$;\\
    \inlq $\{c\}$, $\{a,b\}$; & \inlq $\emptyset$, $\{b,c\}$;
                              & \inlq $\emptyset$, $\{\emptyset, E\}$;\\
    \inlq $E$, $\Parties(E)$; & \inlq $\emptyset$, $\Parties(E)$;
                              & \inlq $\{\emptyset, E\}$, $\Parties(E)$.
  \end{tabular}
\end{center}
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $A$, $B$, $C$ des sous-ensembles d'un ensemble $E$. Montrer les
affirmations suivantes~:

\question $A\cup B\cup C =
  (A\setminus B)\cup(B\setminus C)\cup(C\setminus A)\cup(A\cap B\cap C)$.

\question Si $A\cup B\subset A\cup C$ et $A\cap B\subset A\cap C$ alors
  $B\subset C$. Que peut-on dire de l'autre implication réciproque~?
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $A$ et $B$ deux sous-ensembles d'un ensemble fini $E$. On sait que
$58\%$ des éléments de $E$ appartiennent à $A$ et $78\%$ à $B$. Que
peut-on dire du pourcentage d'éléments de $E$ qui appartiennent à $A\cap
B$?
\end{exo}

\begin{exo}
\question Montrer par récurrence qu'un ensemble à $n$ éléments possède
  $2^n$ sous-ensembles.

\question Montrer par récurrence qu'un ensemble à $n$ éléments possède
  ${n}\choose{k}$ sous-ensembles ayant $k$ éléments, $k=0,\dots,n$. En
  déduire l'égalité $\sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} =2^n$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $A,B\subset E$ et $C,D\subset F$ des ensembles non vides.

\question Montrer par double inclusion que $\compl{(A\times C)} =
  (\compl{A}\times C)\cup(A\times \compl{C})\cup(\compl{A}\times \compl{C})$.

\question Montrer que $A\times(C\cup D) = (A\times
  C)\cup(A\times D)$ et $A\times(C\cap D) = (A\times C)\cap(A\times D)$.

\question A-t-on les égalités suivantes~? $(A\cap B)\times (C\cap D)=A\times
  C\cap B\times D$~; $(A\cup B)\times (C\cup D)= A\times C\cup B\times D$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E$ un ensemble. On appelle \emph{topologie sur $E$} un sous-ensemble
$T$ de $\Parties(E)$ satisfaisant~: (i) $\emptyset\in T$ et $E\in T$, (ii)
si $A, B\in T$ alors $A\cap B\in T$, (iii) si $V\subset T$ alors $\cup_{A\in
V}A\in T$. Pour les ensembles $E$ suivants, montrer que le $T$ specifié est
bien une topologie sur $E$~:

\question $E$ quelconque (non vide) et $T=\{\emptyset, E\}$ (\emph{topologie
triviale}).

\question $E$ quelconque (non vide) et $T=\Parties(E)$ (\emph{topologie
discrète}).

\question $E=\N$ et $T=\{ \{k\in \N : k\le n\} : n\in{\mathbb
  N} \}\cup\{\emptyset,\N\}$.

\question $E$ quelconque, non vide et $T=\{ A\subset E : \compl{A} \text{ est un
ensemble fini}\}\cup\{\emptyset\}$ (\emph{topologie des compléments finis}).
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E$ un ensemble et soit $\Parties(E)$ l'ensemble des parties de $E$.
Pour $A$ et $B$ dans $\Parties(E)$, on appelle différence symétrique de
$A$ par $B$ l'ensemble, noté $A\diffsym  B$, défini par~:
$A\diffsym B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$.

\question Montrer que $A\diffsym B  = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$.

\question Calculer $A\diffsym A$, $A\diffsym \emptyset$, $A\diffsym E$ et
$A\diffsym \compl{A}$.

\question Pour tous $A$, $B$ et $C$ dans $\Parties(E)$ montrer~:
\sousquestion $\compl{((A \cap \compl{B}) \cup (B \cap \compl{A}))} =
(\compl{A} \cap \compl{B}) \cup (A \cap B)$~;
\sousquestion\label{ternaire} $(A\diffsym B)\diffsym C = (A \cap \compl{B} \cap
\compl{C}) \cup (B \cap \compl{C} \cap \compl{A}) \cup (C \cap \compl{A} \cap
\compl{B}) \cup (A \cap B \cap C)$~;
\sousquestion $A\diffsym (B\diffsym C)= (B\diffsym C)\diffsym A$~;
\sousquestion $(A\diffsym B)\diffsym C= (B\diffsym C)\diffsym A$
(utiliser~\ref{ternaire})~;
\sousquestion $A\diffsym (B\diffsym C)=(A\diffsym B)\diffsym C$.
\end{exo}
\end{document}
