Exercice 5

Soit A une matrice de taille mxn associé à l'application linéaire

$$f : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m.$$

On considère la décomposition en valeurs singulières de A

$$A = U S V',$$

où U et V sont orthogonales d'ordres m et n et S pseudo-diagonale.

On note

$$U_i, V_i \:\:\: \mathrm{et}\:\:\: s_i$$

la colonne i de U, la colonne i de V et la ieme valeur singulière.

Montrer que

$$A V_i = s_i U_i,$$

et déterminer une base de l'image de f et du noyau de f à partir de U et V.

Écrire une fonction qui, étant donnée une matrice A, retourne le rang de A, une base de son image et une base de son noyau en utilisant la décomposition en valeurs singulières. Appliquer cette fonction à des matrices de décomposition connue.