\documentclass{article}

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\usepackage{ifthen}

%% L'environnement exo

\newcommand{\priosymb}{\clubsuit}
\newcommand{\exoprio}{}

\newcounter{Exo}
\newenvironment{exo}[1][]{%
  \refstepcounter{Exo}
  \medskip\noindent%
  {\textbf{\textsc{Exercice~\arabic{Exo}}}}
  \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{(#1)} \exoprio
  \par\nobreak
}{%
  \par\setlength{\leftskip}{0pt}
}

% Exo prioritaire
\newenvironment{exop}[1][]{%
  \renewcommand{\exoprio}{$\priosymb$}
  \begin{exo}[#1]}
{%
  \end{exo}
}

\newcounter{Question}[Exo]
\newcommand{\question}{%
  \refstepcounter{Question}%
  \par\smallskip\setlength{\leftskip}{0pt}
  \nobreak\arabic{Question}.\kern1.5ex}

\newcounter{SubQuestion}[Question]
\newcommand\sousquestion{%
  \refstepcounter{SubQuestion}%
  \par\setlength{\leftskip}{2em}
  \nobreak\hspace{-1em}(\alph{SubQuestion})\kern1.5ex}

%% Mise en page
\setcounter{secnumdepth}{1}
\parindent0pt

%% Le titre de la planche
\newcommand{\titreTD}{
  \thispagestyle{empty}
  \par
  Université d'Aix-Marseille \hfill \filiere\\
  {\semestre}\hfill{\annee}

  \bigskip
  \noindent
  \framebox[\textwidth]{
    \vbox{
      \begin{center}
        \textbf{\ue{} -- \planche} --
        {\titreplanche}
      \end{center}
    }
  }
}

% En-tête
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{\small\textbf{\ue} -- \planche}
\fancyhead[R]{\small\slshape\titreplanche}

%%
% Définitions locales à cette planche

%---- Ensemble : entiers, reels, complexes... ----

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}

\usepackage{mathrsfs}
\newcommand{\Rel}{\mathrel{\mathscr{R}}}
\newcommand{\diffsym}{\mathop{\Delta}}
\newcommand{\Parties}{\mathscr{P}}
\newcommand{\compl}[1]{{^c#1}}

\newcommand{\et}{\text{ et }}
\newcommand{\ou}{\text{ ou }}
\newcommand{\si}{\text{si }}
\newcommand{\alors}{\text{ alors }}

%---- Modifications de symboles -----
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand {\Im}{\mathrm{Im}}
\renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}}

\newcommand{\dps}{\displaystyle}

\newcommand{\annee}{\oldstylenums{2019}-\oldstylenums{2020}}
\newcommand{\filiere}{Portail Descartes}
\newcommand{\semestre}{Semestre~1}
\newcommand{\ue}{Langage mathématique}
\newcommand{\planche}{Planche~4}
\newcommand{\titreplanche}{Relations d'ordre}

\begin{document}

\titreTD

%%%%%
\section{Relations binaires}
%%%%%

\begin{exo}
Parmi les relations suivantes sur $\R$, lesquelles sont des relations d'ordre?
\question $x\Rel y$ si et seulement si $e^x\leq e^y$
\question $x\Rel y$ si et seulement si $|x|\leq |y|$
\question $x\Rel y$ si et seulement si $x-y\in\N$
\question $x\Rel y$ si et seulement si $x-y\in\Z$
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $E$ un ensemble et $\alpha$ un point de $E$ fixé.
Pour les relations suivantes sur $\Parties(E)$, dire lesquelles sont des
relations d'ordre:
\question $A\Rel B$ si et seulement si $A=B$
\question $A\Rel B$ si et seulement si $A\subset B$
\question $A\Rel B$ si et seulement si $\alpha\in A\cap\compl{B}$
\question $A\Rel B$ si et seulement si $\alpha\in A\cup\compl{B}$
\question $A\Rel B$ si et seulement si ($A=B \ \mathrm{et}\ \alpha\in A$) ou
  $\alpha\in A\cap\compl{B}$
\end{exo}

\begin{exo}
On définit une relation binaire $\preccurlyeq$ sur $\R_+^*$ par~:
$$x\preccurlyeq y \iff \exists n\in\N, \ y=x^n.$$
Montrer que $\preccurlyeq$ est une relation d'ordre. Cet ordre est-il total~?
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $\Rel$ la relation définie sur $]1,+\infty[$ par~:
$$x\Rel y \iff \frac{x}{1+x^2} \geq  \frac{y}{1+y^2}.$$
Montrer que $\Rel$ est une relation d'ordre total.
\end{exo}


%%%%%
\section{Majorant, minorant, borne supérieure et borne inférieure}
%%%%%

\begin{exo}
Soit $E$ un sous ensemble de $\R$ et $r$ un réel, écrire avec des
quantificateurs les propriétés suivantes~:

\question $5$ est un minorant de $E$,
\question $5$ est le plus petit élément de $E$,
\question $5$ est la borne inférieure de $E$,
\question $r$ n'est pas un majorant de $E$,
\question $E$ n'admet pas de minorant,
\question $E$ n'est pas minoré.
\end{exo}

\begin{exo}
Étudier l'existence du plus grand élément, du plus petit élément, de la borne
inférieure et de la borne supérieure des ensembles suivants pour la relation
d'ordre usuelle $\leq$.
\question $E_1={[-2,2]}$,
\question $E_2={[-2,2]}\cap \N$,
\question $E_3={[-2,7[}\cap \Q$,
\question $E_4=\{1-\frac{1}{n},\, n\in\N^*\}$,
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E$ un ensemble, et soit $(\Parties(E),\subset)$ l'ensemble des parties de
$E$ ordonné par l'inclusion.
\question Démontrer que le maximum de $\Parties(E)$ est
$E$, et le minimum de $\Parties(E)$ est $\emptyset$.
\question Supposons que $E$ a au moins deux éléments, et posons
$\Parties^*(E):= \Parties(E)\setminus\{\emptyset,E\}$. Préciser les éléments
maximaux et les éléments minimaux de $(\Parties^*(E),\subset)$. Est-ce que les
éléments maximaux (minimaux) de cet ensemble ordonné sont des maximums
(respectivement minimums)?
\end{exo}

\begin{exo}
On considère $\N^*$ muni de la relation de divisibilité définie par~:
$\forall a,b\in\N^*, \ a\mid b \iff \exists k\in\N, b=ka.$
\question Vérifier que la relation de divisibilité est une relation d'ordre sur
$\N^*$.
\question Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels. Déterminer $\sup\{a,b\}$ et
$\inf\{a,b\}$.
\question L'ensemble $A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ admet-il un plus
grand élément ou un plus petit élément par rapport à la relation de
divisibilité~? Quels sont les éléments minimaux et les éléments maximaux de $A$
par rapport à cette relation~?
\question L'ensemble $\N^*$ admet-il un plus grand élément~?
\question L'ensemble $\N^*$ admet-il un plus petit élément~?
\question Formuler et répondre aux questions précédentes exprimées pour $\N$ au
lieu de $\N^*$. Quel est le plus grand élément de $\N$ par rapport à la
relation de divisibilité?
\question Soit $E = \{3k,\, k\in\N^*\}$ l'ensemble des multiples de $3$, et
$F = \{5k,\, k\in\N^*\}$ celui des multiples de $5$. Donner $\inf(E\cap F)$ par
rapport à la relation de divisibilité.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E$ un ensemble. On considère l'ensemble $\Parties(E)$ des parties de
$E$ muni de la relation d'inclusion $\subset$. Soient $A$ et $B$ deux
éléments de $\Parties(E)$.
\question Déterminer $\sup\{A,B\}$ et $\inf\{A,B\}$.
\question Donner les minima et maxima de $E$ quand $E=\{1;2;3\}$, puis
reprendre les questions précédentes avec $A=\{1;2\}$ et $B=\{2;3\}$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $I$ le sous ensemble de $\R$ défini par $$I:=\left\{x\in\R,\quad 1\leq
\frac{x}{2}+\frac{1}{x+1}<2\right\}$$ déterminer (s'ils existent) le plus petit
élément, le plus grand élément, la borne inférieure et la borne supérieure de
$I$.
\end{exo}

%%%%%
\section{Fonctions et relations d'ordre}
%%%%%

\begin{exo}
Pour les fonctions suivantes dire si elles sont minorées, majorées, bornées sur
leur domaine de définition respectif?
$$f(x)=\sin(x),\quad g(x)=x\cos(2\pi x),\quad h(x)=\frac{x}{\sin(x)}.$$
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f(x)=\frac{x-\sqrt x}{\sqrt x}$,
\question Donner le domaine de définition de $f$.
\question $f $ est elle monotone ?
\question $f$ admet elle un minorant, majorant ?
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $\dps f(x)=\frac{\sqrt{4x-4}}{\sqrt{x+1}}$,
\question Donner le domaine de définition de $f$.
\question La fonction $f$ admet elle un minorant, un majorant ?
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $f$ et $g$ deux applications bornées de $\R$.
\question Montrer que~:
$\sup_{x\in\R}(f(x)+g(x))\leq \sup_{x\in\R} f(x)+\sup_{x\in\R}g(x)$.
\question On suppose que $f$ et $g$ atteignent leur maximum; la fonction $f+g$
atteint-elle aussi son maximum ?
\end{exo}

\begin{exo}
On considère la fonction $f$ définie par $\dps f(x)=\frac{x^2-3x+5}{x+1}$.
\question Déterminer le domaine de définition, $\D_{f}$, de $f$.
\question Vérifier que pour tout $x\in\D_{f}$, $\dps f(x)=ax+b+\frac{c}{x+1}$
où $a$, $b$,$c$ sont trois réels que l'on déterminera. En déduite l'asymptote
de $f$ en $\pm\infty$.
\question Donner le tableau de variation de $f$.
\question En déduire $\inf_\R|f|$.
\question Représenter $f$.
\end{exo}

%%%%%
\section{Exercices complémentaires}
%%%%%

\begin{exo}
Donner les définitions des propriétés des relations : réflexive,
symétrique, antisymétrique, transitive, et de relation d'ordre, puis
d'ordre total ou partiel.

Préciser, en justifiant rigoureusement, les propriétés des relations
suivantes de $E$ dans $E$.
\question $E=\R$ et $x\Rel y$ ssi $x\leq y$;
\question $E=\C$ et $x\Rel y$ ssi $\Re(x)\leq\Re(y)$ et
$\Im(x)\leq\Im(y)$;
\question $E=\N$ et $x \Rel y$ ssi $x$ divise $y$;
\question $E=\R$ et $x\Rel y$ ssi $x> y$;
\question $E=\R$ et $x\Rel y$ ssi $y=-x$;
\question $E=\R$ et $x\Rel y$ ssi $x^2+y^2=1$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $\Rel$ une relation de $E$ dans $E$, où $E$ est un ensemble non
vide. On suppose que pour tout $x$ dans $E$, il existe un $y$ dans $E$ tel que
$x\Rel y$ et $y\not=x$.

Montrer que $\Rel$ ne peut être à la fois symétrique et antisymétrique.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $\Rel$ une relation de $E$ dans $E$, où $E$ est un ensemble non vide. On
suppose que pour tout $x$ dans $E$, il existe un $y$ dans $E$ tel que
$x\Rel y$ ($y=x$ est possible).

Montrer que si $\Rel$ est symétrique et transitive alors $\Rel$
est réflexive.
\end{exo}


\begin{exo}
Soit $E$ l'ensemble des puissances entières de $2$. Soit $\Rel$ la
relation de $E$ dans $E$, définie par $x\Rel y$ ssi $x$ divise $y$.
\question Écrire formellement $E$ (avec des accolades).
\question Montrer que $\Rel$ est une relation d'ordre total.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $A$ et $B$ deux sous ensembles bornés de $\R$. Pour chacune des
assertions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse puis justifier votre
réponse par une démonstration ou un contre exemple.

\question $\sup(A+B) =\sup(A)+\sup(B)$, où $A+B=\{a+b,\, a\in A \mbox{ et }b\in
B\}$,

\question $\sup(-A) = -\inf(A)$ où $-A = \{-a,\, a\in A\}$,

\question $A \subset B \Rightarrow \inf(A)\leq \inf(B)$,

\question $\sup(A\cup B)=\max(\sup(A),\sup(B))$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $A$ et $B$ deux parties non vides de $\R$ vérifiant~:
$$\forall a\in A, \forall b\in B, \ a\leq b.$$

\question Montrer que $\sup(A)$ et $\inf(B)$ existent et montrer l'inégalité
$\sup(A)\leq\inf(B)$.

\question Montrer l'équivalence~: $\sup(A)=\inf(B) \iff \forall\varepsilon>0,
\exists a\in A, \exists b\in B, b-a\leq\varepsilon$. On dit dans ce cas que les
parties $A$ et $B$ sont \emph{adjacentes}.

\question Donner un exemple de parties adjacentes.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E=\{\frac2{1+x^2}; x\in\R\}$.
Si ce qui est demandé n'existe pas, on écrit~:  n'existe pas.
\question Donner un majorant de $E$.
\question Donner l'ensemble des minorants de $E$.
\question Donner la borne sup de $E$.
\question Donner la borne inf de $E$.
\question Mêmes questions avec $E = \{\frac1x,\, x\in\R, \vert x\vert >1\}$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $I$ un ensemble de réels et $f$ une fonction réelle définie sur
$I$. Donner les définitions suivantes.

\question $I$ est minoré.

\question $b=\inf f$.

\question $I$ est majoré.

\question $a = \sup f$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $\dps f(x)=\frac{|x+1|}{x^2-1}$.

\question Vérifier que le domaine de définition de $f$ peut s'écrire comme
l'union de 3 intervalles de $\R$.

\question $f$ admet elle un minorant, majorant sur chacun de ces 3 intervalles?

\question Soit $m\in\R$, donner le nombre de solution de l'équation $f(x)=m$ en
fonction de $m$.
\end{exo}
\end{document}
