Université
Aix Marseille 1 -- Master maths
1ère année
2011-2012 -- Analyse numérique des EDP --
Thierry
Gallouët
- Raphaèle Herbin
Horaires: TD: Mercredi 14h-17h /
Cours: Jeudi
10h45-12h45 salle C003
DM3 à faire pour
jeudi 15 décembre et à rendre sur feuille:
Exercice 63 du polycopié (Lax Wendroff)
L'examen final
aura lieu le mardi 4 janvier de 9h à 12h - aucun
document autorisé.
Le compte
rendu de TP est à rendre impérativement avant le lundi 16
janvier dernier délai.
Voici une idee de structure du rapport et un rapport d'un etudiant en dess sur un pb
d'ecoulement en milieu poreux (probleme plus complique que ce que nous
faisons en m1)
1. le pb a discretiser
2. les methodes utilisees, en expliquant d'ou viennent les idees de ces
discretisations
3. les resultats "theoriques" de convergence pour ces methodes (sans
demonstration)
lorsque il y en a
4. la structure du programme en scilab (mais pas le programme lui meme)
5. les tests numeriques avec, pour chaque test,
-- les ordres de convergence obtenus (N variant en gros de 10 a 800)
-- quelques graphiques comparant resultat exact et approche
(par exemple, pour le test 3, montrer les problemes pour N petit, c'est
a dire N=10 environ)
Note
finale de l'UE
La formule pour le calcul de la note finale est
NF:=max( E , E/2 + P/3 + TP/6)
E= note d'examen, P= note du partiel
TP= note du Compte Rendu de TP.
Cette formule n'est pas décidée par les enseignants et
n'est pas modifiable.
POLYCOPIE DE COURS
Chapitre 1 : Différences finies et volumes finis
pour les
équations elliptiques
Chap1.pdf
et
bibliographie
chapitre
2
Problèmes paraboliques
chapitre
3 et 4
Methodes variationnelles et éléments finis
chapitre 5
Problèmes hyperboliques
SCILAB
site de Scilab
introduction
à Scilab par Bruno Pinçon
(il y en a plein d'autres... cherchez votre
préféré!)
Enoncé du TP1
tp1.pdf
Enoncé du DM2
DM2.pdf
CONTENU DES COURS, TD, TP
ET
TRAVAIL PERSONNEL A EFFECTUER~:
Cours 1:
jeudi
15 septembre 2011
1/es objectifs de l'analyse
numérique des EDP: le contexte
d'un problème de modélisation; quelques exemples d'EDP
2/ Ecriture du schéma de
différences finies
pour l'équation de Poisson 1d avec CL de Dirichlet
homogènes, pour un pas constant en espace.
3/ Ecriture du schéma de
volumes finis pour
l'équation de Poisson 1d avec CL de Dirichlet
homogènes
A
faire pour mercredi 21 septembre:
1/ Ecrire le schéma
DF vu en cours (pas
de discrétisation constant) sous la forme AU = b avec A
matrice carrée d'ordre N, et b un vecteur de dimension N.
2/ Faire de même pour le
schéma VF en prenant un
pas de discretisation uniforme (h_i = h pour tout i).
3/ Ecrire le schéma DF pour
un pas d'espace non uniforme (il
faut combiner les développements de Taylor de
manière rusée pour "tuer" les
dérivées premières...)
4/ On remplace les conditions aux
limites de Dirichlet
homogènes par des conditions aux limites de Dirichlet non
homogènes.
u(0) = a et u(1) = b, où a
et b ne sont plus
forcément nuls.
Ecrire les schémas DF et VF
avec un pas h uniforme pour ces
conditions.
5/ On prend comme conditions
limites u(0) = 1 et u'(1) = 1.
Ecrire les schémas DF et VF
avec un pas h uniforme pour ces
conditions.
TD 1:
mercredi 21 septembre
Corrigé des questions
1 à 5 ci dessus.
Exercices 1 et 2 du poly.
Cours 2: jeudi 22
Septembre 2011
Analyse mathématique
du schéma de
différences finies. Consistance, Stabilité, Convergence
(paragraphe 1. 2 du poly).
A
faire pour mercredi 28 septembre:
On a fait en cours la
démonstration de la
stabilité pour le cas c= 0.
Etudier la démonstration de
la stabilité dans le cas
général (poly pages 16 et 17).
Exercice :
1/ On discrétise
l'équation -u'' = 1 sur ]0,1[ avec
CL de Dirichlet homogènes u(0) = u(1) = 0 par le schéma
de différences finies vu en cours, de pas uniforme h.
Calculer la solution U= (u_1, u_2,
u_3) du système
linéaire ainsi obtenu dans le cas h = 1/4.
Comparer avec la solution exacte
u(ih), et expliquer le
résultat.
2/ Même question pour la
même équation mais avec
comme conditions limites u'(0) = 0 et u(1) = 0.
3/ Modifier la prise en compte de
la condition limite pour obtenir un
schéma d'ordre 2 dans le cas de la condition limite u'(0) = 0
(on effectuera pour cela des développements de Taylor de u
en h et 2h).
Autre exercice :
Soit (u_i) une suite de
réels (indexée par Z)
On definit les trois suites
suivantes par leurs composantes (i
appartenant à Z) :
D_{i,+} u = u_{i+1} - u_i
D_{i,-} u = u_i - u_{i-1}
D_{i,0} u = u_{i+1} - u_{i-1}.
1/ On veut approcher la
dérivée d'une fonction u
continûment différentiable en $x_i = ih$, pour h
réel donné (petit) un i entier relatif donné.
Calculer la consistance des
quotients différentiels
D_{i,+} u / h
(décentré à droite
D_{i,-} u /h
(décentré à gauche)
D_{i,0} u =( u_{i+1} -
u_{i-1} )(2h) (centré)
2/ Calculer
a/ D_{i,+} ( D_{i,-} u )/ h^2
b/ D_{i,-} ( D_{i,+} u )/ h^2
c/ D_{i,0} (D_{i,0} u) (2h)^2
A votre avis, pourquoi ne choisit
on pas le quotient
différentiel donné par le choix c/ pour l'approximation
de u''(x_i) ?
Préparer également
l'exercice 3 page 29 du poly.
Attention il y a une faute de
frappe, il faut lire
c ∈ C([0,1],IR+), et f
∈ C([0,1],IR+), et
(a,b) ∈ IR2 au lieu de
c ∈ C([0,1],IR+), et c ∈ C([0,1],IR), et (a,b) ∈ IR2.
TD 2: mercredi 28 septembre
Corrigé des exercices ci dessus.
Premier TP: discrétisation de -u'' = f en DF
Cours 3: jeudi 29 Septembre 2011
Analyse mathématique du schéma de volumes finis :
Consistance des flux, Stabilité (estimation a priori sur la
solution approchée)
A
faire pour mercredi 5 octobre:
A rendre sur feuille
(mercredi ou jeudi): Exercices 4 et 11 du poly. Dans l'exo
4, rajouter à chaque question: montrer l'existence et
l'unicité de la solution du système linéaire.
Et les exercices demandés
en cours:
1/ Soit $f$ une
fonction continue sur [0,1] et (K_i)_{i=1,N} un maillage volumes finis
de [0,1] . On note $f_T$ la fonction constante par maille dont la
valeur sur chaque maille est la moyenne de f sur la maille. Montrer que
la norme L2 de f_T est inferieure à la norme L2 de f.
2/ Démontrer
l'inégalité de Poincaré discrète
(lemme donné en cours)
TD 3: mercredi 5 octobre
Exercice 7. second TP: discrétisation de -u'' = f
en DF
Cours 4: jeudi 6 Octobre 2011
Analyse mathématique du schéma de volumes finis :
Estimation d'erreur.
Introduction aux différences finies et volumes finis en 2D.
A
faire pour mercredi 12 octobre:
Etudier la remarque 1.28
page 22.
Lire les paragraphes 1.4 et 1.5.2
Préparer les
exercices 5 et 6.
TD 4: mercredi 12 octobre
Corrigé de l'exo 5
TP Différences finies sur - eps u'' + au' + bu = f
Cours 5 et 6 : jeudi 13 Octobre 2011
Formulation faible et variationnelle des problèmes
elliptiques unidimensionnels
Corrigé de l'exo 1.4
corrigé de la partie DF (en 3 lignes !)
A
faire pour mercredi 19 octobre:
Préparer les
exercices 5 et 6.
Faire les exos 1 et 2 de la feuille
d'exos ff et fv
Etudier le chapitre 4
du cours.
TD 5: mercredi 19 octobre
Exercice sur DF et VF pour des conditions aux limites
générales.
TP Différences finies sur - eps u'' + au' + bu = f
TD 6: mercredi 9 novembre
Exercices 2 et 3 de la feuille sur la formulation
variationnelle
Cours 7 : jeudi 10 Novembre 2011
Méthodes de Ritz et Galerkin
A
faire pour mercredi 16 novembre:
Préparer l'exercice sur les
éléments finis P1 pour -u" = f avec conditions limites de
Dirichlet de la feuille exos-ef.pdf
Cours 8 jeudi 17 Novembre 2011
Elements finis P1 : estimation d'erreur en 1D
A
faire pour jeudi 24 novembre et à rendre sur feuille:
DM2.pdf
TD 8: mercredi 23 novembre
Euler explicite sur une equation parabolique.
Cours 9 : jeudi 24 Novembre 2011
schémas pour l'equation de transport linéaire
A
faire pour mercredi 23 novembre:
Nous allons maintenant
aborder les problèmes instationnaires.
Il serait donc bon que vous révisiez vos connaissances sur les
méthodes d'Euler explicite et implicite pour les
équations différentielles.
Source possible: mon poly de L3, chapitre 4. http://www.cmi.univ-mrs.fr/~herbin/TELE/L3/chap5.pdf
(Je sais, il y a un bug sur les n0s de chap...)
TD 10: mercredi
30 novembre
differences finies pour l'equation de transport exercice 65
(convergence DFDA, par methode DF)
Cours
10 : jeudi 1er décembre 2011
solutions faibles de l"equation de Burgers
TD 11 : mercredi
7 décembre
volumes finis pour l'equation de transport exercice 66
(convergence FVDA, par methode VF)
Cours
11: jeudi 8 décembre 2011
solution entropique. Schémas à flux monotone
Pour mercredi 14 décembre: préparer les exos 71 à
74 du chap 5.
A
faire pour jeudi 15 décembre et à rendre sur feuille :
Exercice 63 schéma
de Lax Wendroff
TD 12 : mercredi
14 novembre
exercices 71 et 73
Cours
12: jeudi 15 décembre 2011
Exemples de flux monotone
Euler implicite et explicite pour une équation parabolique.