Le théorème de l’espalier pour l’auto-assemblage ou l’affaire du pompage arborescent
Florent Becker
LIFO, Université d'Orléans
https://www.univ-orleans.fr/lifo/membres/Florent.Becker/
Date(s) : 05/11/2024 iCal
11h00 - 12h00
De tout temps, femmes et hommes ont aspiré à des nano-colifichets en ADN. Depuis les années 1990, dans la suite des travaux séminaux de Reif, Adleman, Winfree, puis Rothemund et tant d’autres, ils et elles sont exaucés : par une conception astucieuse de mots sur l’alphabet {A, C, T, G}, il est possible d’obtenir des séquences d’ADN dont les interactions ressemblent à de petites tuiles carrées flottant sur un plan discret. Ces tuiles, qui représentent abstraitement lesdits complexes d’ADN, portent des couleurs sur leurs quatre côtés —les séquences d’ADN. Telles des coraux sur un récif, leurs concrétions s’agrègent autour d’une graine : chaque fois qu’une tuile passe à proximité d’une position du bord dont le voisinage est propice, elle se fixe au motif et l’agrandit.
Année après année, la sophistication des motifs obtenus par ce procédé d’auto-assemblage s’est sans cesse accrue, donnant naissance aux «self-assembly studies».
Je présenterai un principe de pompage pour l’auto-assemblage, c’est à dire que je montrerai que, sous certaines conditions, les systèmes d’auto-assemblage se comportent de manière ultimement périodique. C’est une condition de largeur arborescente qui s’avère déterminante : que la taille des carrés que notre système entoure soit bornée. Par égard pour le libre arbitre des shadoks, le pompage se fera dans une direction arbitraire, pour peu que le système s’avance suffisamment dans cette direction.
L’existence d’une relation entre largeur arborescente bornée et limitation du calcul est plutôt attendue, mais l’établissement de son énoncé permet de la caractériser précisément. De plus, sa preuve recèle d’outils et de subtilités liées à l’asynchronisme inhérent aux systèmes d’auto-assemblage :
– la largeur arborescente connexe qui permet de contrôler la décomposition d’un graphe y compris quand certaines parties sont nettement plus arborescentes que d’autres, et d’obtenir une décomposition qui ne crée pas de distortion trop importante de ce graphe ;
– les séquences d’assemblage ordinales pour dompter la concurrence entre plusieurs séquence potentiellement infinies de transitions et définir un ordre de priorité entre elles ;
– la généralisation des assemblages à des graphes qui ne soient pas des sous-graphes du plan euclidien discret pour éviter les collisions, couplée à une mesure de l’effervescence (la propension à créer des trous) pour se ramener au cas de ℤ².
Emplacement
I2M Luminy - TPR2, Salle de Séminaire 304-306 (3ème étage)
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