Interpolation polynomiale

Considérons un échantillon

$$(x_i,y_i), i=0,\cdots,n,$$ (1)

formé de couples de valeurs réelles. L'interpolation polynomiale consiste à trouver un polynome $p$ qui vérifie

$$p(x_i) =y_i, i=0,\cdots,n,$$ (2)

ou, autrement dit, dont le graphe passe par les points de l'échantillon.

Un théorème permet de préciser les conditions de cette interpolation.

Théorème Si les absisses de l'échantillon (1) sont deux à deux distinctes, il existe un unique polynôme p de degré n vérifiant (2). Ce polynôme est de la forme

$$p(x)= \sum_{k=0}^n y_k L_k(x), \mathrm{avec} \:\: L_k(x)= \prod_{j\neq k} \frac{x-x_j}{x_k-x_j}.$$ (3)

En matlab, le calcul de ce polynôme peut s'effectuer avec la commande polyfit. Le polynôme peut ensuite être évalué avec la commande polyval. Voici un exemple d'utilisation de ces commandes :

%Définition d'un échantillon
n=4;
x=sort(rand(1,n+1));
y=randn(1,n+1);
%Calcul du polynome d'interpolation
p=polyfit(x,y,n);
%Evaluation du polynome sur [0 1]
t=linspace(0,1,100);
yt=polyval(p,t);
%Affichage
plot(x,y,'ro',t,yt,'b-');
xlabel('x')
ylabel('y')
h=legend('échantillon','interpolation');

Le théorème suivant l'ordre de l'erreur que l'on commet en interpolant une fonction f fixée par un polynome

Théorème Soient f une fonction continûment dérivable à l'ordre n+1 sur un intervalle I et un échantillon de f sur I

$$i=0,\cdots,n, (x_i,f(x_i)), x_i \in I, x_i \neq x_j \:\:\: \mathrm{si} \:\:\: i\neq j.$$

On considère le polynome p de degré n qui interpole f sur cet échantillon. Il existe c dans I tel que

$$f(x) - p(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x-x_i).$$

En outre, dans le cas particulier où les points x sont équirépartis, i.e

$$x_{i+1}-x_i = h,$$

on a

$$f(x) - p(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{4 (n+1)!} h^n.$$